Verso la modellizzazione probabilistica: gioco della morra; lancio di ...

Classe III A di CAMOGLI PROBABILITA’
Obiettivo del lavoro di quest’anno:
• portare l’attenzione dei bambini sul fatto che scoprendo alcune “regolarità
matematiche” si possono fare previsioni motivate sull’andamento dei giochi di sorte;
• cercare in giochi diversi queste regolarità, per rilevare come si strutturino in
combinazioni diverse in relazione al tipo di gioco;
• osservare ed indagare per via argomentativa i motivi per cui le previsioni non sempre si
verificano.
1° tappa – 1000 lanci con moneta (Novembre 2002)
Sono presenti 18 bambini, ognuno di loro ha una moneta, le monete vengono lanciate ogni
volta contemporaneamente; le uscite vengono registrate man mano in una tabella e ogni 10
volte si sommano le uscite, per una totale di 180 uscite a batteria.
I bambini vengono informati che questa volta vogliamo fare un’ “osservazione scientifica”,
perciò non importa per chi teniamo e soprattutto non dobbiamo barare per far vincere una o
l’altra faccia.
Prima di iniziare i lanci i bambini rispondono a tre domande scritte molto simili, ma
formulate in modo diverso, tese a verificare chi privilegia l’aspetto razionale:
1 – Pensi che vincerà testa o croce?
2 – Tu per chi tieni?
3 - Ha più probabilità di vincere testa o croce?
Nella tabella alcune risposte rappresentative della totalità delle risposte:
Pensi che vincerà testa o croce? Tu per chi tieni? Ha più probabilità di
uscire testa o croce?
Potrebbe vincere testa o croce,
perché non sappiamo cosa deciderà
la sorte.
Giovanni
Secondo me vincerà la croce, perché
la croce per me è il cattivo, cioè con
testa all’inizio si perde e alla fine si
vince, ma siccome la maggior parte
di noi è sfigata potrebbe anche
essere che vinca la croce. Roberto
Vincerà croce, perché testa non è
molto forte. Alessandro
Secondo me vincerà croce. Simone
Secondo me vincerà la croce, perché
di solito la croce è cattiva, però esce
sempre. Pietro
Vincerà croce, perché secondo me
c’è più peso dalla facciata della testa
e allora ci saranno più uscite della
Io tengo per croce, perché tra
i miei segni indiani c’è una
croce.
Io naturalmente tengo per
testa, perché come ho detto
prima per me la croce è il
cattivo, quindi testa è il bravo,
e io non sono mai stato cattivo
e mi sentirei male.
Io tengo per croce, perché mi
piace la croce.
Io tengo per croce, perché
credo che ci tengono la
maggior parte degli amici.
Io tengo per croce, perché la
testa non esce quasi mai
Io tengo per croce e il perché
l’ho già detto.
L’ ho già detto nella
prima risposta.
Secondo me hanno la
stessa probabilità
perché tutte e due le
facce pesano uguali, e
poi dipende.
Non lo so.
Sì, perché è possibile
che escano tutti e due,
ma è impossibile che
esca solo una specie.
Secondo me uscirà di
più croce, perché la
testa ha molte
probabilità di perdere,
però anche la croce ha
probabilità di perdere.
Secondo me non hanno
la stessa probabilità di
uscita.

Secondo me vincerà croce perché
croce mi ha fatto sempre vincere;
non scelgo testa perché sembra che
quando testa perde te la devono
tagliare. Anna
Vincerà croce, perché è il mio segno
fortunato, perché è il più forte.
Jessika
Secondo me vincerà croce, perché
quando giocavo con la mamma o con
gli amici usciva quasi sempre croce.
Chiara
Croce, perché tutte le volte che dico
“croce”, vinco; croce è fortunata!
Giulia
Secondo me vincerà testa, perché
decide l’angioletto. Ada
Vincerà testa, perché quando io
gioco con mio papà vinco io con
testa. Evandro
35% vincerà testa
51% vincerà croce
14% vincerà una o l’altra
Tengo per croce perché mi
porta sempre fortuna.
Io tengo per croce perché è
bello.
Io tengo per croce, non so dire
perché, però un giorno mi
hanno detto “giochiamo a
testa o croce, cosa scegli?”, io
ho scelto croce e da quel
giorno ho tenuto sempre per
croce.
Io tengo per croce, perché mi
ha fatto sempre vincere.
Io tengo per testa, perché per
pensare bisogna usare la
testa.
Io tengo per testa.
71% tiene per testa
43% tiene per croce
Secondo me, se tu ci
tieni tanto a vincere,
forse non hanno la
stessa probabilità.
Sì, perché possono
essere uguali.
Sì, perché testa e croce
sono la stessa cosa
praticamente.
Sì, la mia è stata solo
fortuna per quelle volte.
No, perché se lanci la
moneta testa o croce
viene scelto in maniera
casuale.
Forse sì forse no,
perché non si sa il
futuro.
64% stesse probabilità
*
14% più croce
22% non si esprime o lo
fa in modo confuso e
contraddittorio
Si effettuano i lanci che vengono registrati in una tabella alla lavagna e sui quaderni.
Tabella delle uscite ogni 10 lanci delle 18 monete (una per ciascuno)
TESTA 85 93 90 80 76 52 Totale uscite 476
CROCE 95 87 90 100 104 56 Totale uscite 532
N° lanci 180 180 180 180 180 108 Totale lanci 1008
Dopo i lanci chiedo di giocare al “piccolo matematico”, scrivendo le loro osservazioni
sull’andamento delle uscite. Ecco alcune osservazioni dei bambini:
Giovanni- L’andamento dei primi 3 gironi è un alternarsi, cioè nel primo stava vincendo croce,
nel secondo testa, nel terzo la bilancia della testa e della croce si è messa alla pari; negli altri
tre una freccia di fortuna ha colpito la croce.
Roberto- Per me questa partita è stata sia bella che sleale: bella perché è stata divertente,
sleale perché secondo me qualcuno ha barato, soprattutto nel quarto e quinto giro, invece i

Alessandro- Io qualche volta ho barato, alcune volte mi era venuto testa non croce.
Mattia- Io ho notato che nella tabella finale non potevamo arrivare a 1000 tiri in tutto, perché
ogni bambino ha lanciato 56 volte la sua moneta e eravamo 18.
Certe volte devo ammettere che baravo, perché io tenevo per croce. Fino alla terza partita le
squadre si sono alternate, poi la qualità dei segni sono alternati o uguali.
Pietro- Secondo me, i lanci della moneta sono andati bene perché abbiamo giocato lealmente.
Io ho scoperto che noi abbiamo tirato 56 volte a testa a turno. Oppure ho scoperto che ho
visto nella mia mente una bilancia che mi ha fatto vedere che si sono quasi alternati i
punteggi; però secondo me ci doveva essere un pareggio.
Danilo- Secondo me, le monete tirano un po’ a venire più o meno delle volte uguali e fino alla
terza volta testa e croce si sono alternate.
Elisa- Io non c’ero quando hanno fatto i tiri, però osservando la tabella ho notato che sempre
al terzo tiro sono 9 testa e 9 croce. Ho anche notato che al terzo gruppo di 180 lanci il totale è
90 per testa e 90 per croce; invece al quinto tiro la testa ha 76 e la croce 104, mi sembra
strano, secondo me qualcuno ha barato!
Discussione al termine dei lanci
Ins.- Avevano la stessa probabilità di uscire le due facce?
Jessika- No, perché una poteva uscire più dell’altra o viceversa.
Giovanni- Per me avevano la stessa probabilità, perché non sapevamo mica se la sorte
decideva che per esempio vincessero le croci e testa perdesse. Quindi avevano le stesse
probabilità di uscire.
Ins.- Cosa intendi quando parli di sorte?
Giovanni- La sorte si intende quando uno non se l’aspetta… capita… non è che uno decide.
Simone- Sì, è la sorte che decide.
Ins.- Ma prima che noi cominciamo a giocare c’è qualcuno, qualcosa che decide chi vincerà?
Simone- Ma nooo! Però c’è qualcuno che ti dice “Michela, a te verrà testa”, lei lancia e viene
testa… all’improvviso… casualmente.
(
Giulia- Per me testa o croce potevano avere le stesse possibilità di uscire. Anche nella tabella
dei tiri si vede che prima ha vinto croce, poi ha vinto testa, poi hanno fatto pari, 90 e 90,…
cioè… è che avevano la stessa probabilità.
Chiara- Sì, hanno la stessa probabilità, perché praticamente sono la stessa cosa solo che
hanno due nomi diversi. Perché dovrebbe avere più probabilità testa che croce di uscire?
Ada- Avevano la stessa probabilità di uscire, decide la sorte… è la sorte che decide, prima.
Giulia- Ma non è una cosa concreta la sorte… è una cosa che nessuno può vedere.
Marco Q.- Perché quella cosa lì praticamente non esiste.
Giulia- E’ il destino, praticamente.
Marco Q.- E’ il futuro.
Mattia- E’ il mistero.
Roberto- Come se fosse Dio che ha scritto la storia del mondo e per ogni cosa ha scritto cosa
succedesse.
Ins.- Allora era già scritto che dovessero uscire prima 85 testa, poi….
Alcuni- Sìììì. Altri- Noooo.
Giovanni- Però è una cosa che io non saprò mai…
Giulia- E’ come scritta in inchiostro simpatico.

