Tecnologia della fotorivelazione basata su dispositivi a ... - Matematica

Anche l’energia di gap Egap di un semiconduttore può subire fluttuazioni dovute a molteplici fattori, come ad
esempio la concentrazione di impurezze casualmente distribuite nel reticolo cristallino, che abbiamo appena
discusso, oppure la temperatura e la concentrazione di portatori di carica mobile. Se la temperatura varia anche
la geometria cristallina del semiconduttore subisce dei cambiamenti, seppur poco significativi: ciò comporta la
variazione delle caratteristiche geometriche, e di conseguenza di quelle elettriche, le quali parametrizzano il
sistema di quattro equazioni (differenziali) a quattro incognite derivante dall’utilizzo del noto modello analitico
di Kronig – Penney. Di conseguenza anche la funzione F(E) dell’energia totale E degli elettroni, che deve
soddisfare la condizione –1 < F(E) < 1 per poter localizzare livelli energetici E permessi (cioè stati permessi),
varia con la temperatura, comportando fluttuazioni termiche sia del gap che della forma E(k) delle bande. Invece
se la temperatura del semiconduttore è molto elevata oppure nel caso in cui il segnale ottico incidente su un
fotorivelatore a semiconduttore è molto intenso (alta potenza ottica da rivelare), la concentrazione di portatori
di carica mobile, ovvero di elettroni in BC (n) e di lacune in BV (p), può diventare grande, alterando leggermente
la forma del diagramma a bande e lo spessore del gap. Infatti se per qualsivoglia causa n è elevata, un singolo
elettrone in BC non può più essere visto come una particella quasi classica (approssimazione della statistica di
Fermi – Dirac con quella di Boltzmann), ipotesi consentita se n è bassa, ovvero come una particella di fatto libera,
quindi altamente delocalizzata nello spazio reale delle coordinate e altamente localizzata all’interno dello spazio
reciproco dei vettori d’onda. A causa delle molte interazioni con gli altri elettroni in BC, abbiamo che l’elettrone
preso in considerazione risulta altamente localizzato nello spazio reale delle coordinate e altamente
delocalizzato all’interno dello spazio reciproco dei vettori d’onda; in altre parole non è più distinguibile dagli altri
elettroni che si trovano in BC. L’intero insieme di N elettroni in BC deve essere descritto dalla seguente funzione
d’onda antisimmetrica:
ψantisim(r, k) =
det
Nella prima riga del ben noto “determinante di Slater” sono allocate tutte e sole le funzioni ψ1, nella seconda riga
sono allocate tutte e sole le funzioni ψ2, nella terza riga tutte e sole le funzioni ψ3 e così via. Nella prima colonna
del determinante di Slater sono allocati tutti e soli gli insiemi di numeri quantici α1, nella seconda colonna sono
allocati tutti e soli gli insiemi di numeri quantici α2, nella terza colonna tutti e soli gli α3 e così via.
Nell’espressione della funzione d’onda antisimmetrica gli i [1, N] rappresentano le funzioni d’onda degli
N elettroni (in BC) del sistema considerati distinguibili, non interagenti, cioè trattabili classicamente, mentre gli
i [1, N] rappresentano gli N insiemi di numeri quantici n, l, m, s (αi = ni, li, mi, si). In accordo con il
principio di esclusione di Pauli, il determinante di Slater vale zero nel caso in cui due elettroni qualsiasi
appartenenti al sistema (sistema = BC) condividano tutti e quattro i numeri quantici (ad esempio se α1 fosse
uguale ad α2 le prime due righe sarebbero uguali), rendendo così nulla la funzione d’onda antisimmetrica che
descrive il sistema (nonché la sua densità di probabilità), dunque rendendo impossibile una simile eventualità.
Maggiore è la concentrazione n di elettroni in BC, maggiore è la schermatura che questi esercitano sul potenziale
prodotto dagli atomi (=ioni positivi) del cristallo, minore è l’interazione coulombiana tra ciascuno degli N
elettroni e gli atomi del semiconduttore, minore è l’energia potenziale di ciascuno degli N elettroni e quindi
minore è l’energia totale E degli stessi. Un ragionamento analogo può essere fatto per un sistema di lacune in BV.
Pertanto abbiamo un decremento di EC ed un incremento di EV, e quindi un decremento di Egap. Per il silicio
drogato n la relazione empirica che consente di calcolare il decremento dell’energia di gap dovuto sia alle
fluttuazioni termiche che al livello di drogaggio, ovvero alla concentrazione n di elettroni in BC, è la seguente:
ΔEgap = – 22.5
Per il GaAs (tipo bulk) è stata trovata la seguente relazione empirica per calcolare il decremento di Egap dovuto
alla concentrazione n di elettroni in BC e a quella p di lacune in BV (e indirettamente alle fluttuazioni termiche):
Egap = Egap0 – 1.6x
dove Egap0 è il valore dell’energia di gap per il GaAs (tipo bulk), che è di circa 1.51 eV a T = 0 K e di circa 1.43 eV a
T = 300 K.
meV
eV
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