mvcal BAB5

DIKTAT KULIAH 

KALKULUS PEUBAH BANYAK 

(IE-308) 

BAB 5 INTEGRAL LIPAT 

Diktat ini digunakan bagi mahasiswa 

Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik 

Universitas Kristen Maranatha 

Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc 

JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK 

UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA 

BANDUNG 

2012 

Diktat ini disusun berdasarkan “Calculus III” oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan 

dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.

Rudy Wawolumaja Multivariable Calculus UK Maranatha 2012 

BAB 5. INTEGRAL LIPAT 

5.1. Integral Lipat Dua/ Integral Ganda / Double Integrals 

Bila f(x) fungsi variabel tunggal x, maka integral untuk x dalam interval 

, adalah: 

Dari definisi definite integral, maka masalah adalah masalah luas dibawah kurva f(x). Bila 

interval dibagi menjadi n subinterval dengan lebar dan dipilih titik, , dari 

setiap subinterval seperti yang ditunjukkan dibawah ini, 

Gambar 5.1. 

Setiap persegi empat diatas memiliki tinggi dan dengan menghitung luas dari setiap 

persegi empat dapat ditaksir pendekatan luas sebagai berikut : 

Untuk mendapatkan luas lebih akurat maka diambil nilai limit bila n menuju tak hingga 

(infinite) dan dari definisi definite integral : 

Bila integrasi fungsi variabel tunggal, range adalah suatu interval (ruang 1 dimensi), maka 

dalam fungsi 2 variabel integrasi dilakukan atas jangkauan range berupa daerah/region dalam 

(ruang 2 dimensi). Jadi jika fungsi adalah fungsi 2 variabel, maka 

Jika daerah dalam adalah persegi empat yang dinyatakan : 

Yang berarti: jangkauan untuk x dan y adalah dan . 

Berikut gambar dari permukaan S yang menggambarkan atas daerah persegi 

panjang R. 

Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 92 

KALKULUS PEUBAH BANYAK


Gambar 5.2. 

Persoalan integral ganda disini menjadi mencari volume dibawah permukaan S dan diatas 

daerah/region R yang terletak pada bidang datar xy. 

Region R dibagi menjadi sub-region dengan membagi interval menjadi n 

subintervals dan membagi interval menjadi m subintervals. Sehingga R akan 

terbagi menjadi sederetan persegi panjang yang kecil dan untuk masing-masing persegi 

panjang dipilih sebuah titik 

. Berikut gambar sketsa dimaksud: 

Gambar 5.3. 

Diatas setiap persegi panjang kecil dibangun kotak dengan tinggi . 

Berikut adalah gambar sketsa 




Gambar 5.4. 

Tiap persegi panjang kecil sebagai luas basis dan tinggi sehingga volume 

kotak-kotak kecil tersebut dinyatakan oleh 

S adalah mendekati, 

. Total volume dibawah permukaan 

Digunakan notasi double sum ( Σ ) karena kita menjumlahkan volume dalam arah x dan y . 

Taksiran volume lebih baik dan akurat didapat dengan mengambil n dan m lebih besar dan 

semakin besar kita semakin baik, sehingga untuk mendapat nilai volume akurat dicari limit 

dimana kedua n dan m menuju tak hingga (infinity). 

Definisi formal dari double integral untuk fungsi 2 variabel diatas persegi panjang R adalah 

Ada persamaan dan perbedaan dengan notasi integral tunggal. Digunakan 2 notasi integral ( 

yang menyatakan kita bekerja dalam dua dimensi dan dA yang menyatakan area/luas 

sebagai differential. (differential dA bisa dinyatakan dengan dx dy ). 

Tafsiran double integral dari 

(dan diatas bidang - xy). Atau, 

atas persegi empat R adalah volume dibawah fungsi 




5.2. Integral teriterasi 

Bila pada bagian lalu integral ganda di definisikan, maka pada bagian ini dipelajari 

bagaimana menghitung integral ganda pada daerah persegi panjang . 

Teorema Fubini 

Jika adalah fungsi kontinu pada daerah maka, 

Bentuk integral diatas disebut integral teriterasi. 

Cara menghitung integral ganda dilakukan dengan menghitung berurutan integral terhadap 

differential dy atau dx. Bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dy (integral dalam), 

maka batas dari integral dalam adalah batas y yang disyaratkan dan urutan perhitungan 

kedua adalah integrasi terhadap dx (integral luar) dan batas dari integral luar adalah batas x 

yang disyaratkan. Demikian sebaliknya bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dx. 

Misalkan ingin dihitung: 

Bila perhitungan pertama dilakukan terhadap dy (integral dalam), maka batas dari integral 

dalam adalah batas y yang disyaratkan yaitu c, d . 

