Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

D TXHVWLRQH GHOOH SDUDOOHOH
,O FULWHULR GLUHWWR GL SDUDOOHOLVPR
La definizione di “rette parallele” è: rette che prolungate
indefinitamente non si incontrano (definizione XXIII). Ora,
neanche in linea di principio è possibile stabilire il
parallelismo di due rette applicando direttamente questa
definizione, e il motivo di tale impossibilità è tutto
nell’avverbio “indefinitamente”. Dovremmo infatti poter
considerare la retta nella sua attuale infinità, un’operazione
che, come abbiamo avuto già modo di notare, non era
permessa nella matematica greca.
La proposizione 27 del primo libro degli (OHPHQWL (e la
sua generalizzazione, la proposizione 28) risolvono questo
problema, fornendo un criterio che sia operativamente
utilizzabile per stabilire il parallelismo tra due rette. Con
riferimento alla Figura 4, in cui si hanno due rette tagliate da una trasversale, definiamo DOWHUQL
LQWHUQL gli angoli della coppia $ 34
ˆ '43 ˆ e quelli della coppia % 34
ˆ &43 ˆ ; inoltre sono DOWHUQL
HVWHUQL geli angoli delle coppie $ 3(
ˆ '4) ˆ e % 3(
ˆ &4) ˆ ; sono FRUULVSRQGHQWL gli angoli delle
coppie $ 3(
ˆ &43 ˆ , $ 34
ˆ &4) ˆ , % 3(
ˆ '43 ˆ , % 34
ˆ '4) ˆ ; sono FRQLXJDWL LQWHUQL gli angoli delle
coppie % 34
ˆ '43 ˆ e $ 34
ˆ &43 ˆ ; sono infine FRQLXJDWL HVWHUQL gli angoli delle coppie % 3(
ˆ
)LJXUD &ULWHUL GL SDUDOOHOLVPR
'4) ˆ e $ 3(
ˆ &4) ˆ .
Il criterio di parallelismo stabilisce che due rette sono parallele se gli angoli alterni interni che si
formano quando esse sono tagliate da una trasversale sono uguali. L’esatto enunciato della
proposizione 27 è:
6H XQD UHWWD FKH YHQJD D FDGHUH VX DOWUH GXH UHWWH IRUPD JOL DQJROL DOWHUQL XJXDOL IUD ORUR OH
GXH UHWWH VDUDQQR IUD ORUR SDUDOOHOH
La dimostrazione procede per assurdo e sfrutta il teorema dell’angolo esterno. Supponiamo infatti
che le due rette della Figura 4 si incontrino in un ipotetico punto . dalla parte di % e '. Allora nel
triangolo 34. si avrebbe una violazione del teorema dell’angolo esterno, in quanto l’angolo esterno
&43 ˆ è uguale a – e quindi non maggiore di – l’angolo interno non adiacente % 34
ˆ . Per lo stesso
motivo il punto . non può stare neanche dalla parte di $ e &. Formalizziamo i passaggi della
dimostrazione:
,SRWHVL: % 3ˆ
4 = &4ˆ
3 e $ 3ˆ
4 = '4ˆ
3
le rette $% e &' si incontrano in un punto . dalla parte di % e ' (tesi negata)
le rette $% e &' si incontrano in un punto . dalla parte di $ e & (tesi negata)
% 3ˆ
4 < &4ˆ
3 (teorema dell’angolo esterno, 1)
$ 3ˆ
4 < '4ˆ
3 (teorema dell’angolo esterno, 2)
contraddizione (3, ipotesi)
contraddizione (4, ipotesi)
7HVL: le rette $% e &' sono parallele
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