Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

D GLVXJXDJOLDQ]D WULDQJRODUH
5HOD]LRQL WUD L ODWL H JOL DQJROL LQ XQ WULDQJROR
Le proposizioni 18, 19 e 20 del primo libro degli (OHPHQWL rappresentano un importante gruppo
di risultati su alcune proprietà del triangolo espresse in forma di disuguaglianze. Le prime due di
tali proposizioni possono essere collegate al teorema del triangolo isoscele e al suo inverso.
Sappiamo infatti che in un triangolo due angoli sono uguali se anche i lati opposti ad essi sono
uguali. Otteniamo una formulazione equivalente del teorema scambiando l’ipotesi con la tesi, dopo
averle negate entrambe (ricordiamo che l’implicazione diretta S ⇒ T è equivalente a T ⇒ S ): se
in un triangolo due angoli sono disuguali anche i lati opposti ad essi lo sono. Ora, il fatto che i due
lati siano disuguali significa che uno sarà maggiore dell’altro, ma il teorema del triangolo isoscele
non ci permette di stabilire qual è il lato più lungo; la proposizione 19 risponde proprio a questa
domanda.
In maniera analoga il teorema inverso del triangolo isoscele implica che se due lati di un
triangolo sono disuguali anche gli angoli ad essi opposti lo sono. Di nuovo, non abbiamo modo di
stabilire quale dei due angoli sia maggiore, cosa che invece è possibile applicando la proposizione
18.
Infine, la proposizione 20 stabilisce una relazione tra i lati di un triangolo che per la sua
generalità e potenzialità ha trovato applicazioni anche in campi della matematica diversi dalla
geometria sintetica.
7ULDQJROR FRQ XQD FRSSLD GL ODWL GLVXJXDOL
Il primo risultato che prendiamo in considerazione (proposizione 18 del primo libro degli
(OHPHQWL) riguarda i triangoli con almeno due lati disuguali (quindi ogni triangolo a parte quello
equilatero) e stabilisce che tra gli angoli opposti vale la stessa relazione. L’enunciato esatto del
teorema è:
,Q RJQL WULDQJROR D ODWR PDJJLRUH q RSSRVWR
DQJROR PDJJLRUH
Per la dimostrazione facciamo riferimento alla
Figura 1. Supponiamo che i due lati disuguali siano
$% e $& e che in particolare sia $% < $& .
Potremo allora prendere un punto ' sul lato $&
tale che $% = $' . Consideriamo ora il triangolo
%&'; applicando ad esso il teorema dell’angolo
esterno otteniamo che % 'ˆ
$ > % &ˆ
' (infatti % 'ˆ
$ è
l’angolo esterno adiacente a % '&
ˆ ).
Poiché il triangolo $%' è isoscele per costruzione,
avremo che % 'ˆ
$ = $ % ˆ'
. Inoltre, vale anche la
disuguaglianza $ % ˆ ' < $ % ˆ&
in quanto il primo )LJXUD 7ULDQJROR FRQ XQD FRSSLD GL ODWL GLVXJXDOL
angolo è interamente contenuto nel secondo.
Riassumendo, possiamo scrivere la seguente catena di uguaglianze/disuguaglianze:
$ &ˆ
% < $ 'ˆ
% = $ % ˆ'
< $ % ˆ&
, in cui la prima relazione (disuguaglianza) è una conseguenza del
teorema dell’angolo esterno, la seconda relazione (uguaglianza) deriva dal teorema diretto del
3