Perhitungan dilakukan dengan menahan x tetap dan dilakukan integrasi terhadap dy, sama 

seperti melakukan proses integrasi variabel tunggal. Hasil dari integrasi ini akan 

menghasilkan fungsi yang hanya muncul variabel x dan perhitungan kedua dilakukan 

terhadap dx (integral luar). 

Bandingkan dengan turunan parsial, dimana proses penurunan dilakukan satu demi satu 

terhadap x lalu terhadap y, maka proses integrasi ganda juga kurang lebih seperti demikian. 

Contoh 5.2.1. Hitung double integral berikut ini terhadap daerah R, 

Jawab 

, 

, 

Cara 1 

Dilakukan perhitungan pertama integrasi terhadap y sebagai integral dalam. Sehingga integral 

teriterasi dinyatakan sbb.: 

Perhitungan integral dalam terhadap dy dilakukan dengan menganggap x adalah tetap : 




Berikutnya dilakukan proses integrasi luar terhadap dx, sehingga didapat : 

Cara 2 

Pengerjaan dilakukan dengan proses integrasi pertama terhadap x, kemudian terhadap y.Dan 

didapat hasil sbb.: 

Cara 1 & 2 memberikan hasil yang sama, jadi urutan pengerjaan tidak berpengaruh. 


, 

Integrasi dilakukan pertama terhadap y, 


, 

Integrasi pertama dilakukan terhadap x. 





, 


, 

Substitusi : 

Sehingga didapat 




Bila kita melakukan integrasi pertama terhadap x maka penyelesaian akan lebih rumit. 

Substitusi: 

Sehingga, 

Perhitungan jelas diatas lebih rumit, jadi sebagai tip untuk alasan praktis urutan perhitungan 

sebaiknya dipilih urutan yang memberikan perhitungan yang paling sederhana. (karena cara 2 

dilakukan untuk maksud menunjukkan alas an saran diatas, perhitungan tidak dilanjutkan). 

Teorema 

Jika 

maka, 

dan dilakukan integrasi pada daerah persegi empat 

Contoh 5.2.6. Hitung , . 







5.3. Integral Ganda batasan Umum 

Jika pada bagian yang lalu dilakukan proses integrasi atas daerah persegi empat, maka pada 

bagian ini akan dipelajari daerah yang tidak segi empat, lebih umum. 

dimana D adalah sembarang daerah pembatas. Ada dua jenis daerah pembatas. 

Berikut gambar sketsa daerah pembatas : 

Gambar 5.5. 

Daerah pembatas tersebut dinyatakan dengan standard notasi sbb. : 

Untuk kasus 1 

Untuk kasus 2. 

Untuk kasus 1 dimana integral didefinisiskan : 

Untuk kasus 2 dimana integral didefinisikan : 

Teorema 

1. 

2. , dimana c adalah suatu konstanta (constant). 

3. Jika daerah D dapat di bagi menjadi dua daerah terpisah D 1 dan D 2 maka integral dapat 

ditulis sebagai : 




Contoh 5.3.1. Hitung integral atas daerah D. 

(a) , 

(b) , D adalah daerah yang dibatasi dan . 

Solusi 

(c) , D adalah segitiga dengan ujung titik , , dan . 

(a) , 

(b) , D adalah daerah dibatasi oleh dan . 

Digambarkan dalam sketsa berikut ini : 

Gambar 5.6. 

Sehingga bisa dinyatakan dalam rumusan ketidaksamaan : 

Sehingga perhitungan integralnya: 




(c) , D adalah segitiga dengan koordinat titik ujung , , dan 

Gambar sketsa D adalah sbb.: 

Gambar 5.7. 

Sisi pembatas segi tiga dapat diperoleh persamaan garisnya, seperti yang dinyatakan dalam 

gambar sketsa diatas. Ada dua cara untuk menyatakan daerah pembatas, yaitu pertama 

dengan menyatakan y = f(x) dan kedua dengan menyatakan x = f(y). Untuk cara pertama, 

maka daerah pembatas adalah: 

dimana, 

Cara kedua dengan menyatakan x sebagai f(x): 

Maka daerah pembatas dinyatakan sebagai: 

Solusi dengan cara 1 




Solusi dengan cara 2 

Cara ini lebih ringkas dari cara 1: 

Contoh 1 menunjukkan solusi yang bisa dilakukan dengan 2 cara, yaitu cara 1 melakukan 

urutan integrasi, pertama terhadap x kemudian terhadap y dan cara 2 melakukan urutan 

integrasi pertama terhadap y kemudian terhadap x. 

Terkadang ada persoalan yang solusinya hanya dengan 1 cara, apakah cara 1 atau cara 2 saja. 

