Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

3DUDOOHORJUDPPL
3DUDOOHORJUDPPL
4XDGULODWHUL SDUWLFRODUL
La nomenclatura che Euclide introduce nelle definizioni del primo libro degli (OHPHQWL
per i quadrilateri è differente da quella usata oggigiorno, tuttavia nella proposizione 34
viene introdotto il termine “parallelogramma” senza che ne sia stata data preventivamente
una definizione. Dal contesto però si evince chiaramente che con parallelogramma si
intende un quadrilatero avente i lati opposti paralleli. È interessante notare che il segmento
che unisce due vertici opposti di un parallelogramma, cioè la diagonale, viene chiamata da
Euclide “diametro”, termine utilizzato anche da Platone nei suoi dialoghi. Il termine
“trapezio”, che pure compare nelle definizioni, non lo ritroviamo in alcuna proposizione,
mentre nessuna menzione viene fatta del GHOWRLGH (un quadrilatero dal classico profilo “ad
aquilone”, formato da due triangoli isosceli con la stessa base uniti per la base).
Riassumendo la terminologia utilizzata riguardo ai quadrilateri, abbiamo che:
- un quadrilatero con una coppia di lati paralleli si chiama WUDSH]LR;
- un quadrilatero con due coppie di lati paralleli si chiama SDUDOOHORJUDPPD;
- un quadrilatero con le due coppie di lati adiacenti uguali si chiama GHOWRLGH;
- un quadrilatero con tutti i lati uguali si chiama URPER;
- un quadrilatero con tutti gli angoli uguali a un angolo retto si chiama UHWWDQJROR;
- un quadrilatero che è sia rombo che rettangolo si chiama TXDGUDWR.
8Q FULWHULR SHU ULFRQRVFHUH XQ SDUDOOHORJUDPPD
La proposizione 33, sebbene non contenga esplicitamente il termine “parallelogramma”
(che sarà introdotto solo nella successiva), è il primo teorema che incontriamo che riguarda
tali quadrilateri. Si tratta di un criterio in base al quale possiamo affermare che un
quadrilatero avente una coppia di lati opposti uguali e paralleli è un parallelogramma.
L’enunciato della proposizione 33 è il seguente:
5HWWH FKH FRQJLXQJDQR GDOOD VWHVVD SDUWH UHWWH XJXDOL H SDUDOOHOH VRQR DQFKHVVH XJXDOL
H SDUDOOHOH
In termini di parallelogrammi possiamo esprimere questa
proposizione in forma di criterio per stabilire se un certo
quadrilatero è un parallelogramma, cioè: XQ TXDGULODWHUR
DYHQWH XQD FRSSLD GL ODWL XJXDOL H SDUDOOHOL q XQ
SDUDOOHORJUDPPD (in realtà la proposizione 33 dice
qualcosa in più, dato che nella definizione di
parallelogramma c’è solo il parallelismo ma non
l’uguaglianza dei lati opposti). Per la dimostrazione
facciamo riferimento alla Figura 8. Siano $% e &' due
segmenti uguali e paralleli. La diagonale %& è una
trasversale che taglia le due rette parallele $% e &', pertanto gli angoli alterni interni
$ % & ˆ e % &'
ˆ sono uguali. Dunque, i triangoli $%& e %&' sono uguali in base al primo
criterio. Come conseguenza di ciò: $& = %' (che è la prima parte della tesi) e
$ &ˆ
% = &%
ˆ'
perché elementi corrispondenti in triangoli uguali. Ma $ &ˆ
% e &% ' ˆ sono
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)LJXUD &ULWHULR SHU ULFRQRVFHUH
XQ SDUDOOHORJUDPPD