Dalla relatività ai buchi neri - Liceo cantonale di Locarno

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Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta 5.12 Effetto Doppler relativista Anche per l’effetto Doppler relativista si parte dalle stesse considerazioni iniziali ma sfruttando le conseguenze delle trasformazioni di Lorentz si arriva a dei risultati diversi, però se approssimati a velocità basse, cioè quelle della nostra vita quotidiana, si torna alle formule trovate qui sopra. Figura 5-2: Effetto Doppler con le onde luminose. Rispetto a R ' abbiamo ∆ x '= cT' dove T ' è il periodo dell’onda 1 e rispetto a R , sfruttando le formule di trasformazione di Lorentz (T il periodo rispetto a R ) 1 ∆ x'1 = ( ∆x1 − γcT ) 2 1− γ 1 cT '= ( cT − γ∆x1) 2 1− γ 33
Dalla relatività ai buchi neri 5. La relatività ristretta Combiniamo ora queste tre formule per poter arrivare ad una relazione tra T e T ' Iniziamo ora trovando i valori di ∆ x1 e cT ∆x' 1 = 1 2 1− γ ( ∆x1 − γcT ) ⇔ ∆x'1 2 1− γ = ∆x1 − γcT ⇔ ∆x1 = ∆x'1 2 1− γ + γcT cT '= 1 2 1− γ ( cT − γ∆x1) ⇔ cT ' 2 1− γ = cT − γ∆x1 ⇔ cT = cT ' 2 1− γ + γ∆x1 2 a questo punto si può inserire cT = cT ' 1− γ + γ∆x1 nella seconda equazione ed utilizzando ∆ x '= cT' 1 1 2 2 2 2 ∆x '1 = ( ∆x1 − γcT ' 1− γ − γ ∆x1) ⇔ cT '( 1+ γ ) 1− γ = ∆x1( 1− γ ) 2 1− γ cT ' 1− γ ⇔ cT ∆ 1− γ 2 ' 2 1− γ = ∆x1( 1− γ ) ⇔ = x1 2 qui possiamo fare la seguente sostituzione ∆x = cT ' 1− γ + γcT da cui 1 2 cT' 1− γ 2 2 2 = cT' 1− γ + γcT ⇔ cT' 1− γ − cT' 1− γ ( 1− γ ) = γcT( 1− γ ) 1− γ 2 2 2 1− γ T ⇔ cT ' 1− γ ( 1− 1+ γ ) = γcT( 1− γ ) ⇔ T ' 1− γ = T ( 1− γ ) ⇔ = 1− γ T ' u 1− c c − u υ = υ' = υ' 2 u c + u 1− 2 c 34
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