Contoh 5.3.2. Hitung integral berikut : 

Solusi 

(a) 

(b) 

(a) 

Bila kita mencoba meng integrasi terhadap y maka tidak bisa karena kita membutuhkan y 2 

didepan exponential. Maka dapat dicoba dengan membalik urutan yaitu melakukan integrasi 

pertama terhadap x, kemudian terhadap y. Namun untuk itu kita harus melakukan 

penyesuaian untuk batas integralnya, dan cara yang terbaik adalah dengan menggambarkan 

sketsa daerah pembatas dan menata ulang pernyataan batasan nya. : 

Dari rumusan integral diketahui ketidaksamaan yang mendefinisikan daerah pembatas 

adalah: 




Dari ketidaksamaan diatas kita tahu batas bawah daerah pembatas adalah kurva 

batas atas daerah pembatas adalah dan batas pembatas tersebut terletak antara 

dan . 

Berikut ini sketsa dari daerah pembatas : 

dan 

Gambar 5.8. 

Karena urutan proses integrasi ditukar menjadi pertama integrasi terhadap x, maka kita perlu 

menyatakan pembatas integrasi x sebagai fungsi y, x = f(y). Sehingga didapat : 

Garis pembatas horizontal x mulai dari and berakhir pada dan jangkauan dari 

y mulai dari 0 sampai 9. 

Sehingga pernyataan integral awal ekivalen dengan pernyataan berikut dan hasil perhitungan: 

(b) 

Sama dengan contoh 2a, disini proses integrasi terhadap x tidak dapat dilakukan, sehingga 

dicoba urutan dibalik, untuk itu batas integral perlu disesuaikan. 




Sketsa dari daerah pembatas : 

Jadi kita mendapatkan batas integral: 

Gambar 5.9. 

Hasil perhitungan integral , 

Interpretasi geometris double integral sebagai volume dibawah fungsi permukaan 

dan diatas daerah pada bidang xy, 

Contoh 5.3.3. Hitung volume benda yang terletak dibawah fungsi permukaan 

dan terletak diatas daerah pada bidang xy yang dibatasi oleh 

. 

Solusi 

Berikut ini sketsa permukaan dan daerah dibawah permukaan pada bidang xy . 

dan 




Gambar 5.10. 

Berikut daerah pembatas pada bidang xy. 

Gambar 5.11. 

Titik potong persamaan garis pembatas adalah : d an . 

Jadi, ketidaksamaan daerah D pada bidang xy dapat dinyatakan sbb.: 

Volume dapat dihitung : 

Contoh 5.3.4. Hitung volume benda yang dibatasi bidang , , , 

. 

Solusi 

Persamaan bidang pertama, 

, ditulis ulang sebagai, 




merupakan fungsi permukaan bidang atas dari benda yang dicari, dan terletak diatas daerah 

pembatas D pada bidang xy. Bidang kedua, , adalah bidang sisi dari volueme benda. 

Sketsa benda adalah sbb. : 

Gambar 5.12. 

Daerah pembatas D adalah daerah pada bidang xy ( ) yang dibatasi oleh , , 

dan garis dimana bidang 

memotong bidang xy. Dengan memasukkan 

dapat ditetapkan perpotongan bidang 

dengan bidang xy , yaitu: 

Sehingga gambar sketsa daerah D adalah sbb. : 

Gambar 5.13. 

Interpretasi geometris integral ganda, sebagai Luas suatu daerah : 

Misal diinginkan untuk menghitung luas dari daerah yang tersrsir yang ditunjukkan dalam 

gambar dibawah ini : 




Gambar 5.14. 

Area (A) dapat dinyatakan dalam persamaan integral tunggal : 

Atau dengan integral ganda dapat dinyatakan sebagai : 




5.4. Integral Ganda dalam Koordinat Polar 

Dalam beberapa kasus melakukan proses integrasi menggunakan koordinat Cartesian akan 

lebih rumit daripada melakukan proses integral pada system koordinat lainnya (polar, 

silendris, bola). Menghitung integral ganda suatu fungsi permukaan diatas daerah pembatas D 

yang berbentuk cakram, bagian dari cakram . Melakukan perhitungan integral ganda dalam 

koordinat Cartesian akan lebih rumit daripada dalam koordinat polar. 

Misal diminta untuk menghitung integral ganda, 

f x, y dA 

D 

, D adalah cakram dengan radius 2. 

Dalam koordinat Cartesian, maka daerah D dinyatakan dalam ketidaksamaan x dan y, 

Sehingga bentuk integral gandanya, 

Dengan menggunakan koordinat polar daerah D dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan : 

Dengan merubah variabel x dan y ke r dan θ dan dA = dx dy ke pernyataan koordinat polar 

maka kita bisa menghitung dalam koordinat polar yang prosesnya akan lebih sederhana. 

Perlu diperhatikan dalam konversi koordinat Cartesian ke koordinat polar , bahwa: 

, tetapi !!!!!!!!!!!!! 

Berikut penurunan rumusan dA untuk koordinat polar: 

Misal daerah pembatas dalam koordinat polar digambarkan sbb. 