Mattia- Io dico di no. Secondo me c’è una probabilità in più che esca una delle due facce se
una faccia pesa di più. Se pesano uguale, allora è la fortuna tua che decide, perché la fortuna
di tutti messa insieme decide che cosa esce… è già calcolato.
Alessandro- Secondo me, la moneta dice se è testa o croce, e la moneta te lo dice, non c’è
nessuno che ha pensato “oggi facciamo uscire 5 testa e 3 croce”… è la moneta che lo dice.
Matteo- E’ possibile che le facce escono 9 volte una e 9 volte l’altra, quindi viene uguale… un
po’ da una parte, un po’ dall’altra.
Nada- Per me c’è qualcuno che ha scritto chi vincerà, qualcuno che … è Dio che decide chi
vincerà. Se io domani mi faccio male, è Lui che l’ha deciso.
Ins. – Ma allora è cattivissimo!
Nada- Ma Lui lo fa perché … quelli giocano meglio o si comportano meglio…
Roberto- Secondo me hanno la stessa probabilità, perché dipende, nessuno decide, neanche
noi. Se cade testa è testa, se cade croce è croce, non è detto che deve per forza vincere uno…
dipende. E’ come nelle partite, non si sa prima chi vince e chi perde.
Pietro- Anche secondo me non decide qualcuno, viene come viene. Però se qualcuno gioca a
calcio o a pallanuoto, vince chi gioca regolarmente e bene.
Evandro- Se tu non tieni per nessuno e lanci la moneta, ti viene una cosa a caso, testa o croce.
Michela- Dipende da come la lanci tu come viene la moneta! Però se tu non tieni per nessuno,
hanno la stessa probabilità, perché anche se la testa si chiamava croce o la croce si chiamava
testa, era uguale. E’ impossibile che Dio sta a guardare tutte queste cose che succedono!
Anna- Ma sì, non è giusto dire che è Dio, è un altro personaggio che non c’è ma esiste. E’ tipo
un angelo custode della moneta. E’ lui che decide.
Roberto- Allora, siccome la moneta ha due facce, c’è un angelo custode di una faccia e un
angelo custode dell’altra faccia.
Evandro- Io non sono d’accordo che c’è qualcuno che fa uscire testa o croce, perché se… non
c’è… è a sorte.
Simone- Io non sono d’accordo con lui che dice che Dio scrive, perché se Dio scrive farà anche
delle pause e allora quando fa le pause è come se non ci fosse più futuro e allora noi
dovremmo rimanere immobili.
Mattia- Sì, perché non c’è più il tempo.
Chiara- Ma non è che lo scrive Lui, praticamente si scrive da solo. Lui lo pensa e si scrive nella
sua mente. E se domani io mi faccio male, non è che Lui l’ha deciso, ma Lui lo sapeva già, lo
sapeva già quando siamo nati che proprio in questo giorno preciso io mi farò male.
Simone- Ma allora io non decido niente. E’ la più maledizione che ci sia!
Giovanni- Non è proprio che Dio decide! Ma è come se Lui, quando ha creato il mondo, ha
creato anche una creatura che sceglie in determinati posti che cosa avviene e dopo ci sono
queste creature che decidono soltanto per gli oggetti che non hanno l’anima, invece noi che
abbiamo l’anima è l’anima che decide. Praticamente tutto quello che facciamo noi lo decide la
nostra anima.
Alcuni- Anche il cervello!
Giulia- E’ come se tutta la vita di tutta la terra fosse scritta in un libro… ma non è che è scritta
e allora noi siamo come dei robottini che fanno tutto senza pensare…!
Mattia- E sì eh, se è tutto scritto…
Ins.- Mi sembra che ci stiamo allontanando sempre più dall’argomento in discussione,
ritorniamo alla probabilità nel gioco con la moneta.
Pietro- Quando lanciamo le monete, è come l’aria che entra fa muovere le monete e le fa
andare dove le manda il vento… dove capita.
Evandro- Ma la moneta è più pesante dell’aria! L’aria non pesa.
Giovanni- Non è vero che l’aria non pesa.
Roberto- Volevo fare un’obiezione a Chiara: Dio non ha la mente, perché Dio è uno spirito e gli
spiriti non hanno la mente. E’ come se pensasse senza cervello, è magico.
Nada- Secondo me le monete hanno anche loro lo spirito e quando rotolano fanno venire parità
qualche volta…
Roberto- Soltanto gli esseri umani hanno lo spirito, gli oggetti tipo i peluches non hanno
spirito, sono stati fatti con materiali e non hanno spirito.
Simone- le monete sono pezzi di metallo … se avessero lo spirito dovrebbero avere le mani, le

Evandro- Certo che non hanno spirito, perché lo spirito ce l’ hanno solo le cose che vivono.
Pietro- Anche secondo me le monete non hanno spirito.
Ada- Sì, ce l’ hanno, è come se uno fosse dentro la moneta e avesse tante macchine per
comandarla.
Nada- io ho cambiato idea, perché penso che non c’è nessuno che scrive la nostra vita; sennò
saremmo come robottini che qualcuno guida. Noi abbiamo il cervello e facciamo quello che
decidiamo.
Mattia- Sì, capita quel che capita, perché quando tu lanci la moneta, gira per un po’ e poi
cade… e dipende da come cade, da come si muove nell’aria… è casuale.
Pietro- Proprio questa è la fregatura, che viene o testa o croce e rotola e viene casualmente.
…
“Per me testa o croce potevano avere le stesse possibilità di uscire. Anche nella tabella dei tiri
si vede che prima ha vinto croce, poi ha vinto testa, poi hanno fatto pari, 90 e 90,… cioè… è
che avevano la stessa probabilità.”
…
“Ma non è una cosa concreta la sorte… è una cosa che nessuno può vedere.”
…
“E’ il destino, praticamente.”
…
“E’ come se tutta la vita di tutta la terra fosse scritta in un libro… ma non è che è scritta e
allora noi siamo come dei robottini che fanno tutto senza pensare…!”
-
-
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2° tappa - DADO O MONETA? (Dicembre 2002)
Sono presenti 18 bambini.
Consegna: “Oggi facciamo un “gioco di sorte” con un dado e una moneta che verranno lanciati
per 100 volte dalla maestra.
Ognuno di voi può liberamente scegliere se preferisce giocare
con la moneta, tenendo per testa o per croce,
oppure con il dado, tenendo per uno dei numeri.
Scrivi che cosa scegli, spiegando il tuo motivo.”
Nella tabella alcune risposte:
Io scelgo… perché…
Io vorrei Così esce più volte testa o croce, invece con il dado ad esempio se uno tiene
giocare con la per il 6 e se vengono quasi sempre gli altri numeri, uno si può annoiare.
moneta Danilo
Io scelgo il n°
1 del dado
Io gioco con il
dado
Io scelgo la
moneta
Io preferisco
usare la
moneta
Io ho scelto la
moneta
Io vorrei usare
il dado
Io scelgo il
dado
Io scelgo il 4
del dado
Io dico moneta
55% scelgono
la moneta
45% il dado
ogni volta che giocavo con mio papà col dado usci spesso il n° 1. Evandro
ha 21 punti che sembrano occhi e il nà per cui tengo è il 4, perché è il mio
numero preferito. Ada
tengo per la croce, perché la croce distrugge il male, infatti nel cimitero c’è la
croce, perché almeno il male non c’è. Michela
in testa o croce hai più probabilità di vincere, perché i numeri sono tanti e
invece i lati della moneta sono due, quindi se per esempio tieni per il due devi
aspettare che fra tanti numeri esca quello che vuoi, invece se fai testa o croce
esce uno o l’altro. Chiara
porta fortuna. Jessika
è più divertente, più difficile perché ha più possibilità di farci perdere e anche
più numeri da scegliere. Marco Q.
c’è il 4 che è il mio numero preferito; un altro motivo è che sulla moneta si
possono scoprire motivi scientifici meno che sul dado. E’ più probabile vincere
con la moneta, perché il dado ha sei facce mentre la moneta ne ha due.
Mattia
per vedere gli altri numeri che andamento hanno. Giovanni
devi fare il lancio mettendola su un dito. Alessandro
39% motivazioni di tipo probabilistico
66% motivazioni varie (fortuna, scelta più diversificata, possibilità di
imbrogliare,,,)*
Si effettua il gioco, lanciando contemporaneamente un dado e una moneta e registrando in un
istogramma a barre le uscite successive del dado e della moneta.
Il gioco viene interrotto dalla campanella d’uscita dopo 50 lanci; il giorno dopo, prima di
riprendere il gioco,
viene proposta una riflessione individuale scritta:

“Anna prima dell’inizio del gioco ha scritto:- Io sceglierei la moneta, perché ha solo due lati,
allora ha più probabilità che esca sempre il tuo, perché nel dado ci sono tanti numeri che
possono uscire invece che il tuo.
Leggi, rifletti, poi scrivi che cosa ne pensi.”
Alcune riflessioni nella tabella:
E’ giusta Perché la moneta ha meno facce e se uno tiene per la croce con la moneta
può uscire o la testa o la croce e allora ha meno possibilità di non uscire,
invece con il dado se tieni per il 4, magari può uscire pochissime volte,
perché a parte quella facciata del 4, ce ne sono ancora 5 di facciate. Roberto
Ha ragione
Condivido la sua
scelta
Non ci avevo
pensato, però è
giusto
Ha ragione, e
quasi quasi
vorrei cambiare
E’ giusto
Non è detto
Ha ragione
Io sono
d’accordo
94% dà ragione
6% non
condivide
Perché io ho scelto il n° 1 del dado e non è uscito quasi mai, invece la testa
e la croce sono uscite tante volte, perché la moneta ha due lati e il dado ha
6 lati. Evandro
Perché con il dado ci metti ore. Ada
Perché nella moneta ci sono molte più possibilità. Ad esempio, in due
labirinti ci sono in uno due strade e nell’altro sei, quello che sceglie il
labirinto da due ha più possibilità di uscire, se in ogni labirinto c’è solo
un’uscita. Giulia
Io avevo pensato che con il dado avevo più scelte, quella dell’1, del 2… e si
aveva una vera sfida; però come dice Anna, con la moneta hai più possibilità
di vincere. Elisa
Perché nel grafico dei numeri del dado ce ne sono massimo 15, mentre in
quello della moneta ci sono 32 testa e 18 croce, molti di più. Luca
Perché Anna teneva per croce, ma il 2 che era il più basso poteva rimontare
e superare croce oppure qualche altro numero poteva uscire più spesso degli
altri. Simone
Perché nella moneta c’è un solo nemico, invece nel dado ci sono 5 nemici.
Giovanni
Ho visto ieri e oggi il grafico e ha tante possibilità la moneta. Alessandro
DADO MONETA
lanci 1 2 3 4 5 6 T C
1° 2 1 1 1 3 2 5
2° 1 1 2 2 2 2 5
3° 1 1 3 2 2 1 6
4° 1 0 0 3 3 3 4
5° 2 1 4 0 3 0 3
6° 2 1 3 2 0 2 5
7° 1 1 1 1 2 4 7
8° 1 2 0 1 1 5 5
9° 5 1 1 1 1 1 6
10° 1 0 2 1 4 2 5
5
5
4
6
7
5
3
5
4
5

