Dispense sulla disuguaglianza triangolare, le rette parallele e i ...

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D TXHVWLRQH GHOOH SDUDOOHOH ,O FULWHULR GLUHWWR GL SDUDOOHOLVPR La definizione di “rette parallele” è: rette che prolungate indefinitamente non si incontrano (definizione XXIII). Ora, neanche in linea di principio è possibile stabilire il parallelismo di due rette applicando direttamente questa definizione, e il motivo di tale impossibilità è tutto nell’avverbio “indefinitamente”. Dovremmo infatti poter considerare la retta nella sua attuale infinità, un’operazione che, come abbiamo avuto già modo di notare, non era permessa nella matematica greca. La proposizione 27 del primo libro degli (OHPHQWL (e la sua generalizzazione, la proposizione 28) risolvono questo problema, fornendo un criterio che sia operativamente utilizzabile per stabilire il parallelismo tra due rette. Con riferimento alla Figura 4, in cui si hanno due rette tagliate da una trasversale, definiamo DOWHUQL LQWHUQL gli angoli della coppia $ 34 ˆ '43 ˆ e quelli della coppia % 34 ˆ &43 ˆ ; inoltre sono DOWHUQL HVWHUQL geli angoli delle coppie $ 3( ˆ '4) ˆ e % 3( ˆ &4) ˆ ; sono FRUULVSRQGHQWL gli angoli delle coppie $ 3( ˆ &43 ˆ , $ 34 ˆ &4) ˆ , % 3( ˆ '43 ˆ , % 34 ˆ '4) ˆ ; sono FRQLXJDWL LQWHUQL gli angoli delle coppie % 34 ˆ '43 ˆ e $ 34 ˆ &43 ˆ ; sono infine FRQLXJDWL HVWHUQL gli angoli delle coppie % 3( ˆ )LJXUD &ULWHUL GL SDUDOOHOLVPR '4) ˆ e $ 3( ˆ &4) ˆ . Il criterio di parallelismo stabilisce che due rette sono parallele se gli angoli alterni interni che si formano quando esse sono tagliate da una trasversale sono uguali. L’esatto enunciato della proposizione 27 è: 6H XQD UHWWD FKH YHQJD D FDGHUH VX DOWUH GXH UHWWH IRUPD JOL DQJROL DOWHUQL XJXDOL IUD ORUR OH GXH UHWWH VDUDQQR IUD ORUR SDUDOOHOH La dimostrazione procede per assurdo e sfrutta il teorema dell’angolo esterno. Supponiamo infatti che le due rette della Figura 4 si incontrino in un ipotetico punto . dalla parte di % e '. Allora nel triangolo 34. si avrebbe una violazione del teorema dell’angolo esterno, in quanto l’angolo esterno &43 ˆ è uguale a – e quindi non maggiore di – l’angolo interno non adiacente % 34 ˆ . Per lo stesso motivo il punto . non può stare neanche dalla parte di $ e &. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: ,SRWHVL: % 3ˆ 4 = &4ˆ 3 e $ 3ˆ 4 = '4ˆ 3 le rette $% e &' si incontrano in un punto . dalla parte di % e ' (tesi negata) le rette $% e &' si incontrano in un punto . dalla parte di $ e & (tesi negata) % 3ˆ 4 < &4ˆ 3 (teorema dell’angolo esterno, 1) $ 3ˆ 4 < '4ˆ 3 (teorema dell’angolo esterno, 2) contraddizione (3, ipotesi) contraddizione (4, ipotesi) 7HVL: le rette $% e &' sono parallele 8
D TXHVWLRQH GHOOH SDUDOOHOH La proposizione 28 generalizza questo teorema al caso di angoli corrispondenti uguali o coniugati interni supplementari. La dimostrazione è una conseguenza diretta della proposizione 27 ed è lasciata per esercizio. ,O FULWHULR LQYHUVR GL SDUDOOHOLVPR Nello studio della geometria incontriamo molti teoremi che possono essere invertiti. Ad esempio si dimostra che in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, ma anche che un triangolo avente due angoli uguali è isoscele. Ancora, si dimostra che in un triangolo a lato maggiore sta opposto angolo maggiore, ma anche che ad angolo maggiore sta opposto lato maggiore. Sembrerebbe quindi logico che anche il criterio di parallelismo potesse essere invertito. Tuttavia risulta che non è possibile effettuare tale dimostrazione utilizzando i primi quattro postulati e le prime 28 proposizioni del primo libro. Si aprono quindi due sole alternative: o rinunciare al criterio inverso o introdurlo “per forza”, sotto forma di postulato. Seguendo Euclide scegliamo la seconda opzione. Il quinto postulato del primo libro degli (OHPHQWL non è altro che una maniera equivalente di enunciare il criterio inverso di parallelismo. L’enunciato della proposizione 29 è il seguente: 8QD UHWWD FKH FDGD VX UHWWH SDUDOOHOH IRUPD JOL DQJROL DOWHUQL XJXDOL WUD ORUR ODQJROR HVWHUQR XJXDOH DOODQJROR LQWHUQR HG RSSRVWR HG DQJROL LQWHUQL GDOOD VWHVVD SDUWH OD FXL VRPPD q XJXDOH D GXH UHWWL In questo enunciato gli “angoli alterni” sono sia gli alterni interni che alterni esterni, “l’angolo esterno” e l’angolo interno ed opposto” sono una coppia di angoli corrispondenti, gli “angoli interni dalla stessa parte” sono due angoli coniugati interni. La dimostrazione procede per assurdo. Facendo riferimento alla Figura 4, supponiamo che $ 34 ˆ sia diverso da '43 ˆ , ad esempio maggiore. Se sommiamo a entrambi lo stresso angolo 43% ˆ otteniamo – secondo la IV nozione comune – che '4ˆ 3 + 43ˆ % è minore di un angolo piatto, cosicché le due rette si incontrano dalla parte di % e ' in accordo con il quinto postulato. Le relazioni su tutte le altre coppie di angoli seguono direttamente da quella sugli angoli alterni interni. Formalizziamo i passaggi della dimostrazione: ,SRWHVL: le rette $% e &' tagliate dalla trasversale () sono parallele $ 3ˆ 4 > '4ˆ 3 (tesi negata) '4ˆ 3 + 43ˆ % < $ 3ˆ 4 + 4 ˆ%3 = π (IV noz. com., 1) le rette $% e &' non sono parallele (V postulato, 3) contraddizione (3, ipotesi) 7HVL: le rette $% e &' sono parallele 8QDOWUD IRUPD SHU LO TXLQWR SRVWXODWR Nei testi moderni di geometria il quinto postulato viene enunciato in una forma apparentemente molto diversa da quella che troviamo nel primo libro degli (OHPHQWL: 'DWD XQD UHWWD H XQ SXQWR HVWHUQR DG HVVD HVLVWH XQD H XQD VROD UHWWD SDVVDQWH SHU WDOH SXQWR H SDUDOOHOD DOOD UHWWD GDWD Di fatto, i due enunciati sono equivalenti. Ciò significa – lo ricordiamo – che assumendo come ipotesi si può dimostrare l’unicità della parallela e assumendo come ipotesi l’unicità della parallela si può dimostrare il quinto postulato. 9
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