Gambar 5.15. 

Daerah pembatas dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan : 




Untuk mendapatkan dA dalam koordinat polar, ditunjukkan dengan proses dibawah ini: 

Gambar 5.16. 

Bila daerah pembatas D dibagi kedalam kisi-kisi yang dibatasi garis jejari dan garis busur 

sudut maka didapat gambaran seperti gambar diatas. Dan dari perbesaran satu kisi yang 

didapat dalam gambar diatas, diperoleh sepotong daerah pembatas . Dua sisi dari 

potongan daerah pembatas ini mempunyai sisi sepanjang , dimana adalah 

radius dari busur luar dan adalah radius dari busur dalam. Panjang busur dalam adalah 

dan panjang busur luar adalah , dimana adalah sudut antara dua jejari yang 

membatasi daerah tersebut. Bila diasumsikan, kisi-kisi sedemikian kecil sehingga bisa 

dianggap , sehingga dapat di asumsi kan potongan daerah pembatas mendekati 

persegi empat, sehingga: 

dan bila kisi-kisi sedemikian kecilnya, sehingga dapat dianggap : 

Sehingga dengan assumsi diatas, didapat: 

Untuk merubah variabel x dan y ke variabel r dan , maka dengan menggunakan rumus 

konversi : 

Didapat rumusan integral ganda dalam koordinat polar : 

Contoh 5.4.1. Hitung integral berikut dengan merubah kekoordinat polar. 

(a) , D adalah bagian dari daerah yang dibatasi kurva radius 2 dan radius 5 

dan berpusat dititik origin dan berada di kuadran 1. 




(b) 

, D adalah unit circle yang berpusat dititik origin. 

Solusi 

(a) , D adalah bagian dari daerah yang dibatasi kurva radius 2 dan radius 5 

dan berpusat dititik origin dan berada di kuadran 1. 

Dalam koordinat polar, daerah pembatas D diatas dinyatakan dengan ketidaksamaan : 

Untuk r : 

Untuk θ yang terletak di kuadran pertama : 0 θ 

Sehingga integral dinyatakan : 

π 

2 

(b) 

, D adalah unit circle yang berpusat dititik origin. 

Dalam koordinat polar, daerah pembatas D dinyatakan dalam ketidaksamaan : 

Sehingga integral dalam koordinat polar : 




Contoh 5.4.2. Tentukan luas daerah yang berada dalam dan diluar . 

Solusi 

Sketsa daerah D, digambarkan terarsir. 

Gambar 5.17. 

Untuk menentukan luas daerah tersebut, perlu dicari nilai θ dimana kedua kurva memotong. 

Titik tersebut ditentukan dengan menyamakan kedua persamaan, sehingga: 

Sehingga sketsa dengan sudut yang didapat diatas digambarkan. 




Gambar 5.18. 

Catatan : adalah penulisan alternative dari sudut . 

Sehingga range dari sudut θ dan jejari r adalah : 

Sehingga luas D adalah, 

Contoh 5.4.3. Hitung volume daerah yang terletak didaerah dibawah bola , 

diatas bidang dan didalam silender . 

Solusi 

Rumus untuk mendapatkan volume dibawah suatu fungsi diatas daerah pembatas adalah: 




Persamaan bola ditulis ulang kedalam bentuk , sehingga menjadi 

Daerah pembatas D adalah daerah cakram (bagian dalam dari perpotongan silender dengan 

bidang xy atau z=0, yaitu lingkaran ), sehingga daerah D dinyatakan sebagai 

cakram pada bidang xy . 

Gambar 5.19. Sketsa benda yang akan dicari volumenya : 

Sehingga, bentuk benda yang ingin dicari volumenya adalah suatu silender dengan topi 

penutup yang didapat dari bola. Secara intuitif maka dapat dikatakan bahwa perhitungan 

integral untuk mencari volume benda tersebut akan lebih sederhana apabila dilakukan dalam 

koordinat polar daripada koordinat Cartessian. Dan batas daerah pembatas D dinyatakan: 

Dan kita perlu merubah fungsi kesistem koordinat polar sehingga: 

Volume yang dicari adalah : 




Contoh 5.4.4. Dapatkan volume dari benda yang terletak didalam permukaan 

dan dibawah bidang datar . 

Solution 

Gambar sketsa benda dimaksud adalah : 

Rumus : 

Gambar 5.20. 

Adalah untuk mendapatkan volume benda dibawah fungsi 

mendapatkan volume diatas fungsi tersebut. 

First, notice that 

dan persoalan kita adalah 

Memberikan volume benda dibawah permukaan bidang 

D sedangkan : 

untuk suatu daerah pembatas 

Adalah volume benda dibawah , untuk suatu daerah pembatas D. 