60
50
40
30
20
10
0
dado 1
dado 2
dado 3
dado 4
dado 5
dado 6
TESTA
CROCE
Serie1
Serie2
Riflessione individuale scritta sull’esempio dei labirinti proposto da Giulia.
Consegna: “Leggendo ciò che aveva scritto Anna a proposito della scelta tra dado e moneta
per giocare, Giulia dice:- Non ci avevo pensato, però è giusto, perché nella moneta ci sono
molte più possibilità. Ad esempio, in due labirinti ci sono in uno due strade e nell’altro sei,
quello che sceglie il labirinto da due ha più possibilità di uscire, se in ogni labirinto c’è solo
un’uscita.
Che cosa pensi dell’esempio del labirinto che fa Giulia?
Perché lei aggiunge quell’ultima frase, “se in ogni labirinto c’è solo un’uscita”? Era proprio
necessaria o poteva non scriverla?”
Alcune riflessioni:
Giovanni- Io sono d’accordo con Giulia. Giulia aggiunge quella frase che è importantissima e
indispensabilissima, perché se no sarebbero uguali le probabilità e senza difficoltà, se è certo
che esci perché il labirinto da sei strade e quello da due hanno tutte le uscite aperte,
diventerebbe un bivio.
Luca- Io sono d’accordo su quello che ha detto Giulia, perché se sono due strade, ne fai una e
se non esci allora fai l’altra, invece su quello da sei, ne devi provare tante, o forse una, ma
comunque è meglio usare quello da due. Secondo me, ha fatto bene a scrivere l’ultima frase,
perché se quel labirinto a sei strade aveva cinque uscite, allora conveniva prendere quel
labirinto, perché se ne hai cinque si prende quello così non ti perdi.
Roberto- Secondo me, l’esempio di Giulia è giusto, perché nell’uscita se sbagli la strada puoi
stare sicuro che è l’altra, invece nel dado se sbagli strada non sei sicuro che sia l’altra, perché
ce ne sono tante di facce e non puoi sapere qual è. Io voglio dire che se usi il dado che ha sei
strade e cinque sono giuste o prendi l’uscita che ha due facce e una è giusta è la stessa cosa,
perché se sbagliano sanno che è sicuramente l’altra e invece in tutte altre possibilità è meglio
la moneta.
Emanuele- Secondo me, l’esempio di Giulia è necessario, è più probabile perché tipo se c’è un
labirinto uno a due strade è più probabile che indovini qual è quella giusta, invece nell’altro ci
sono sei strade e una uscita ed è probabile che sbagli la strada per l’uscita. Invece se fai dei
labirinti uguali, il labirinto con due strade è probabile che lo fai giusto, invece puoi fare subito
giusto anche quando c’è un labirinto a sei strade e quattro aperte che portano all’uscita è
uguale a quello a due strade come probabilità.

Matteo- Io sono d’accordo di usare il labirinto da due strade, perché è più facile trovare
l’uscita. L’ultima frase è inutile, perché ogni labirinto ha un’uscita.
Elisa- L’esempio di Giulia per me va bene: Giulia scrive nell’ultima frase “…..”, perché se c’è un
labirinto da sei strade, ma ha cinque uscite è facile, perché se trovi una strada che non ha
uscita, prendi una strada che vuoi, perché le altre cinque hanno un’uscita ognuna e se il
labirinto di due strade ha due uscite, anche in questo labirinto ne scegli una che vuoi perché
ognuna ha un’uscita, quindi Giulia ha fatto bene a mettere quella frase.
Marco Q.- Secondo me, l’esempio di Giulia è giusto e anche un po’ logico, perché Giulia quando
ha fatto il suo ragionamento ha aumentato la differenza, perché in sei strade è più difficile
trovare l’uscita e in due è più facile e in quello da sei se c’è un’uscita provi più volte.Poi Giulia
dice che se in un labirinto ci sono più strade, ma più uscite serve prendere quello da più
strade.
Mattia- L’osservazione di Giulia è molto chiara e giusta, non ci sono frasi che non servivano.
L’ultima frase è indispensabile perché se nel labirinto da due strade ci sono mille uscite e in
quello da sei strade ce n’è solo una, allora esci prima dal labirinto a due strade. Giulia ha
aggiunto quella frase perché se il labirinto da sei strade diventa con più uscite di quello da una
conviene.
Simone- Io sono d’accordo con Giulia, perché quello da sei è molto più complicato perché tu
potresti stare a cercare l’uscita tutta la notte, mentre l’altro dorme a casa sua. In quello da sei
ci vogliono cinque uscite su sei entrate e così converrebbe di più quello da sei che quello da
un’uscita.
Ada- Io penso queste cose: c’è uno che sceglie il labirinto da sei e ci mette dieci ore per
trovare la strada giusta e uno che nel labirinto ha due strade e ci mette cinque minuti a trovare
la strada giusta. Poi pensi che Giulia abbia aggiunto quella frase, perché era proprio
necessaria, perché forse qualcuno non avrebbe capito.
Giulia- Io confermo quello che avevo detto e secondo me l’ultima frase è indispensabile, perché
se ogni strada porta all’uscita le possibilità sono uguali, però non sarebbe più un labirinto,
sarebbero tante strade che dovunque vai arrivi alla meta Se in quello da sei ci sono cinque
uscite, conviene di più quello da sei, perché in quello da sei se non becchi proprio la strada
sbagliata sei salvo, invece in quello da due ti preoccupi di scegliere quella giusta.
Dopo la riflessione individuale si apre la DISCUSSIONE
Ins.- Discutiamo sull’esempio dei due labirinti proposto da Giulia.
Matteo- Io sono d’accordo di usare il labirinto da due strade, perché è più facile trovare
l’uscita, invece in quella da sei strade è più difficile.
Jessika- Per me, per esempio quando un uomo va in un labirinto, in quello da sei ci sono
quattro strade chiuse e due aperte… perché se in uno va e se c’è solo un’uscita, trova tutte
cinque le strade chiuse e solo una aperta, è un po’ stanco dopo!
Anna- Io sono d’accordo con Giulia che su due strade arrivi prima al traguardo, invece con sei
devi farle tutte e ci metti tanto.
Matteo- Però, scusa, anche nel labirinto da sei, non è detto che le devi fare tutte, perché tipo
la prima volta sbagli la strada, ma poi alla seconda o alla terza trovi quella che ti fa uscire…
non è che devi farle tutte sei le strade!
Giovanni- E’ obbligatoria la cosa che ha detto Giulia, cioè che c’è una sola uscita, perché se no
diventano tutte strade e non è più un labirinto.
Mattia- Se in un labirinto ci fossero più uscite e meno strade, praticamente sarebbe facilissimo,
invece se un labirinto ha tante strade e tante uscite sarebbe più facile,però le uscite devono
essere più della metà del numero di strade.
Alcuni- Meno della metà!
Ins.- Vorrei che Mattia ripetesse l’ultima frase che ha detto; ascoltate tutti, perché su questo
dopo discuteremo.
Mattia- Posso fare un esempio? Nel labirinto da due strade c’è un’uscita, mentre in quello da
sei ce ne sono tre; per far diventare quello da sei più facile di quello da due, devi mettere a più

