Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

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D GLVXJXDJOLDQ]D WULDQJRODUH triangolo isoscele e la terza relazione (disuguaglianza) discende all’ottava nozione comune. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: ,SRWHVL: nel triangolo $%& si ha $% < $& (Figura 1). si sceglie un punto ' sul lato $& tale che $% = $' . (ipotesi) % 'ˆ $ > $ &ˆ % (teorema angolo esterno, ipotesi) % 'ˆ $ = $ % ˆ' (teorema triangolo isoscele, 1) $ % ˆ ' < $ % ˆ& (VIII nozione comune, 1) 7HVL: $ &ˆ % < $ % ˆ& (2, 3, 4) 7ULDQJROR FRQ XQD FRSSLD GL DQJROL GLVXJXDOL La proposizione inversa di quella appena dimostrata è la numero 19 del primo libro, e recita: ,Q RJQL WULDQJROR DG DQJROR PDJJLRUH q RSSRVWR ODWR PDJJLRUH Per la dimostrazione – che procede per assurdo – facciamo ancora riferimento alla Figura 1. Sia dunque $ &ˆ % < $ % ˆ& per ipotesi e supponiamo per assurdo che il lato $% non sia minore del lato $&. Possono dunque aversi due casi. Primo caso: $% = $& ; in tal caso il teorema del triangolo isoscele stabilirebbe che $ &ˆ % = $ % ˆ& , contro l’ipotesi. Secondo caso: $% > $& ; ma allora il teorema sul triangolo con una coppia di lati disuguali (proposizione I, 18) imporrebbe che $ &ˆ % > $ % ˆ& , e anche questo è contro l’ipotesi. Non potendo quindi $% essere né uguale a né maggiore di $&, non rimane che $% < $& , che è la nostra tesi. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: ,SRWHVL: nel triangolo $%& si ha $ &ˆ % < $ % ˆ& . $% non minore di $& (tesi negata) $% = $& (1) $ &ˆ % = $ % ˆ& (teorema triangolo isoscele, 2) $% > $& (1) $ &ˆ % > $ % ˆ& (teorema triangolo con una coppia di lati disuguali, 4) contraddizione (ipotesi, 3, 5) 7HVL: $% < $& /D GLVXJXDJOLDQ]D WULDQJRODUH Una delle proposizioni più importanti di tutti gli (OHPHQWL è senza dubbio la ventesima del primo libro, universalmente nota come “disuguaglianza triangolare”. Essa esprime la proprietà che un lato di un triangolo è sempre minore della somma degli altri due. Detto in altri termini, il segmento di retta è la linea più breve che unisce due punti (almeno se paragonato agli altri possibili percorsi formati dalla successione di tratti rettilinei). La proprietà è estremamente intuitiva, tanto che Proclo – uno degli antichi commentatori di Euclide – riporta una osservazione secondo cui la proposizione I, 20 è nota anche agli asini: se infatti si pone del foraggio a un vertice di un triangolo e un asino affamato su un altro vertice, l’asino percorrerà un solo lato e non due per raggiungere il cibo. Nella matematica moderna questo risultato è stato generalizzato anche a contesti molto lontani dalla geometria sintetica. Veniamo quindi all’enunciato e alla dimostrazione di questo importante teorema: ,Q RJQL WULDQJROR OD VRPPD GL GXH ODWL FRPXQTXH SUHVL q PDJJLRUH GHO ODWR ULPDQHQWH 4
D GLVXJXDJOLDQ]D WULDQJRODUH Per la dimostrazione facciamo riferimento alla Figura 2. Sia $%& un triangolo. Prolunghiamo il lato %$ oltre $ di un tratto $' = $& . Osserviamo poi che il triangolo $'& che si è venuto a formare è isoscele, pertanto % 'ˆ & = '&ˆ $ . Inoltre l’angolo '&$ ˆ è più piccolo di '&% ˆ , essendone una parte. Quindi, nel triangolo '%& vale la relazione % 'ˆ & < '&ˆ % , e poiché ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore, sarà anche %& < %' ,ma %' = %$ + $' = %$ + $& per costruzione, da cui segue la tesi: %& < $% + $& . Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: ,SRWHVL: la costruzione di Figura 2 ( $' = $& ) % 'ˆ & = '&ˆ $ (teorema triangolo isoscele, ipotesi) '&ˆ % = '&ˆ $ + $ &ˆ % (ipotesi) '&ˆ % > '&ˆ $ (VIII nozione comune, 2) '&ˆ % > % 'ˆ & (3, 1) %' > %& (teorema triangoli con gli angoli disuguali, 4) 7HVL: %& < $% + $& (5, ipotesi) 8QD LPSRUWDQWH DSSOLFD]LRQH Come esempio di applicazione del teorema della disuguaglianza triangolare, vediamo un celebre problema che ha una particolare rilevanza anche in contesti differenti dalla geometria. La domanda che ci poniamo è: data una retta e due punti che si trovano dalla stessa parte rispetto ad essa, qual è il percorso più breve che unisce i due punti toccando la retta? Con riferimento alla Figura )LJXUD 3, siano 3 e 4 i due punti e $% 8Q SUREOHPD GL SHUFRUVR PLQLPR la retta. La costruzione geometrica che permette di risolvere il problema è la seguente: dal punto 4 tracciamo la perpendicolare ad $% che incontra tale retta in 0; su questa retta prendiamo il punto 5 da parte opposta rispetto a 4 e tale che 40 = 05 . Uniamo poi 3 con 5; il segmento 35 incontra la retta $% in ., che è proprio il punto che stiamo cercando. Ciò significa che – preso un qualsiasi punto - su $% diverso da . – vale la disuguaglianza: 3. + .4 < 3- + -4 . Per dimostrare questo risultato prendiamo in considerazione i triangoli .04 e .50. Essi sono uguali in virtù del primo criterio in quanto hanno: .0 in comune, 40 = 05 per ipotesi e ˆ ˆ π . 04 = . 50 = ancora per ipotesi. Dunque, .4 = .5 2 (elementi corrispondenti in triangoli uguali). Per lo stesso motivo – prendendo in considerazione i triangoli 4-0 e -05 – possiamo dire 5 )LJXUD /D GLVXJXDJOLDQ]D WULDQJRODUH
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