Volume Benda yang dicari dalam kasus ini adalah : 

Untuk menghitung volume benda dimaksud, maka perlu di tentukan daerah pembatas D dan 

setelah itu dilakukan konversi seluruh variabel ke koordinat polar. Daerah pembatas D 

adalah daerah dari hasil proyeksi dari perpotongan bidang fungsi z =16 dengan fungsi 

permukaan , kebidang xy. Perpotongan fungsi z=16 dengan adalah 

, yaitu lingkaran dengan radius 4. 

Sehingga ketidaksamaan dari daerah pembatas dan konversi fungsi kedalam koordinat polar 

adalah : 

Volume benda yang dicari adalah : 




Contoh 5.4.5. Hitung integral berikut dengan merubah ke koordiant polar. 

Solusi 

Mengerjakan integral diatas dalam koordinat Cartessian hampir tidak mungkin. Jadi perlu 

dirubah ke koordinat polar. 

Berikut adalah ketidaksamaan daerah pembatas D dalam koordinat Cartessian : 

Persamaan pembatas atas x adalah : 

Dan persamaan diatas adalah sisi kanan (sisi x≥0) dari lingkaran berpusat di 0 dan radius = 1, 

sedangkan range y menyatakan bahwa y adalah positif. 

Dalam koordinat polar maka daerah pembatas D dapat dinyatakan dengan ketidaksamaan : 

Dan dengan selalu mengingat, 

Perhitungan integral dalam koordinat polar menjadi : 

Sehingga : 




5.5. Integral Lipat Tiga 

Bila integral lipat dua, proses integral dilakukan diatas daerah 2 dimensi ( dA=dx dy), maka 

integral lipat tiga integrasi dilakukan atas daerah 3 dimensi (dV = dx dy dz). 

Notasi Integral lipat tiga adalah : 

Integrasi juga dilakukan atas daerah pembatas, dalam lipat tiga daerah pembatas sederhana 

dapat berupa kotak, 

Notasi yang digunakan, untuk x, y, dan z. 

Sehingga integral lipat tiga untuk daerah pembatas diatas dinyatakan sebagai, 

Kita dapat melakukan integrasi pertama terhadap x, kemudian terhadap y dan terakhir 

terhadap z, tapi urutan bisa juga xzy, yxz, yzx, zxy,zyx, sehingga ada 3! = 6 cara untuk urutan 

melakukan integrasi. 

Contoh 5.5.1. Hitung integral berikut, 

, 

Solusi 

Urutan integrasi dilakukan dengan urutan zxy: 

Fakta 

Volume suatu daerah pembatas E dalam tiga dimensi adalah: 

Bila contoh diatas integrasi lipat tiga dilakukan atas daerah pembatas berbentuk sederhana 

kotak, berikut ini tinjauan dilakukan untuk daerah pembatas yang lebih umum. 

Berikut adalah sketsa dari kemungkinan pertama: 




Gambar 5.21. 

Dalam kasus ini daerah pembatas E didefinisikan sebagai berikut, 

dimana adalah notasi yang memberi arti bahwa titik ada dalam daerah D 

yang terletak pada bidang- xy . Perhitungan integral lipat tiga adalah sebagai berikut: 

Dimana integral lipat dua dapat dihitung dengan metoda yang telah dibahas dalam bab 

sebelumnya, yaitu bisa dihitung terhadap x kemudian y atau melakukan konversi ke 

koordinat polar bila diperlukan. 

Contoh 5.5.2. Hitung 

dimana E adalah daerah pembatas yang terletak dibawah 

bidang 

dan terletak juga pada octan pertama (yaitu x positif, y positif & z 

positif). T 

Solusi 

Apakah oktan Bila dalam 2 dimensi sistem koordinat dapat dibagi menjadi 4 kuadrant, 

maka dalam 3 dimensi sistem koordinat dapat dibagi menjadi 8 oktan. 

Berikut sketsa dari bidang 

dalam oktan pertama yaitu semua koordinat positif. 




Gambar 5.22. 

Langkah berikutnya adalah menetapkan daerah pembatas D pada bidang= xy. 

Daerah pembatas D adalah sebuah segi tiga dengan 3 titik sudut pada , , dan 

. Gambar sketsa D. 

Gambar 5.33. 

Langkah selanjutnya adalah menetapkan batas-batas integral dan karena diketahui bahwa 

bidang pembatas terletak di oktan pertama (berarti diatas bidang ), maka 

diperoleh pembatas integral untuk z. 

Untuk integral lipat dua atas D maka pembatas integral dapat dipilih 2 alternatif 

ketidaksamaan dibawah: 

Misal dipilih alternatif yang pertama, sehingga perhitungan integral menjadi: 




Sketsa kemungkinan kedua variasi daerah pembatas: 

Gambar 5.34. 

