Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

5HWWH SHUSHQGLFRODUL H OXRJKL JHRPHWULFL
Negli (OHPHQWL non troviamo una definizione esplicita di distanza di un punto da una
retta, tuttavia la proposizione 12 del primo libro indica la costruzione con riga e compasso
proprio della perpendicolare a una retta data passante per un punto esterno ad essa:
$G XQD UHWWD GDWD LOOLPLWDWD GD XQ SXQWR GDWR DG HVVD HVWHUQR FRQGXUUH XQD OLQHD
UHWWD SHUSHQGLFRODUH
Facendo riferimento alla Figura 11, sia $ il punto per cui
deve passare la perpendicolare alla retta. Scegliamo un punto
' qualsiasi dall’altra parte della retta rispetto ad $ e con
apertura del compasso pari a '$ tracciamo una circonferenza
che incontra la retta nei punti % e &. Sia 0 il punto medio del
segmento %& (ricordiamo che la costruzione del punto medio
di un segmento è una conseguenza del terzo criterio di
uguaglianza dei triangoli): la retta per $ e 0 è la
perpendicolare cercata. Infatti i triangoli $%0 e $0& sono
uguali in base al terzo criterio avendo: $0 in comune;
$% = $& poiché raggi della stessa circonferenza;
%0 = 0& per costruzione. Dall’uguaglianza dei due
triangoli segue che % 0ˆ
$ = $ 0ˆ
& , elementi corrispondenti.
Ritroviamo quindi la definizione di perpendicolarità: la retta $0 viene a formare, cadendo
su %& angoli adiacenti uguali.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 11
$% = $& (ipotesi)
%0 = 0& (ipotesi)
i triangoli $%0 e $0& sono uguali (terzo criterio di uguaglianza, 1, 2)
7HVL: % 0ˆ
$ = $ 0ˆ
& (E.C.T.U., 3)
/XRJKL JHRPHWULFL
Un concetto che non troviamo esplicitamente definito negli (OHPHQWL ma che riveste
estrema importanza nella geometria è quello di OXRJR JHRPHWULFR. Un luogo geometrico è
un insieme di punti (cioè una figura geometrica) formato da tutti i punti che godono di una
certa proprietà e solo da essi. In altri termini, per far vedere che una certa figura è un
particolare luogo geometrico dobbiamo dimostrare che i punti della figura godono di quella
proprietà (tutti i punti...) e che se un punto gode di quella proprietà allora esso appartiene
alla figura (solo i punti...). Un paio di esempi concreti renderanno più chiaro questo
concetto.
/DVVH GL XQ VHJPHQWR
Come primo esempio di luogo geometrico consideriamo l’asse di un segmento, definito
come l’insieme dei punti che godono della proprietà di essere equidistanti dagli estremi del
segmento. Tale insieme è formato dai punti della retta perpendicolare al segmento passante
per il suo punto medio: nella Figura 11 la retta $0 è l’asse del segmento %&. Vogliamo
cioè dimostrare il seguente teorema:
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)LJXUD 3HUSHQGLFRODUH D
XQD UHWWD GDWD SHU XQ SXQWR
HVWHUQR DG HVVD