Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

D TXHVWLRQH GHOOH SDUDOOHOH
( 3ˆ
% = 34ˆ
' (ipotesi, costruzione della copia di un angolo)
7HVL : 3% e 4' sono parallele (criterio diretto di parallelismo, 1)
34ˆ
' + 4 ˆ%3
= π (1)
43ˆ
% ′ < 43ˆ
% (VIII nozione comune, ipotesi)
34ˆ
' + 4 ˆ%3
′ < π (IV nozione comune, 3, 4)
7HVL le rette 4' e 3 % ′ non sono parallele (ipotesi, 5)
'DOOXQLFLWj GHOOH SDUDOOHOH DO TXLQWR SRVWXODWR
Passiamo ora a dimostrare che l’unicità della parallela a una retta data passante per un punto esterno
ad essa implica il quinto postulato nella forma in cui esso è enunciato negli (OHPHQWL. Sempre con
riferimento alla Figura 6, costruiamo la retta 3% tale che ( 3ˆ
% = 34ˆ
' e tracciamo la retta 3 % ′ tale
che 34ˆ
' + 4 ˆ%3
′ < π . Supponiamo per assurdo che le rette 4' e 3 % ′ siano parallele. Ora, anche
3% è parallela a 4' in base al criterio diretto di parallelismo; avremmo dunque due parallele
distinte (3% e 3 % ′ ) per lo stesso punto 3 alla medesima retta 4', in contraddizione con il postulato
dell’unicità della parallela che è la nostra ipotesi.
Formalizziamo i passaggi della seconda parte della dimostrazione:
,SRWHVL: GDWD XQD UHWWD H XQ SXQWR HVWHUQR DG HVVD HVLVWH XQD H XQD VROD UHWWD SDVVDQWH SHU WDOH
SXQWR H SDUDOOHOD DOOD UHWWD GDWD, la costruzione di Figura 6.
( 3ˆ
% = 34ˆ
' (ipotesi, costruzione della copia di un angolo)
3% e 4' sono parallele (criterio diretto di parallelismo, 1)
le rette 4' e 3 % ′ siano parallele (tesi negata)
3% e 3 % ′ sono due rette parallele a 4' entrambe passanti per 3 (2, 3)
contraddizione (ipotesi, 4)
7HVL: 4' e 3 % ′ non sono parallele (5)
, WHQWDWLYL GL GLPRVWUD]LRQH GHO FULWHULR LQYHUVR GL SDUDOOHOLVPR
È chiaro che la scelta di “imporre” il criterio inverso di parallelismo attraverso un postulato DG
KRF non è molto soddisfacente dal punto di vista logico. Inoltre, questo teorema possiede anche un
innegabile carattere intuitivo: sembra davvero ovvio che si possa sempre tracciare una retta (e non
più di una) parallela a una retta data per un punto esterno. Infine, molti altri importanti teoremi (ad
esempio il teorema di Pitagora) seguono dal criterio inverso di parallelismo. Per questo motivo fin
dai tempi di Euclide e per molti secoli a seguire i matematici prima greci, poi arabi e infine europei,
si cimentarono col problema di trovare una dimostrazione per il criterio inverso di parallelismo (o
per quinto postulato, che è lo stesso). Questi tentativi sembrano a prima vista corretti, ma in realtà
non possono essere accettati perché “nascondono” tra le ipotesi ciò che vogliono dimostrare. Molte
delle prove del quinto postulato assumono infatti “rette parallele” siano rette che corrono a un
distanza costante l’una dall’altra. Tuttavia la definizione di parallele non parla di distanza reciproca,
ma solo di rette che non si incontrano. Anche se può sembrare impossibile che due rette che non
mantengono una distanza costante l’una dall’altra possano non incontrarsi, da un punto di vista
logico si tratta di due proprietà diverse. È possibile dimostrare che il parallelismo di due rette
implica che esse corrano a distanza costante, ma in tale dimostrazione entra il criterio inverso,
pertanto non si può utilizzare tale proprietà per dimostrare il quinto postulato.
L’ultimo importante tentativo di dimostrazione del quinto postulato è quello dell’italiano
Gerolamo Saccheri, nella prima metà del XVIII secolo, il quale adottò una linea diversa da quella
dei suoi predecessori. Pensava infatti Saccheri: invece di tentare una dimostrazione diretta del
quinto postulato, proviamo a negarlo ed esploriamo le conseguenze di questa riformulazione delle
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