Disini daerah pembatas E di definisikan sebagai berikut, 

Jadi daerah pembatas D terletak pada bidang-yz. Perhitungan integral lipat tiga adalah 

sebagai berikut: 

Seperti pada kemungkinan pertama, maka integral lipat dua dapat dihitung terhadap y 

kemudian z atau melakukan konversi ke koordinat polar bila diperlukan. 




Contoh 5.5.3. Hitung volume benda yang terletak pada daerah pembatas yang terletak 

didalam bidang dan didepan bidang-yz yang dibatasi oleh dan 

. 

Solusi 

Dalam kasus ini daerah pembatas D telah diberikan dengan jelas, sehingga tidak perlu dicari, 

Gambar sketsa daerah pembatas D dan juga sketsa bidang pembatas 

dan proyeksi 

D melewati bidang sehingga lebih memudahkan untuk membayangkannya : 

Gambar 5.35. 

Sketsa dari volume yang dicari yaitu volume daerah pembatas adalah sbb. : 

Gambar 5.36. 

Sehingga pembatas dari tiap variable integral adalah : 




Volume yang dicari adalah : 

sketsa kemungkinan ketiga variasi daerah pembatas: 

Disini E didefinisikan sebagai, 

Gambar 5.37. 

Jadi daerah pembatas D terletak pada bidang-xz. Perhitungan integral lipat tiga adalah 

sebagai berikut: 

Integral lipat dua dapat dihitung terhadap x kemudian z atau melakukan konversi ke 

koordinat polar bila diperlukan. 





dibatasi oleh permukaan dan bidang datar . 

Solusi 

Berikut adalah sketsa dari benda E. 

dimana daerah pembatas E adalah benda yang 

Gambar 5.37. 

Daerah pembatas D pada bidang- xz dapat dilihat sebagai proyeksi dari permukaan 

yang adalah elliptic paraboloid terhadap bidang-xz, dan D akan berupa cakram 

pada bidang-xz , dengan memasukkan y=8 kedalam persamaan didapat: 

Soal ini akan lebih mudah dan feasible dikerjakan dengan memproses integral lipat tiga 

dengan urutan pertama melakukan integrasi terhadap y dalam koordinat Cartessian dan 

urutan integrasi kedua dan ketiga (integral lipat dua) dalam koordinat polar dan diperlukan 

konversi variabel x dan z menjadi θ dan r. 

Pembatas integral untuk urutan pertama dalam y, integral kedua dan ketiga dalam θ dan r : 

Sehingga perhitungan integral urutan pertama dalam Cartessian : 

Integral lipat dua dilakukan dalam koordinatl polar , dibutuhkan konversi sehinnga integrand 

menjadi : 




Perhitungan integral adalah : 




5.6. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Silendris 

Berikut ini rumus konversi ke koordinat Silendris. 

Untuk melakukan integral lipat tiga dalam koordinat silendris, maka dV perlu dalam sistem 

koordinat silendris dan dalam koordinat silendris maka : 

Daerah pembatas, E, sebagai daerah pembatas integral lipat tiga menjadi: 

Catatan : Pernyataan diatas adalah untuk E dimana D terletak dibidang- xy. Bentuk diatas 

dapat disesuaikan menurut daerah D apakah terletak pada bidang- yz atau bidang- xz. 

Selanjutnya dalam koordinat silendris integral lipat tiga dapat di nyatakan sebagai : 


dimana E adalah daerah pembatas yang terletak dibawah 

bidang diatas bidang- xy dan antara silender dan . 

Solusi 

Jangkauan (range) batas z dalam Cartesian dikonversi menjadi dalam koordinat silendris, 

sehingga didapat : 

Selanjutnya, daerah pembatas D adalah daerah antara dua lingkaran 

pada bidang-xy dengan jangkauan batas θ dan r yang dinyatakan : 

Sehingga perhitungan integral : 

dan 




Contoh 5.6.2. Ubahlah pernyatan 

menjadi pernyataan integral dalam koordinat silendris. 

Solusi 

Berikut batasan jangkauan pembatas integral untuk variabel x, y, z : 

Ketidaksamaan pertama dan kedua mendefinisikan daerah pembatas D dan karena batas atas 

dan bawah x adalah dan yang berarti : seluruh atau sebagaian dari daerah 

setengah lingkaran sisi kanan dengan radius 1 dengan titik pusat 0. Dan karena batasan y 

adalah berarti daerah seluruh potongan setengah lingkaran sebelah kanan. 

Sehingga bila dinyatakan dalam koordinat silendris berarti : 

Dan batasan jangkauan z diubah kesilendris menjadi : 

Sehingga pernyataan integral menjadi : 




5.7. Integral Lipat Tiga dalam Koordinat Bola 

Gambar sketsa berikut menunjukkan hubungan antara sistem koordinat Cartessian dan sistem 

koordinat Bola. 

Gambar 5.38. 