Michela- Mattia ha detto che se c’è un labirinto con tante strade e tante porte.. ha detto che è
più facile, invece è più difficile.
Marco B.- Michela, ma Mattia ha detto che se ci sono sei strade e ognuna ha un’uscita, è più
facile, perché uno prende una strada e esce subito.
Michela- Ma allora non è più un labirinto.
Giulia- Solo in quello da due non sarebbe più un labirinto, perché due strade due uscite… o sei
strade sei uscite, ma se ci sono sei strade e cinque uscite è sempre un labirinto, solo che
conviene di più di quello da due.
Roberto- Io son d’accordo con Mattia, perché se hai una moneta, cioè un labirinto che ha
un’uscita e il dado, cioè il labirinto da sei che ha tre uscite, se a quelle tre uscite ne aggiungi
altre, praticamente è più facile per il dado… se ne aggiungi due alle tre uscite praticamente
sono tutt’e due facili uguali… hanno tutt’e due due probabilità; tipo, se nel dado uno va…
Ins.- Posso consigliarti di lasciar perdere per ora dado e moneta, perché se tieni insieme dado,
moneta e labirinti fai una gran confusione. Parliamo solo dei due labirinti ora.
Roberto- Sì, i labirinti, se sono cinque uscite e se c’è una strada sbagliata e se nella moneta
c’è un’uscita e una strada sbagliata, praticamente hanno tutte e due la stessa probabilità di
uscita, perché…
Alcuni- Obiezione… obiezione...
Roberto- Eh, però, non mi dite “obiezione” ché se no si registra, eh! Maleducati.
Ins.- Ha ragione. Lasciategli finire il suo ragionamento, poi interverrete.
Roberto- Se magari uno va nella strada sbagliata delle sei, sa sicuramente che le altre cinque
sono esatte; e lo stesso in quello da due, se va in una sbagliata, sa che l’altra è giusta.
Giulia- Secondo me, Roberto sbaglia, perché ha detto che se in quello da sei ha cinque uscite e
una strada sbagliata, ha le stesse probabilità di quello da due che ha un’uscita e una strada
sbagliata. Non sono d’accordo, perché quello da sei conviene, perché… perché… in quello da
sei quando superi quella sbagliata… cioè su sei strade ce n’è solo una sbagliata… non so come
spiegarmi…
Ins.- Ti sei spiegata abbastanza, ma puoi essere più chiara. Pensaci ancora un po’, intanto
sentiamo Marco Q.
Marco Q.- Roberto pensa che se tu fai subito quella sbagliata e cinque sono giuste è troppo
facile.
Emanuele- Scusa, Giulia, se un labirinto ha cinque strade giuste e una sbagliata, è come quello
da due con una sbagliata, perché quella sbagliata è sempre una.
Nada- Io sono d’accordo con Marco Q. che dice che se ho sei strade e tutte sei sono aperte,
allora è molto facile uscire.
Evandro- Vorrei fare una domanda a Nada: se tu metti sei uscite al labirinto, che labirinto è?
Per essere un labirinto ci devono essere una o due uscite.
Pietro- Secondo me, è meglio… non so… si può prendere la strada da sei, perché se vai in una
e è sbagliata, potresti provare le altre.
Anna- Io dico che non va bene neanche quello da due, perché non è detto che deve essere
difficile.
Marco B.- Pietro, non puoi provare a andare in quello da sei, perché se le provi tutte, magari
ne puoi provare una che è sbagliata, vuoi ritornare al punto di partenza, e magari non puoi
perché è chiusa la strada sia davanti che dietro, da destra e da sinistra.
Mattia- Se tu scegli il labirinto da sei strade e alla prima prova trovi subito la strada giusta, lì è
anche fortuna. Invece se provi l’altra e hai più difficoltà a trovare quella giusta… non so…
Ins._ Ritorniamo a confrontare il ragionamento di Mattia e quello di Roberto, per esprimere la
nostra opinione. Allora, Mattia dice che uno è la metà di due, perciò se il percorso da sei strade
ha tre uscite, allora ha le stesse probabilità di quello da due. Invece Roberto dice che se il
labirinto da due ha una strada sbagliata, anche quello da sei deve avere una strada sbagliata
perché le probabilità siano uguali.
Michela- Io sono d’accordo con Mattia, perché se tu superi la metà, che è sbagliata… è così che
ha detto?
Mattia- No.
Ins. Mattia ha detto che se nel labirinto da sei la metà delle strade è chiusa e l’altra metà è
aperta, hai la stessa probabilità di uscire scegliendo un labirinto o l’altro.
Mattia- No, io non avevo detto quello!

Ins.- Non hai detto che nel labirinto da sei, se hai la metà di strade aperte, hai la stessa
probabilità di uscire che hai in quello da due, e che se superi la metà di strade aperte diventa
addirittura più conveniente?
Mattia- Certo, certo, OK, ora va bene, registralo.
Michela- Io son d’accordo con Mattia, perché è come fare… se tu togli quelle due strade da una
parte e dall’altra è come fare una e una.
Pietro- Quello che dice Mattia è sbagliato, fare la metà è sbagliato. Per me un labirinto deve
avere una sola uscita. Io sono d’accordo con Roberto, perché solo da una strada si può uscire
da tutti e due i labirinti.
Alessandro- Io sono d’accordo con Mattia, perché… se si esce da tre strade… invece in quello di
Roberto non sono d’accordo, perché… cinque strade sono chiuse, quindi...
Elisa- Io sono d’accordo con Roberto, perché quando tu sai che una è sbagliata, le altre sono
tutte giuste.
Giulia- No, ha ragione Mattia, perché se tre sono chiuse e tre sono aperte e in quello da due
strade ce n’è una aperta e una sbagliata… è come se le tre sbagliate formassero una strada
sbagliata e le tre giuste una strada giusta, come in quello a due strade.
Nada- Io sono d’accordo con Mattia che quando ci sono due strade, una sbagliata e una giusta,
e con quello da sei strade trer sono sbagliate e tre giuste e allora sono … pari.
Ins.- Roberto, tu cosa ne dici?
Roberto- Io sono d’accordo con Roberto… non ho cambiato idea.
Ada- Anch’io sono d’accordo con Roberto, perché se tu guardi una piantina del labirinto puoi
trovare subito la strada giusta.
Ins.- Ada, non mi pare che Roberto abbia parlato di una piantina del labirinto.
Evandro- Io sono d’accordo con Roberto perché… No, non sono d’accordo con nessuno dei due,
perché in quello di Mattia ci sono tre probabilità di uscita, invece nell’altro una… non è che… le
probabilità di errore devono essere tre e quelle giuste tre.
Emanuele- Io sono d’accordo con Roberto, perché, scusa, hanno tutti e due la stessa
probabilità di uscire, perché quella ne ha una sbagliata e l’altra anche.
Jessika- Io sono d’accordo con Roberto, perché quello di Mattia non ha senso, perché tre uscite
e tre senza uscita non ha senso.
Luca- Io sono d’accordo con Roberto, perché…
Danilo- Io sono d’accordo con Mattia, perché è come se in quella da due strade ce n’è metà
aperte e metà no… e in quella da sei la stessa cosa.
Marco Q.- … con Roberto perché… per me… quello di Roberto ha più probabilità…
Michela- Sono d’accordo con Mattia, perché quello delle due strade è uguale a quello da sei se
tre sono aperte.
Marco B.- Anch’io son d’accordo con Mattia, perché in quello di Roberto cinque strade sono
chiuse.
Giovanni- Io sono d’accordo con tutti e due.
Ins.- Giovanni, non puoi essere d’accordo con entrambi, perché dicono cose opposte, un
ragionamento esclude l’altro.
(Discussione interrotta dalla campanella d’uscita)
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Il gioco dei labirinti
Consegna scritta: “Per capire meglio quello che hanno affermato in discussione Roberto e
Mattia, percorreremo due labirinti, uno a due strade e uno a sei.
Roberto dice:- Se in un labirinto ci sono cinque uscite e una strada sbagliata e nell’altro c’è
un’uscita e una strada sbagliata, praticamente hanno tutte e due la stessa probabilità.
Mattia dice:- Se nel labirinto da sei la metà delle strade è chiusa e l’altra metà è aperta, hai la
stessa probabilità in un labirinto o nell’altro; per far diventare quello da sei più facile di quello
da due, devi mettere l’uscita a più della metà delle strade, perché se nell’altro ci sono due
strade e un’uscita, è la metà.”
Discutiamo come organizzare il gioco, affinché l’esperimento ci aiuti a ragionare
sull’argomento; i bambini, guidati dall’insegnante, arrivano a stabilire che è necessario che sui
due labirinti giochino lo stesso numero di giocatori e che ogni entrata del labirinto sia scelta
dallo stesso numero di giocatori. Ecco le regole decise insieme:
1) Giocheremo tutti sul primo labirinto, poi sul secondo, …;
2) sui giochi deve giocare ogni volta lo stesso numero di bambini;
3) da ogni entrata di ciascun gioco deve entrare lo stesso numero di bambini.
Noi stamattina siamo in 19 perché ci sono 3 assenti; vediamo come ci distribuiamo sui labirinti.
Labirinto a due entrate Labirinto a sei entrate
Destra sinistra 1 2 3 4 5 6
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X X X X X X X
X X XNO
X X
X
X NO
X
19:2=9 r 1 19:6=3 r 1
1 bambino non può giocare in entrambi i labirinti
L’insegnante distribuisce in successione fotocopie di labirinti:
• un labirinto a due strade, una aperta e una chiusa, nove bambini devono percorrere la
strada a sinistra e nove quella a destra;
• un labirinto a sei strade, cinque aperte e una chiusa, tre bambini devono entrare
dall’entrata contrassegnata con 1, tre dalla 2…;
• un labirinto a sei strade, tre aperte e tre chiuse, con tre bambini su ogni entrata;
• un labirinto a sei strade, una aperta e cinque chiuse, stesse modalità.
Man mano registriamo in una tabella quanti bambini riescono ad uscire e quanti rimangono
intrappolati nel labirinto.
Labirinto escono Non escono Probabilità
A 2 strade, 1 aperta

