Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

5HWWH SHUSHQGLFRODUL H OXRJKL JHRPHWULFL
tale scopo tracciamo i segmenti '% e '& perpendicolari rispettivamente ad $% e $&. I
triangoli $%' e $'& hanno il lato $' in comune, % $ ˆ ' = '$
ˆ&
per ipotesi e
ˆ ˆ π
$ % ' = $ '& = per costruzione. Essi sono pertanto uguali in base al secondo criterio di
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uguaglianza e quindi sono uguali anche i lati corrispondenti %' e &': il punto ' è pertanto
equidistante dai lati dell’angolo (ricordiamo che la distanza di un punto da una retta è il
segmento di perpendicolare tracciato dal punto alla retta).
Per dimostrare la seconda parte di questo teorema (cioè che se un punto è equidistante
dai lati di un angolo allora la retta che passa per esso e per il vertice dell’angolo è la
bisettrice) abbiamo bisogno di un lemma:
6H GXH WULDQJROL UHWWDQJROL KDQQR XJXDOL ULVSHWWLYDPHQWH XQ FDWHWR H OLSRWHQXVD DOORUD
VRQR XJXDOL
Lasciamo la dimostrazione di questo criterio per esercizio (problema 3).
Assumiamo dunque come ipotesi che ' sia un punto equidistante dai lati dell’angolo,
cioè che i due segmenti '% e '&, perpendicolari rispettivamente ad $% e $&, siano uguali.
Ancora una volta avremo che i triangoli rettangoli $%' e $'& sono uguali, stavolta in
base al lemma enunciato sopra. Essi hanno infatti l’ipotenusa $' in comune e i cateti '% e
'& uguali per ipotesi. Pertanto sarà anche % $ ˆ ' = '$
ˆ&
, poiché si tratta di angoli
corrispondenti nei triangoli uguali. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione.
7HRUHPD GLUHWWR
,SRWHVL: la costruzione di Figura 13, % $ ˆ ' = '$
ˆ&
ˆ ˆ π
$ % ' = $ '& = (ipotesi)
2
i triangoli $%' e $&' sono uguali (secondo criterio di uguaglianza, ipotesi, 1)
7HVL: %' = '& (E.C.T.U., 2)
7HRUHPD LQYHUVR
,SRWHVL: la costruzione di Figura 13, %' = '&
ˆ ˆ π
$ % ' = $ '& = (ipotesi)
2
i triangoli $%' e $&' sono uguali (lemma, ipotesi)
7HVL: % $ ˆ ' = '$
ˆ&
(E.C.T.U., 2)
, SXQWL QRWHYROL GL XQ WULDQJROR
Due rette che non siano parallele si incontreranno sempre in un punto, esisterà cioè un
punto appartenente ad entrambe le rette. Prese invece tre rette qualsiasi non parallele,
questo non sarà più necessariamente vero. In altri termini non esisterà necessariamente
alcun punto che appartenga a tutte e tre le rette.
Abbiamo già visto come le tre mediane di un triangolo qualsiasi si incontrino sempre in
un punto (il EDULFHQWUR del triangolo). Dimostreremo adesso che in un triangolo esistono
altri SXQWL QRWHYROL, laddove si incontrano gli assi dei lati, le bisettrice degli angoli, le
altezze.
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