Tecnologia della fotorivelazione basata su dispositivi a ... - Matematica

μB =
0.927x A
Nella trattazione che seguirà si renderà necessario utilizzare un formalismo di meccanica quantistica molto
utilizzato per lo studio dei materiali adatti per scopi fotonici, dunque anche per fotorivelazione: il sistema
completo di autofunzioni ΦJ;Jz(r, θ, φ) di Clebsch – Gordan. Questa base ortonormale consta di sei vettori ed è
utile per descrivere lo stato di un elettrone o di una lacuna in banda di valenza. I sei vettori ΦJ;Jz(r, θ, φ) in
questione sono: Φ3/2;3/2, Φ3/2;–3/2, Φ3/2;1/2, Φ3/2;–1/2, Φ1/2;1/2, Φ1/2;–1/2. Queste funzioni sono indicizzate dal “numero
quantico J del momento angolare totale” (per momento angolare totale si intende il momento angolare orbitale
sommato al momento angolare di spin ) e dal “numero quantico JZ della terza componente del momento
angolare totale”. L’esigenza di utilizzare i due numeri quantici appena citati deriva dal fatto che se adoperiamo la
base ortonormale “consueta”, che chiameremo ρ, per descrivere lo stato di un elettrone o di una lacuna in BV,
costituita dai sei vettori , , , , , (detti anche “mixed states”, poiché ciascuno è formato dal
“mescolamento” fra stati puri Yl,m(θ, φ) relativi al momento angolare orbitale e stati puri χs relativi al momento
angolare di spin), allora una generica funzione ψ(r, θ, φ, o ) sviluppata all’interno del sottospazio vettoriale (di
L 2 ) individuato da ρ, non può essere espressa come il prodotto fra le seguenti funzioni:
1) funzione radiale Rn,l(r), dove r è appunto la coordinata radiale, n è il numero quantico principale che
indicizza gli autovalori dell’energia ed l è il numero quantico orbitale, che indicizza il tipo di orbitale
(l’orbitale s è indicizzato da l = 0, quello p da l =1 ecc…). L’espressione generale di Rn,l(r) è:
Rn,l(r) = An,l p(r)
dove p(r) è un polinomio, nell’indeterminata r, di grado n – l – 1, mentre An,l è una costante reale di
normalizzazione
2) funzione angolare Yl,m(θ, φ) = θl,m(θ)фm(φ), dove φ è la coordinata angolare azimutale, θ la coordinata
angolare di altezza, m il numero quantico magnetico; l’espressione completa di Yl,m(θ, φ) è la seguente:
dove
Yl,m(θ, φ) =
sono i polinomi associati di Legendre, la cui espressione generale è:
=
фm(φ) è autofunzione dell’operatore Z, mentre Yl,m(θ, φ) è autofunzione degli operatori ed Z. La
funzione фm(φ) ha la seguente espressione normalizzata, tipica di un qualunque sistema oscillatorio:
фm(φ) =
3) funzionale di spin χs = up “ ” oppure down “ ”, dove s è numero quantico di spin (+/– ½). χs è
autofunzione degli operatori 2 ed Z
Questo poiché gli operatori quantistici , , Z ed 2 non commutano, quindi non esiste nessun sistema
completo di autofunzioni condiviso dai suddetti operatori, in altri termini non esiste alcuna base ortonormale in
cui ciascun vettore sia autofunzione di quegli operatori: data una generica funzione ψ(r, θ, φ, o ) costruita su
un qualunque sistema completo, ad esempio ρ, le dipendenze da r, θ, φ e spin non fattorizzano. Se vogliamo che
questa fattorizzazione sia possibile dobbiamo introdurre i nuovi operatori quantistici e , rispettivamente
“operatore del momento angolare totale” e “operatore della terza componente del momento angolare totale”, i
cui numeri quantici sono appunto J = l + s = 1 +/– ½ = 3/2 oppure 1/2, e JZ, dove –J < JZ < J, pertanto JZ = +/– 3/2 e
+/– 1/2 se J = 3/2, mentre JZ = +/– 1/2 se J = 1/2. Dunque il sistema completo ΦJ;Jz(r, θ, φ) di Clebsch – Gordan è
una base ortonormale di autofunzioni condivisa dagli operatori , e , rendendo così possibile la
fattorizzazione appena discussa. Le funzioni ΦJ;Jz(r, θ, φ) rappresentano stati puri relativi al momento angolare
totale.
=
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