A 6 strade, 5 aperte
e 1 chiusa 15 bambini 3 bambini Molti di più escono
A 6 strade, 3 aperte e
3 chiuse 9 bambini 9 bambini Pari/uguale
A 6 strade, 1 aperta
e 5 chiuse 3 bambini 15 bambini Molti di più non escono
Riflessione scritta individuale: “Giocando con i labirinti, io ho capito che…”
Marco Q.- Io ho capito che Mattia aveva ragione a dire che erano pari e io ho visto che il
labirinto di Mattia era più difficile di quello di Roberto. E se il labirinto ha più strade ma più
uscite è più conveniente. Se ci sono due labirinti devi confrontarli, perché se i due labirinti
devono essere alla pari devi sapere le uscite e le entrate e quindi devi confrontarle per sapere
se hai più probabilità di farcela.
Nada- Ho capito che non si deve per forza giocare con i giocatori pari, perché qualcuno può
giocare anche da solo e trovare le strade che vuole. E ho capito che se tu giochi con un
labirinto da un milione di strade, dipende da quante strade ci sono e da quante uscite ci sono e
allora si può vedere se il labirinto è facile o difficile.
Chiara- Se vuoi capire se il labirinto è facile o difficile, non devi badare a quante strade ci sono,
perché se c’è un labirinto da mille strade è difficile se per esempio ci sono due strade aperte e
le altre 998 sono chiuse, ma se è il contrario è facilissimo.
Simone- Mattia aveva ragione, perché lui voleva fare i due labirinti pari, in modo che facciano
una strada unica, e Roberto voleva fare la strada dispari e le strade devono essere pari.
Giulia- Tra Mattia e Roberto, Mattia aveva ragione, perché le tre strade erano come una
strada. Se voglio sapere le probabilità devo sapere quante strade e quante uscite ci sono e le
devo confrontare, per esempio ho un labirinto da 1000 strade, sembra difficile, ma se ho 999
uscite è più facile, anzi è facilissimo.
Ada- Cercare la strada giusta è come cercare l’ago in un pagliaio. Ho capito che per valutare
devo sapere quante entrate, quante strade, quante uscite. Per esempio, c’è uno che deve
andare in bagno entro 5 minuti; lui ha 5 strade per arrivare. La prima fa perdere tempo, la
seconda è sbagliata, la terza è giusta, la quarta fa perdere tempo, la quinta è sbagliata.
Giovanni- Roberto ha torto, Mattia ha avuto ragione. Ho notato che più uscite ci sono, più è
noioso; più strade ci sono vuol dire che è più bello e viceversa, però posso dirlo se metto a
confronto varie informazioni; le strade del labirinto più lunghe e più curvose e mischiate sono
più divertenti.
Roberto- Ho capito che il mio metodo era sbagliato, perché guardavo solo due strade e non le
altre quattro nel labirinto da sei. Ho capito che per sapere se esce una strada o non esce devi
fare un confronto.
Evandro- Il primo labirinto e il terzo labirinto sono tutti e due pari, invece il secondo e il
quarto sono diversi, perché il secondo ha più bambini che escono e invece il quarto ha più
bambini che non escono, perché il secondo ha tre uscite, invece l’ultimo ha un’ uscita sola e lo
stesso numero di entrate. Dipende da quante uscite ci sono perché se un labirinto da trecento
strade ha un’uscita è difficile, se invece ha cento strade libere è un po’ più facile.
Elisa- Ho capito che aveva ragione Mattia, perché lui diceva che ci sono tre strade chiuse e tre
aperte, invece Roberto diceva cinque strade aperte e una chiusa. Un’altra cosa potrebbe essere
che se tu vuoi fare un labirinto più difficile, non importa quante strade, non so… 100, perché ci
possono essere 99 aperte e 1 chiusa. Per avere un labirinto difficile può essere 100 strade e
una sola esce, cioè queste due cose si devono confrontare.
Emanuele- io ho capito che Mattia aveva ragione, perché abbiamo visto che Roberto aveva
detto che erano uguali di probabilità di uscire e di sbagliare, invece sono usciti 15 e sono
rimasti intrappolati 3; invece nel ragionamento di Mattia sono usciti 9 e 9 intrappolati. Un’altra
osservazione è quella che se voglio sapere che probabilità di uscire, quante uscite e quante
strade chiuse mi serve confrontare i due labirinti. Un’ altra osservazione è quella che se ci sono
50 strade e 25 sono chiuse è la metà di uscite e strade chiuse.
Marco B.- Ho capito che è sempre più conveniente prendere i laboratori pari, esempio se ci
sono sei strade è un numero pari come l’esempio di Mattia che aveva detto tre sbagliate e tre
aperte e mi è piaciuto molto. Devi sapere quante uscite e quante entrate e quante probabilità.

3° tappa – La MORRA (modificata) (marzo 2003)
(1° giorno) Spiegazione orale del gioco: si gioca a coppie e ognuno dei due giocatori usa una
sola mano che tiene chiusa a pugno; al via ogni giocatore mostra velocemente con le dita un
numero (da 0 a 5) e contemporaneamente dice se il numero che uscirà sommando le proprie
dita e quelle del compagno di gioco sarà PARI o DISPARI; si vince un punto ogni volta che si
indovina.
Ipotesi scritta individuale prima dell’inizio del gioco:
“E’ più facile che vinca chi sceglie pari o chi sceglie dispari? Perché?”
Risposte raccolte per tipo
Fortuna Continuità trucco calcolo matematico altro
5% 25% 5% 40% 25%
Vinceranno i
dispari
perché ci tiene la
maggior parte
dei
bambini, e più
bambini ci
tengono
più è grande
la fortuna.
Simone
E’ facile che
vinca
pari, perché è
sempre un po’
più
fortunato del
dispari.
Nada
Può vincere
pari,
perché è
dalla
seconda che
tengo per
pari.
Jessika
E’ più facile
che
vinca pari,
perché nelle
partite
precedenti
ha
vinto
sempre
pari.
Evandro
Dipende
quante
volte si
gioca,
perché
magari
tutti
conoscono
un trucco.
Giulia
Vincerà il pari perché ha
più numeri
del dispari… i numeri del
dispari sono
1 3 5 7 9, invece quelli
del pari sono
0 2 4 6 8 10, il dispari ne
ha cinque
invece pari ha sei numeri.
Emanuele
Vincerà il dispari perché
ha più possibilità, perché
se conti i numeri pari
sono due e quelli dispari
tre.
Marco Q.
Mi pare che vinca pari,
perché mi sembra che
ha dei numeri facili,
cioè tipo 4 è un
numero pari.
Marco B.
E’ più facile che vinca
Pari, perché i numeri
pari sono più alti di
quelli dispari.
Chiara
E’ più facile che
vincano tutti e due,
perché è una scelta
…casuale.
Ada
Gioco a turno: mentre una coppia gioca (10 tiri a coppia), gli altri osservano e possono
commentare (registrando). Registrazione delle uscite in tabella.
Sono presenti 20 bambini, di conseguenza si fanno 10 coppie, ogni coppia fa 10 lanci che
vengono registrati in una tabella, in base alla quale ognuno costruirà il proprio grafico.
Partita Uscite PARI DISPARI
1^
2^
3^
4^
5^
6-8-6-3-1-5-6-5-4-8
5-6-3-6-6-4-8-8-6-3
4-8-6-5-3-10-5-6-3-9
6-5-10-6-7-6-6-7-8-4
6-9-2-1-7-7-7-4-10-3
6
7
5
7
4
4
3
5
3
6

7^
8^
9^
10^
10-7-9-7-7-7-6-9-8-10
5-7-5-4-7-7-7-10- 9-10
10-3-7-6-7-5-7-6-7-3
10-4-6-6-6-9-8-10-3-8
4
4
3
8
TOTALE 54 46
Confronto individuale scritto. (2° giorno)
”Confronta le risposte date da Michela e da Mattia alla domanda posta prima dell’inizio del
gioco, spiegando bene
• cosa hai capito,
• se dicono cose analoghe o diverse,
• cosa ne pensi tu.
Michela: “Secondo me, vinceranno i dispari, perché il 5 è dispari e l’ultimo numero è dispari e
hai tre scelte, e pari ne ha due, perché pari ci sono 2 e 4, dispari 1-3-5, perciò il dispari è più
probabile.”
Mattia: ”E’ più probabile che vincano i pari, perché ci sono undici numeri che possono venire
fuori nel risultato: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
P D P D P D P D P D P
= 5 Dispari e 6 Pari
quindi è più probabile che vinca pari, bisogna tenere conto dello zero.”
Dal confronto si rileva che:
• 95% capiscono il discorso di Michela;
• 90% capiscono il discorso di Mattia;
• 25% colgono come analogia che entrambi ragionano sui numeri;
• 20% “ “ “ “ “ “ sulle mani;
• 20% “ “ “ “ “ contano possibilità pari e dispari;
• 80% colgono come differenza che uno pensa a una mano, l’altro a due;
• 20% “ “ “ “ “ “ alle dita di una mano, l’altro alla somma di
due mani;
• 35% colgono che uno include lo zero, l’altro no.
Alcuni testi di confronto
Michael- Michela guarda i numeri da 1 a 5, e afferma che vinceranno i dispari; Michela guarda
quanti numeri ci sono di pari e dispari, da 1 a 5 numeri, perché hai una mano da buttare.
Mattia guarda i numeri da 0 a 10, ma non da 1 a 5, Mattia guarda da 0 a 10, perché guarda la
sua mano, ma anche quella dell’avversario. Mattia dice che è probabile che vinca il pari perché
da 0 a 10 ci sono più pari che dispari, 6 pari e 5 dispari.
Fra Mattia e Michela ci sono delle cose simili, cioè Mattia dice che vince il pari perché da 0 a 10
ci sono più pari, e Michela dice che vince dispari perché da 1 a 5 ci sono più dispari. Di diverso
c’è che Mattia guarda la mano dell’avversario e la sua, invece Michela guarda solo la sua
mano.
Emanuele- Michela guarda il pari e il dispari e dice che il dispari vincerà e anche che il pari ha
due possibilità invece il dispari tre e dice anche che sta guardando l’ultimo numero del dispari
che è il cinque ed è per questo che dice che vincerà il dispari.
Mattia dice che vincono i pari e dice che ci sono undici numeri che possono venire fuori nel
risultato, Mattia guarda questo e dice pure che nel pari devi vedere anche lo zero e Mattia dice
che è per questo che i pari vincono. Mattia guarda due mani una sua una dello sfidante.
Una differenza è che Michela dice che vinceranno i dispari invece Mattia dice che vinceranno i
pari, questa è una differenza. Un’analogia è che tutti e due i ragionamenti sono matematici , e
questa è un’analogia.
Mattia- Nel ragionamento di Michela si capisce che tiene conto dei numeri dispari e pari che ci
sono dall’uno al cinque, e ha pensato che se ci saranno più numeri dispari in una metà del
risultato massimo, cioè 10, ci saranno più numeri dispari che pari anche nell’altra metà. Nel
mio ragionamento ho pensato alle due mani dei giocatori che siccome i numeri sono 11 che
possono venire fuori nel risultato, ci saranno più… che … e ho fatto una specie di calcolo, cioè
ho contato i numeri pari che ci sono dallo zero al dieci e anche quelli dispari; poi mi sono
6
6
7
2

