Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

3DUDOOHORJUDPPL
,O EDULFHQWUR GL XQ WULDQJROR
Come applicazione di quanto visto sopra dimostriamo una importante proprietà dei
triangoli, e cioè il fatto che le tre mediane si incontrano in un punto – detto EDULFHQWUR del
triangolo – e che tale punto divide ogni mediana in due parti tali che una sia doppia
dell’altra. Per dimostrare questa proprietà abbiamo bisogno di un lemma:
,O VHJPHQWR FKH XQLVFH L SXQWL PHGL GL GXH ODWL GL XQ WULDQJROR q SDUDOOHOR DO WHU]R ODWR
H XJXDOH DOOD VXD PHWj 9LFHYHUVD VH GDO SXQWR PHGLR GL XQ ODWR GL XQ WULDQJROR
WUDFFLDPR OD SDUDOOHOD D XQR GHJOL DOWUL ODWL TXHVWD LQFRQWUD LO WHU]R ODWR QHO VXR SXQWR
PHGLR
La dimostrazione di questo lemma è lasciata per
esercizio (problemi 14 e 15).
Veniamo dunque all’enunciato e alla dimostrazione
del seguente teorema:
/H PHGLDQH GL XQ WULDQJROR VL LQFRQWUDQR LQ XQLFR
SXQWR H VRQR GLYLVH GD HVVR LQ GXH SDUWL XQD GRSSLD
GHOODOWUD
Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura
9. Siano $1 e %/ due mediane che si intersecano in *.
Siano poi - e . i punti medi di $* e %* rispettivamente.
Consideriamo il triangolo $%&: il segmento /1 unisce i
punti medi dei lati $& e %&, ed è pertanto parallelo ad $%
e pari alla sua metà. Consideriamo ora il triangolo $%*:
)LJXUD %DULFHQWUR GL XQ WULDQJROR
il segmento -. unisce i punti medi dei lati $* e %*, ed è
pertanto parallelo ad $% e pari alla sua metà. Il
quadrilatero /-.1 avendo i lati /1 e -. uguali e paralleli è quindi un parallelogramma.
Come abbiamo visto, in un parallelogramma le diagonali si dividono reciprocamente a
metà, cioè -* = *1 . Ma in base alla costruzione effettuata è anche $- = -* ; questo
significa che $* = 2*1
, cioè il punto * divide la mediana $1 in due parti una doppia
dell’altra (prima parte della tesi).
Per mostrare che anche la mediana &0 passa per * procediamo per assurdo e
supponiamo che $1 e &0 si incontrino in un punto *′ diverso da *. Se così fosse,
ripetendo la prima parte della dimostrazione relativamente ad $1 e &0, avremmo che *′
divide $1 in due parti una doppia dell’altra, cioè che $ * ′ = 2 * ′ 1 . D’altra parte è anche
2
$* = 2*1
, si avrebbe così l’assurdo che $* = $ * ′ = $1 essendo * ≠ * ′ .
3
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: 0, 1 ed / punti medi di $%, %& e $& rispettivamente. La costruzione di Figura 9.
1
/1 parallelo ad $%; /1 = $% (lemma, ipotesi)
2
1
-. parallelo ad $%; -. = $% (lemma, ipotesi)
2
-. parallelo /1; -. = /1 (1, 2)
-.1/ parallelogramma (criterio dei parallelogrammi, 3)
-* = *1 (proprietà dei parallelogrammi, 4)
7HVL : $* = 2*1
(5, ipotesi)
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