Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

5HWWH SHUSHQGLFRODUL H OXRJKL JHRPHWULFL
-( = -) (ipotesi)
-' = -) (1, 2)
7HVL: - appartiene anche alla bisettrice dell’angolo in & (teorema sulla bisettrice di un
angolo, 3)
2UWRFHQWUR
Dal teorema visto sopra sul circocentro discende che
anche le tre altezze di un triangolo si incontrano sempre
in un punto, detto RUWRFHQWUR.
Per dimostrare questo risultato facciamo ricorso alla
costruzione illustrata nella Figura 16. Dal vertice $ del
triangolo $%& tracciamo la parallela al lato opposto
&%, dal vertice % la parallela al lato $& e dal vertice &
la parallela al lato $%. Queste tre rette si incontrano nei
punti ', ( ed ). Osserviamo adesso che &$
ˆ ' = $ &ˆ
%
in quanto angoli alterni interni delle parallele &% e '(
tagliate dalla trasversale $&. Considerando invece le
parallele $% e ') tagliate dalla trasversale $& avremo
che '&ˆ
$ = &$
ˆ%
. Essendo poi il lato $& in comune,
possiamo dedurre l’uguaglianza dei triangoli $%& e
$'& in base al secondo criterio. Di conseguenza
'& = $% in quanto elementi corrispondenti in
triangoli uguali. Ripetendo il medesimo ragionamento per le altre coppie di rette parallele
presenti nella Figura 16 tagliate da differenti trasversali, si arriva a dimostrare che anche i
triangoli &%) e $%( sono uguali ad $%&. Ad esempio, nel caso del triangolo &%) si ha
&) = $% in quanto elementi corrispondenti. Essendo quindi &) = $% e '& = $% sarà
anche '& = &) , vale a dire & è il punto medio del segmento '). Vediamo allora che
l’altezza relativa ad $% nel triangolo $%& è anche l’asse del lato ') nel triangolo (').
Essa infatti, essendo perpendicolare ad $%, lo è anche a '); inoltre passa per &, punto
medio di '). In maniera del tutto analoga l’altezza relativa ad $& nel triangolo $%& è
l’asse del lato )( nel triangolo ('), e l’altezza relativa a &% nel triangolo $%& è l’asse
del lato '( nel triangolo ('). Ricordando che gli assi dei lati di un triangolo si
incontrano in un punto, abbiamo infine che il circocentro di '() non è altro che
l’ortocentro di $%&.
Formalizziamo i passaggi della dimostrazione:
,SRWHVL: La costruzione di Figura 16 in cui ', ( ed ) sono i punti di incontro delle parallele
a ciascun lato tracciate per il vertice opposto.
&$
ˆ ' = $ &ˆ
% (criterio parallelismo inverso, ipotesi)
'&ˆ
$ = &$
ˆ%
(criterio parallelismo inverso, ipotesi)
I triangoli $%& e $'& sono uguali (secondo criterio, 1, 2)
'& = $% (E.C.T.U., 3)
'$ = &% (E.C.T.U., 3)
&%
ˆ ) = $ &ˆ
% (criterio parallelismo inverso, ipotesi)
% &ˆ
) = &%
ˆ$
(criterio parallelismo inverso, ipotesi)
I triangoli $%& e &%) sono uguali (secondo criterio, 6, 7)
)& = $% (E.C.T.U., 8)
)% = $& (E.C.T.U., 8)
25
)LJXUD 2UWRFHQWUR