accorto che lo 0 è importante, perché se non ci fosse lo zero le probabilità di vincita sarebbero
uguali.
Io ho scoperto un’analogia fra il mio ragionamento e quello di Michela, cioè Michela conta i
numeri dispari dall’1 al 5 e anch’io conto dei numeri, dallo 0 al 10. Però ci sono delle
differenze, ad esempio lei ha trovato 2 numeri pari dall’uno al cinque, anch’io, però c’è anche
un altro numero che è nascosto, lo 0!
Chiara- Michela ha guardato la sua mano e ha detto che ci sono più possibilità di vincere con i
dispari. Michela ha guardato la sua mano, ma soprattutto ha guardato le sue dita che sono
cinque come tutte le altre. Mattia invece guarda le uscite che possono fare, cioè pensava al
risultato che potrebbe uscire dalle loro mani. Mattia ha scritto una cosa un pochino diversa da
quella che guarda Michela, perché Michela guarda la sua mano, le sue dita, e Mattia guarda le
uscite dei numeri; e sono due cose molto diverse… Una cosa che è analoga tra le due risposte
è che tutti e due non hanno parlato di fortuna e neanche di trucchi.
Michela- Io ho guardato la mano, non ho pensato a cosa dire, perché quello che si dice non è
importante. Mattia invece guarda la mano sua e dell’avversario, ha pensato a cosa viene con
due mani, che l’ultimo numero è pari.
Io di analogo a Mattia ho solo che tutti e due guardiamo le mani, però lui ne guarda due e io
una.
Alessandro- Michela, secondo lei vincerà il dispari perché ci sono 1, 3, 5 e invece pari ci sono
2, 4 e Michela guardava i tre numeri dei dispari nella sua mano.
Mattia dice una cosa diversa da quella di Michela. Mattia dice che vincono i pari perché ha
contato lo zero e ha contato tutt’ e due le mani di Mattia e dell’avversario.
Nada- Michela dice che vincerà dispari, perché nel dispari ci sono tre numeri , e invece nel pari
ci sono due numeri, quindi Michela dice che ha più probabilità di vincere dispari perché ha tre
numeri, Michela guarda questi tre numeri che sono 1, 3, 5 perché tu ieri dovevi giocare alla
morra con cinque dita. Mattia invece dice che nel risultato della morra ci sono 11 numeri
contando dallo 0 fino al 10, lui dice che vincerà il pari perché ha visto nei risultati ci sono
cinque dispari e sei pari ed è per questo che Mattia dice che ha più probabilità il pari e Mattia
guarda tutt’e due le mani, Mattia guarda la sua mano e quella dell’altro. Mattia guarda i
risultati che vengono dalla morra e invece Michela guarda le sue dita della mano, quindi queste
sono cose diverse
DISCUSSIONE
Ins.- Allora, che ne pensate dei ragionamenti di Michela e Mattia?
Simone- Io son d’accordo con Michela, perché ci sono in una mano, visto che ieri giocavamo
con una mano e non con due, ci sono tre numeri dispari; non sono d’ accordo con Mattia,
perché anche lui giocava con una mano e dice che ci sono 10 dita.
Evandro- Mattia non dice che in una mano ci sono 10 dita, dice che nella sua e in quella
dell’avversario ci sono 10 dita in tutto, ma lui giocava con una mano, però anche l’avversario
giocava con una mano e quindi il totale è 10.
Marco Q.- Però Mattia non ha detto che usava 10 dita, ha detto 11 dita, perché lui contava
anche lo zero!
Alcuni- Ma non 10 dita!!!
Marco Q.- Va beh, volevo dire i numeri…
Alcuni- I numeri dei risultati.
Elisa- Però, scusa, ma bisognerebbe dire prima di tutto non il risultato, ma quando tu butti le
mani per poi sommare, non quando arriva il risultato.
Mattia- Allora si gioca solo con una mano se conti soltanto una mano.
Emanuele- Elisa, Michela non ha considerato tutte le probabilità del dispari, perché anche
nell’altra mano ci sono delle probabilità dei numeri dispari.
Roberto- Io non sono d’accordo con Mattia, perché lui ha detto… non ha detto che… se
bisognava contare solo le dita di una mano ero d’accordo con Michela, però lui ha detto che ci
sono più probabilità per i pari perché conta anche lo zero, quindi grazie allo zero ci sono 6 pari
e 5 dispari…

Roberto- No, lei dice dall’uno al cinque.
Giulia- Io son d’accordo con Mattia perché lui ha previsto tutte le uscite che potevano capitare,
anche che se tutti e due mettevano pugno veniva zero.
Michela- io mi sono dimenticata dello zero, però… nessuno aveva fatto zero!
Ins.- Se Michela mette lo zero, cambia il suo ragionamento?
Molti- Sììì
Marco B.- Sì, perché lo zero è pari. Lei dice che sono più probabili i dispari, ma se lei tiene
conto dello zero, hanno meno probabilità.
Giulia- Nooo, hanno pari probabilità se mette lo zero!
Mattia- Michela se avesse usato lo zero, poi avrebbe cambiato idea e si sarebbe accorta che ci
sono 3 pari e 3 dispari.
Matteo- Michela, se lei avesse messo lo zero non teneva più per il dispari perché era probabile
che uscivano tutti e due.
Luca- Son d’accordo con Mattia perché ha ragione, perché tutt’e due buttavano un numero e
poi c’è anche lo zero e i pari da 0 a 10 sono 6.
Ins.- Ma secondo voi Michela e Mattia non sarebbero dovuti arrivare alla stessa conclusione,
più pari o più dispari,dato che tutti e due guardano i numeri?
Luca- Come facciamo a decidere chi ha ragione?
Chiara- Ha ragione Mattia, perché ha calcolato tutte tutte le uscite.
Ins.- Attenzione: Chiara dice che Mattia ha calcolato tutte le uscite. Siete d’accordo?
Roberto- Sì, tutte le uscite possibili.
Anna- Io son d’accordo con Mattia perché usa due mani e è più giusto, perché…
Nada- … perché tu con una mano sola non fai il gioco e quindi Mattia ha ragione.
Marco B.- Io non sono tanto d’accordo, perché lui ha detto che potrebbe vincere pari, però,
scusa, se uno butta lo zero lui non sa…
Danilo- Sì, perché per vedere se esce pari o dispari devi vedere tutt’e due le mani!
Elisa- Io ho cambiato idea e son d’accordo con Mattia perché lui conta il risultato.
Giulia- Io sono d’accordo con Chiara che Mattia ha calcolato tutte le possibilità, perché ha
guardato le due mani e ha messo il risultato e ha guardato secondo me tutti i modi
Mattia- Veramente nel mio ragionamento non ho pensato… cioè ho pensato al risultato
massimo che poteva venire e poi al minimo e poi ho contato… e io non ho pensato alle mani.
Ins.- E’ diverso pensare al risultato o pensare alle due mani? O è la stessa cosa?
Mattia-… è … la stessa cosa… no… sì…
Giulia- No, perché se tu pensi alle mani… al numero che butti… perché il risultato è un numero
più un numero che fa un certo risultato. Prima di essere calcolati quei due numeri sono da soli,
non sono già insieme… perché se uno butta 3 e l’altro 4…
Roberto- … tipo, 4 è un numero 3 è un altro numero, come ha detto Giulia, se li metti insieme
fanno 7, però prima di metterli insieme il 4 è un numero solitario e il 3 è un altro numero
solitario, poi quando si mettono insieme viene un numero formato da numeri più piccoli…
Giulia-… sì, ma prima di essere calcolato il risultato, i due numeri possono essere degli altri.
Ins.- Puoi fare un esempio, Giulia, per farci capire meglio il tuo ragionamento?
Molti- 5 e 2, 3 e 4, 2 e 5. Alcuni- Ma scambiato è uguale! Altri- … la mano è diversa.
Michael- E’ diverso… Mattia non ha calcolato tutte le uscite che…
Ins.- Alessandro, cosa stanno dicendo i tuoi compagni?
Alessandro- Che Mattia sta guardando i risultati, ma è un’altra cosa, perché 5+0 fa 5, ma
anche 4+1, anche 3+2, le uscite sono tante…
Marco B.- Sì, Mattia ha guardato i risultati, ma i risultati si possono fare in tanti modi.
Ins.- Sono più numerosi i risultati o le uscite?
Marco B.- I risultati.
Molti- Noooo
Simone- No, i risultati sono 11, ma le uscite sono di più, molte di più.
Ins.- Sarà importante andare un po’ a ficcare il naso nelle uscite o non conta?
Molti- Conta conta…
Matteo- Se non contiamo le uscite, non può venire il risultato.
Mattia- Io mi sono accorto che un numero dispari più un numero dispari fa un numero pari, un
numero pari più un numero pari fa un numero pari, un numero dispari più un numero pari fa
un numero dispari, quindi è probabile che vinca il pari se guardiamo le uscite.