Rumus konversi untuk koordinat bola adalah : 

Terdapat pembatasan untuk variabel : 

Untuk integral lipat tiga maka daerah pembatas E dibatasi dalam jangkauan : 

Berikut ini sketsa dari irisan bola dimana batas bawah dari dan keduanya adalah nol , 

Gambar 5.39. 

Sketsa diatas menunjukkan bahwa daerah E adalah irisan antara bola dan cone (kerucut). 

Bentuk integral lipat tiga adalah : 




Contoh 5.7.1. Hitung dimana E adalah potongan atas dari bola . 

Solusi 

Karena daerah pembatas adalah potongan atas bola, maka batas variabel , θ dan adalah : 

Sehingga perhitungan integral lipat tiga : 

Contoh 5.7.2. Ubahlah 

lipat tiga dalam sistem koordinat bola. 

Solusi 

Berikut jangkauan batasan untuk variabel y, x dan z : 

menjadi pernyataan integral 

Batasan x menyatakan sebagai bagian sisi kanan dari cakram yang berpusat di 0 dan 

mempunyai radius 3. Dan karena batasan y menyatakan bernilai positif, maka cakram 

tersebut berada di kuadrant pertama (x, y positif). Dan karena D ada di kuadran pertama dan 

nilai z adalah positif, maka E ada dalam oktan pertama (x, y, z positif) dan hal tersebut 

berakibat jangkauan adalah : 

Untuk batasan atas z dimana batas bawah 

, yang berupa bagian atas dari suatu 

cone dan batas atas , berupa bagian atas dari potongan bola 

Sehingga dapat ditentukan batasan dari sebagai : 




Untuk menetapkan jangkauan dari batas , dilakukan dengan menentukan 

perpotongan/irisan antara cone dengan bola, yaitu dengan memasukkan persamaan cone 

kedalam persamaan bola, sehingga didapat 

Telah diketahui bahwa dan dari rumus konversi z maka didapat : 

Sehingga , didapat jangkauan batasan variabel : 

Diketahui juga bahwa , sehingga : 




5.8. Perubahan Variabel 

Dalam Kalkulus Dasar dikenal Aturan Substitusi yang menyatakan : 

b 

d 

f g x g ′ x dx = f u du dimana u = g (x) 

a 

c 

Pernyataan diatas adalah melakukan integral dalam x dan merubahnya menjadi mengambil 

integral dalam u, atau dengan kata lain melakukan perubahan variabel dalam proses integral. 

Pada bagian ini dipelajari perubahan variabel dalam integral lipat dua dan lipat tiga. 

Sebenarnya, pada bab yang lalu telah dipelajari bagaimana melakukan konversi / perubahan 

dari sistem koordinat Cartessian ke koordinat polar untuk integral lipat dua dan melakukan 

konversi dari koordinat Cartessian ke sistem koordinat silendris dan sistem koordinat bola 

untuk integral lipat tiga. Dan diketahui pula ternyata dibutuhkan penyesuaian rumus untuk 

dA dan dV. 

Salah satu alasan merubah variabel adalah untuk mendapatkan bentuk integral baru dimana 

dalam variabel yang baru, proses integrasi lebih mudah. Alasan lainnya adalah merubah 

daerah pembatas yang lebih sederhana untuk dikerjakan. 

Persamaan yang mendefinisikan perubahan variabel disebut transformasi. 

Dengan melakukan perubahan variabel dalam integral lipat, ternyata daerah pembatas juga 

ikut berubah. 

Berikut contoh apa yang terjadi dengan daerah, R, dalam sistem koordinat- xy yang di 

transformasi menjadi daerah pembatas dalam koordinat-uv. 

Contoh 5.8.1. Tentukan daerah pembatas baru yang didapat dengan melakukan transformasi 

pada daerah pembatas R. 

(a) R adalah sebuah ellipse dan dilakukan transformasi , . 

(b) R adalah daerah yang dibatasi oleh , , dan dan 

transformasi adalah , . 

(a) R adalah ellipse dan transformasi adalah , . 

Dengan memasukkan transformasi kedalam persamaan ellipse didapat : 

Jadi, bentuk awal ellipse setelah ditransformasi menjadi cakram dengan 2. 

(b) R adalah daerah yang dibatasi oleh , , dan dan 

transformasi adalah , . 




Sama seperti contoh (a), transformasi dimasukkan kedalam persamaan dan hal ini dilakukan 

untuk ketiga garis pembatas. Berikut sketsa dari R dalam koordinat xy : 

Gambar 5.40. 

Dilakukan transformasi untuk setiap persamaan garis batas segi tiga. 

Untuk garis 

, dengan memasukkan transformasi, 

Untuk garis , 

Terakhir untuk garis . 