Danilo- Se ora dici così fai il contrario del tuo ragionamento di prima!
Roberto- Beh, si può cambiare idea!
Giulia- Tutti ora abbiamo pensato un’altra cosa, perché pensiamo in che modi si può fare un
risultato.
Ins.- Lo zero, ad esempio, in quanti modi si può fare?
Luca- Uno, 0+0.
Matteo- Anche 1-1.
Molti- Ma no: le uscite si sommano, si fa solo più!
Ins.- E uno in quanti modi si può fare?
Molti- In due modi, 1+0 e 0+1.
Ins.- Noi ora sappiamo se ha più probabilità di uscire pari o dispari?
Alcuni- No.
Michela- Per me è più probabile pari.
Mattia- Dobbiamo fare tutti i calcoli.
Anna – I calcoli per vedere tutti i modi.
Mattia- Dobbiamo guardare tutte le combinazioni, però per me vincono i pari.
Matteo- Praticamente dobbiamo contare come si possono fare i risultati, tutti i modi.
3° giorno RIFLESSIONE individuale: Consegna
30% scrive autonomamente tutti i modi ,
45% tralascia da uno a cinque modi,
25% tralascia da sei a venti modi.
Tutti riescono a individuare almeno sedici modi.
OSSERVAZIONI COLLETTIVE scritte dopo una breve, ma molto partecipata discussione,
avviata dalla domanda: “Ora che abbiamo scritto alla lavagna tutti i modi che avete trovato per
formare con due mani i risultati possibili, chi ha qualche osservazione da fare?”
Roberto- I modi dallo 0 al 5 aumentano, dal 5 al 10 diminuiscono.
Mattia e Giulia- Il 5 si forma in più modi, periò ha più probabilità di uscire.
Emanuele e Giovanni- Lo 0 e il 10 si formano in un modo solo, perciò hanno meno probabilità
di uscire.
Danilo e Roberto- I risultati che messi insieme fanno 10 hanno lo stesso numero di modi, come
7 e 3, 8 e 2, 4 e 6… .
DOMANDA INDIVIDUALE SCRITTA: “ Secondo te, quante probabilità ha il DISPARI di
vincere?”
Alcuni testi:
Il dispari ha 18 possibilità di uscire e io ho contato i modi. Il pari ha 18 possibilità di uscire
come il dispari. Marco B.
Il dispari ha 18 probabilità, perché io ho contato i modi dei dispari e in tutto erano 18. E i pari
hanno 18 probabilità, perché anche per i pari ho contato i modi. Perciò pari e dispari hanno la
stessa probabilità. Chiara
Il dispari ha 18 possibilità di vincere perché ho contato i modi dispari, cioè i modi di 1, 3, 5, 7,
9. I pari hanno 18 possibilità di vincere perché ho contato i modi di 0, 2, 4, 6, 8. 10. E i pari e i
dispari hanno pari possibilità di vincere. Michael
I dispari hanno 18 possibilità, perché i modi per fare tutti i risultati dispari sono 18. Le
possibilità dei pari sono 18, hanno pari possibilità. Giulia
Il dispari ha 18 possibilità di vincere perché è composto da 2 numeri dispari.Marco Q.
I dispari hanno 18 possibilità di vincere. Io per dire questo ho preso tutti i risultati dispari a
disposizione e ho contato i loro modi. poi ho messo insieme tutti i modi e mi è saltato fuori 18.
I pari hanno uguali possibilità di vittoria. Io ho fatto lo stesso ragionamento con i dispari.
Roberto
84% stabilisce autonomamente che le probabilità dei dispari sono 18 (due bambini dopo a
voce diranno “18 su 36, è la metà”, però nessuno per iscritto fa riferimento al totale delle
possibilità);

44% nota che dispari e pari hanno la stessa probabilità di uscire.
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4° tappa-I DUE DADI (aprile 2003)
Consegna per riflessione individuale scritta prima di iniziare il gioco:
”Oggi mettiamo due dadi in un bicchierino di carta, che ognuno di noi a turno
capovolge sul tavolo,dopo averlo agitato bene.
Registriamo in un istogramma la somma dei numeri che si presentano sulle due facce
ad ogni tiro. Facciamo circa 100 tiri.
Quali numeri hanno più probabilità di uscire, secondo te? Perché?”
Pietro- Io penso che ha più probabilità di uscire il n° 6, perché è più numeroso; tipo,
se bisogna sorteggiare per il segretario e ci sono 13 maschi e 10 femmine, ha più
probabilità di diventare segretario un maschio, perché sono più numerosi; allora vuol
dire 10 in su sono più numerosi quelli con due cifre o tre.
Michael- Hanno più probabilità di uscire certi numeri, perché la somma è fino a 12 e ci

che formano più coppie di altri al centro, tra 2 e 12 il 5 e il 6, il 6 lo puoi formare con
cinque coppie e il 5 con sei coppie. Perciò il 5 e il 6 hanno delle probabilità di uscire.
Giulia- Il risultato che può uscire è il 7, perché è un risultato che si fa in tanti modi.
Quelli che hanno meno possibilità sono il 2 e il 12, perché si formano solo in un modo.
Michela- Secondo me, ha più probabilità di uscire il 12, perché è nei numeri che esce
con tutti e due i dadi e hanno più probabilità quelli che escono con due dadi, cioè 7, 8,
9, 10, 11, 12.
Evandro- Ci sono dei numeri che hanno più probabilità, cioè 2, 4, 6, 8, 10, 12, perché
sono più numerosi di 3, 7, 9, 11, perché sono quattro numeri, invece gli altri sono sei,
quindi è piùprobabile che escano.
Marco B.- E’ probabile che esca il numero 3, 4, 5, perché quando gioco al gioco
dell’oca, quando tiro il dado escono di più quelli.
Mattia- Ci sono due numeri che hanno più probabilità di uscire, sono 5 e 6, perché nel
lavoro dell’altra volta ho capito che quei numeri hanno più operazioni che portano a
quel risultato, come nel gioco della morra. Ho capito che il 6 è tra lo 0 e il 12, quindi
ha più somme che producono quel prodotto. L’1 come prodotto non verrà mai, il 12
solo una volta.
Nada- Tutti i numeri hanno uguali probabilità, perché tu in questo gioco non puoi fare
trucchi per far uscire un numero che hai scelto, quindi hanno tutti uguali probabilità di
uscire. C’era un gioco che noi abbiamo giocato, che è con una mano prendi un numero
della mano e con te gioca un altro e anche lui con una mano butta un numero, la
maestra sommava i due numeri buttati dai due giocatori. Noi per sapere il numero che
ha più probabilità dopo il gioco abbiamo guardato e abbiamo scoperto dei numeri che
si possono fare in più modi.
Simone- I numeri che hanno più probabilità sono vicini all’11, perché di solito vengono
spesso i numeri più alti vicino all’11, e non è probabile che venga spesso il 2.
Chiara- I numeri che hanno più probabilità di uscire è comunque un numero non tanto
alto, perché nei dadi non escono quasi mai due numeri uguali e molto alti e poi non è
tanto probabile.
Elisa- Ha più probabilità di uscire il 6 e l’8, perché sono due numeri che si possono
fare in molti modi, invece il 2 è pochissimo probabile che venga, perché ha un modo
per fare 2.
Jessika- Il numero che può avere più probabilità di uscire è il 5, perché le probabilità
che il 5 sono di più, cioè ha sei probabilità di uscire in confronto agli altri numeri. Un’
altra cosa è che ho calcolato sei probabilità perché quando abbiamo fatto quel lavoro
che 1 ha due probabilità, io mi sono ricordata di quel lavoro e allora ho contato quante
probabilità ha il 5 e è venuto che ha sei probabilità.
Roberto- Hanno tutti le stesse probabilità di uscire, perché non è che la fortuna dice
“oggi faccio vincere il 4” ad esempio, dipende da come si agitano i dadi, perché ogni
numero dal 2 al 6 ha un modo diverso da agitare, ad esempio il 12 ha lo stesso modo
del 6, perché 6+6 fa 12, l’8 ha lo stesso tipo di agitazione del 4,,perché 4+4 fa 8…
45% dei bambini pensa al calcolo probabilistico dei “modi per fare…”
55% dei bambini ragiona per continuità, analogia…
Non so se considerare queste percentuali un successo,data la difficoltà dell’argomento e
l’imminenza delle vacanze pasquali, o una prova della necessità di rimandarlo a tempi più
maturi. Certo ci sono alcune cose su cui riflettere, ad esempio il testo di Nada, che partita con
un discorso sui trucchi conclude con il numero dei modi per formare un risultato, o il confronto
tra il testo di Roberto e quello di Jessika.
Ormai comunque il gioco si fa.
Il gioco si interrompe per fine lezione dopo 60 tiri; ciò mi dà modo di rilanciare per una
riflessione scritta individuale il precedente testo scritto da Giulia, prima di continuare il gioco.