Sehingga daerah baru yang diperoleh setelah transformasi adalah : 

Gambar 5.41 




Dalam proses integrasi, dengan melakukan transformasi diharapkan diperoleh bentuk 

integrand yang lebih sederhana dan daerah pembatas yang lebih mudah untuk perhitungan 

integral. 

Untuk merubah variabel dalam proses integral lipat dua dibutuhkan Jacobian untuk 

transformasi . 

Berikut definisi Jacobian. 

Definisi 

Jacobian untuk transformasi , adalah: 

Jacobian didefinisikan sebagai determinant dari matrix 2x2 , dimana perhitungannya sbb. : 

Sehingga untuk Jacobian didapat rumus determinant, 

Dengan menggunakan Jacobian integral lipat dua dengan perubahan variabel dapat 

dirumuskan sebagai : 

Suppose that we want to integrate 

Perubahan variabel untuk Integral Lipat Dua 

over the region R. Under the transformation 

, the region becomes S and the integral becomes, 

Catatan : du dv digunakan menggantikan dA dalam integral, untuk menegaskan bahwa proses 

integral sekarang adalah terhadap u dan v. 

Bentuk rumus ekivalen dA dinyatakan : 

Contoh 5.8.2. Dengan menggunakan Jacobian, tunjukkan bahwa perubahan ke koordinat 

polar menghasilkan 

Jawab : 




Transformasi disini adalah rumus / formula konversi: 

Jacobian dari transformation adalah, 

Sehingga , 


dimana R adalah daerah trapezium dengan titik ujung 

, , dan menggunakan transformasi dan . 

Jawab 

Berikut sketsa dari daerah pembatas R dan persamaan garis batas didapat : 

Gambar 5.42. 

Untuk setiap persamaan garis yang membatasi trapezium, dimasukkan persamaan 

transformasi, sehingga didapat : 

Transformasi untuk persamaan garis, adalah : 




Transformasi untuk persamaan garis adalah : 



Daerah pembatas baru S adalah persegi panjang dengan garis pembatas , , 

dan 

dan jangkauan (range) dari u dan v adalah, 

Didapat Jacobian. 

Sehingga integral lipat dua menjadi, 




Contoh 5.8.4. Hitung dimana R adalah ellipse dan 

menggunakan transformasi , . 

Jawab 

Dengan memasukkan transformasi kepersamaan ellipse maka didapat : 

Dengan membagi dengan 2 didapat persamaan yang menyatakan R berubah menjadi 

Atau suatu lingkaran radius 1. Daerah pembatas baru lebih sederhana dari yang awal. 

Untuk fungsi integrand juga berubah menjadi : 

Jacobian didapat : 

Sehingga integral menjadi : 

Untuk integral lipat tiga, langkah yang digunakan sama, yaitu pertama mulai dari daerah 

pembatas R dan dengan menggunakan transformasi , , dan 




akan merubah daerah pembatas menjadi daerah pembatas baru S. Untuk 

melakukan integrasi digunakan Jacobian. Definisi Jacobian untuk transformasi 3 variabel : 

Disini Jacobian di definisikan sebagai matrix 3x3 . 

Integral dari transformasi menjadi : 

Seperti integral lipat dua, maka differential dV dinyatakan sebagai : 

Contoh 5.8.5. Verifikasi bahwa . 

Jawab 

Transformasi : 

Jacobian didapat, 

Sehingga didapat dV , 




5.9. Luas Permukaan 

Luas bidang permukaan dimana adalah suatu titik pada daerah pembatas 

pada bidang- xy dinyatakan dalam integral lipat dua sbb. : 

Contoh 5.9.1. Dapatkan luas permukaan dari bidang 

yang terletak pada 

oktan pertama. 

Solution 

Sketsa dari bidang permukaan 

yang terletak pada oktan pertama (yaitu daerah 

x,y,z positif adalah sbb. : 

Sketsa dari daerah pembatas D. 

Gambar 5.43. 

Gambar 5.44. 

Daerah pembatas D didapat dengan memasukkan nilai z = 0 pada persamaan fungsi 

permukaan yang berarti irisan bidang permukaan dengan 

bidang-xy. Didapat persamaan sisi miring segitiga diatas. 

Persamaan ditulis ulang dalam bentuk yaitu : 

Batasan daerah D adalah, 




Sehingga luas permukaan adalah : 

Contoh 5.9.2. Hitung Luas Permukaan suatu permukaan 

yang . 

Solusi 

yang terletak pada silender 

Luas permukaan yang dicari adalah dari sebagian dimana dibatasi daerah 

pembatas berupa cakram dengan radius = 1 dan berpusat dititik 0. 

Turunan parsial didapat : 

Sehingga persamaan integral lipat dua untuk luas permukaan adalah : 

Diketahui daerah pembatas D berbentuk cakram, sehingga proses integrasi akan lebih mudah 

dilakukan dalam koordinat polar, yaitu :

mvcal BAB5

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?