Consegna.
Chiara- Io sono d’accordo con Giulia e ora cambio anche idea e non penso più quello che ho
scritto. Non ci avevo pensato!
Roberto- Giulia ha ragione, perché infatti il 2 ha solo 1+1 per riuscire, perché 0 e 2 o 2 e 0 non
si possono fare, perché nei dadi non c’è lo 0, quindi con il 2 ha ragione; poi, al 12 sono
d’accordo perché c’è solo 6+6; e per il 7 son d’accordo, perché il 7 ha 6+1, 5+2, 4+3,….
Quindi ha ragione perché il 7 è l’unico che ha sei probabilità di uscita, e il 2 e il 12 sono gli
unici che hanno due probabilità di uscita.
Jessika- Io penso che Giulia ha detto una cosa giusta perché infatti il 7 ha tante possibilità di
uscire, non come il 2 e il 12, perché infatti i sortilegi sono tanti.
Ada- Io non sono d’accordo con Giulia perché potrebbe venire un altro numero.
Pietro- E’ giusto il ragionamento di Giulia perché il 7 si può fare 4+3, 5+2… invece il 2 e il 12 si
fanno in un modo, perché il 2 si fa 1+1, invece il 12 si fa soltanto con 10+2,però non può
uscire sempre perché 6+6 non esce sicurissimo, ma poche volte.
Simone- Io son d’accordo con Giulia, perché è vero che il 2 e il 12 si fanno in un solo modo. E
son d’accordo con Giulia sulla storia del 7 perché può venire in tanti modi, per esempio
6+1=7, 4+3=7, 5+2=7, …
Giulia- Io sono ancora d’accordo anche se sul grafico la colonna del 7 non è la più alta, perché
quando ho fatto quel disegno (rappresentazione grafica dei modi possibili) ho visto che il 7
aveva sei possibilità e gli altri sei.
Michael-Io sono d’acordo solo che il 2 e il 12 hanno meno possibilità di uscire, perché si
formano in una coppia, 1+1 e 6+6. Invece non sono d’accordo che il 7 si forma in tanti modi
perché si può formare in quattro modi, invece il 5 in sei modi.
Mattia- Non sono d’accordo con Giulia, perché secondo me sarebbe il 6 ad avere più possibilità
di essere un prodotto, perché è tra il 12 (numero maggiore come risultato) e il 2 (numero
minore).
Emanuele- Io sono d’accordo e non sono d’accordo: sono d’accordo che il 2 e il 12 hanno meno
possibilità, perché 1+1 può venire raramente come 6+6; non sono d’accordo perché nel
grafico il 12 ha quattro quadrati ed ha superato il 4, allora l’osservazione che fa Giulia sul 12 è
sbagliata, e anche perché il 4 ha cinque possibilità.
Luca- io non sono d’accordo perché il 7 di possibilità ne ha due, cioè 2+5 e 3+4. Poi non solo
12 e 2 hanno una possibilità, ma anche 11, 10, 9 ne hanno una.
70% dei bambini sembra capire e condividere il discorso di Giulia
35% non condivide, ma usa il calcolo dei modi, sbagliando il conto
5% non coglie assolutamente il significato del discorso di Giulia

numero delle uscite
20
15
10
5
0
due dadi
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
somme dei dadi
Uscite
Discussione dopo 126 lanci di due dadi
Ins.- Fate un commento a questo grafico, cioè dite ciò che pensate guardandolo.
Elisa- Io guardando questo grafico sto capendo, per esempio, che il 2 ha un modo, e
infatti è uscito soltanto una volta; quindi ha poche probabilità di uscire e infatti… i
numeri che hanno più modi hanno avuto più probabilità di uscire.
Giulia- Io non sono tanto d’accordo con Elisa, perché anche il 12 ha una probabilità di
uscire come il 2, eppure ha più quadratini (nel grafico), perché il 2 ne ha uno e il 12
ne ha 7.
Marco Q.- Il 12 ha sette quadratini, perché il 2 si può fare con 1 e 1 e sono due
numeri che escono spesso, invece il 6 e il 6 escono molto poco.
Roberto- E allora perché il 12 ha più quadratini del 2?
Ada- E’ che il 2 esce raramente, è raro che escano due 1, perché…
Anna- …perché… lei dice così perché è uscito solo una volta.
Giulia- Sì, ma la domanda è “perché è uscito solo una volta”!
Roberto- Forse perché l’1 e l’1 sono numeri bassi e di solito i numeri bassi escono
molto poco.
Giulia- Però usciva spesso, tipo, 2 e 1, 3 e 1. 1 e 4, cioè i numeri bassi uscivano
spesso, ma su un dado solo.
Matteo- Anch’io vedevo che l’1 usciva tante volte, ma non 1 e 1…
Mattia- Però se… cioè, capisco che il 2 è uscito poche volte, cioè una volta…
praticamente però l’1 ci sta una volta in un dado e una volta nell’altro, e anche il 6 è
segnato una volta in un dado e una volta nell’altro, quindi praticamente il 12 ha avuto
un pochino più… cioè è venuto più volte,… quindi la probabilità di uscire del 12 e del 2
sarebbe uguale, … dipende…
Evandro- Secondo me, l’1 doppio esce poche volte, perché se tu agiti il bicchiere poi lo
rovesci, magari quando è nel bicchiere segna 1, poi si capovolge e va sotto.
Roberto- Dipende come lo agiti.
Evandro- Forse il 12, siccome per fare 12 serve 6 e 6, i numeri più alti escono di più.
Simone- Se tu agiti il bicchierino, lo giri e il risultato è 2, dopo può venire anche un
altro numero.
Michela- 2, 3, 4 sono meno, perché sono più rari, perché… tu non puoi sapere quello
che ti viene.

Nada- Il 2 è uscito solo una volta, perché si può formare solo con 1 e 1 ed è per
questo che è uscito meno volte; ma il 12 che si può formare anche con un modo è
uscito di più perché il 6 è più alto, perché … si può…
Ins.- Perché le facce del dado con un numero più alto dovrebbero uscire più volte?
Emanuele- Penso che il 2 è uscito meno volte del 12, perché 1 e 1 è un numero che…
Marco B.- Il 2 è venuto meno volte magari, come ha detto Giulia, che ci sono meno
probabilità che esca, perché non ha più risultati, cioè non si può fare tante volte il 2
come con il 4, 5, 6, 7, 8.
Ins.- Dimmi un numero che secondo te ha più probabilità di uscire e spiega perché.
Marco B. –Il 7, perché 5+2, 4+3, 6+1, 3+4…
Roberto- E’ l’unico che ha sei probabilità di uscire.
Marco B.- …oppure 7+0…
Simone (sottovoce)- Ma no, 0 non c’è sul dado!
Marco B. (meravigliato)- E’ vero!!!
Danilo- Forse il 2 è venuto meno, perché di solito esce tanto…non saprei dire il perché
Jessika- Il 2 è uscito poco, perché l’1 non esce quasi mai.
Giovanni- Forse l’1 è uscito di meno, forse per la sorte… però mi sa che se parliamo di
sorte, torniamo su un discorso dell’anno scorso… della fortuna, dell’angioletto…
Pietro- Il 2 è uscito di meno perché il 2 ha solo 1+1 e il dado di solito fa le cifre più
alte, tipo il 6, 7…, invece il 2 è un po’ bassetto.
Chiara- Io non saprei perché l’1 non esce mai. Io direi che esce tante volte, però non
fa mai coppia… non lo so perché…
Luca- Mi sembra un po’ strano, perché a casa, quando gioco con mio papà con i dadi
mi viene sempre 1 e mai 6, non so…
Alessandro- Io penso che il 2 è difficile da far uscire perché è 1 e 1. Sarà molto
difficile da far uscire!
Ins.- Non ti sembra ugualmente difficile il 12?
Alessandro- Ehhhh, il 12 mi sembra facile, perché deve uscire un 6 e un altro 6, è più
facile, perché, anche se 12 ha meno probabilità, è più facile da far uscire.
Ins.- Ci sono altre osservazioni sul grafico? Non è necessario parlare sempre di 2 e 12.
Emanuele- 6 e 6 esce più volte, perché è l’ultimo numero del dado, quindi… come
posso dire…?…
Roberto- Pensaci come puoi dire prima di parlare! (risate)
Emanuele- E’ che 6 e 6 è l’ultimo numero del dado e esce più volte.
Ins.- Che cosa vuol dire “è l’ultimo numero del dado”?
Emanuele- …che non può uscire 7 e 7, perché 7 non c’è sul dado, invece 6 può uscire.
Invece 1 e 1 è il numero più piccolo.
Roberto- Io vorrei dire due cose: primo che io avevo scritto che avevano la stessa
probabilità, perché avevo guardato tutti i risultati che potevano venire e i pari ne
avevano sei e i dispari sei; poi che secondo me il 12 è uscito più volte, perché il 6 è un
numero superiore, invece l’1 è un numero inferiore, è come in questa scuola che le
classi superiori sanno più cose delle classi inferiori, per questo il 6, che è superiore,
esce di più dell’inferiore.
Ada- Vorrei dire a Luca, che dice che a casa gli è uscito sempre 1 e 1 e 1…, vorrei dire
che i maghi fanno una magia, lanciano i dadi e viene sempre 1. (confusione)
Cioè dimostrano che possono far uscire 1 e 1 e1 … 100 volte.
Giulia- Ma i maghi non erano qui!
Anna- Non esce il 2 perché 1 e 1 è un numero doppio e i numeri doppi non escono
tante volte, soprattutto se sono piccoli.
Intuisco la possibilità di un espansione del discorso alle probabilità di formare coppie di numeri
uguali, ma la situazione mi sembra già così molto complicata. Inoltre tra poco tempo suonerà
la campana e inizieranno le vacanze pasquali.

Chiara- Allora perché 6 e 6 è un numero doppio ed è uscito più volte? Perché più dei
numeri piccoli? Devi dirlo il perché.
Giulia- Io con Anna sarei un po’ d’accordo e un po’ no, perché va bene il 12 si fa solo
con 6 e 6 che è doppio ed è uscito più volte, però negli altri non è uscito tante volte 3
e 3, 4 e 4, 2 e 2… solo nel 12 è uscito tante volte il doppio.
Elisa – il 2 non esce spesso, perché l’1 è in un posto che non riesce tanto a venir fuori,
per esempio, potrebbe essere sotto…
Giulia- Ma sotto… dipende come giri il dado, se lo giri in un altro modo potrebbe
essere sotto il 3… è una delle sei facce sul dado. Tutti possono essere sotto!
Elisa- Sì, ma noi quando guardiamo il dado, guardiamo sopra, ma l’1 potrebbe essere
in tutti i lati e non riesce a venire sopra. (confusione)
Pietro- Io nel grafico ho visto che i numeri sono stati tutti leali, non sleali, cioè…
Molti- Ma come fanno a essere leali o sleali i dadi?!
Pietro- NO, volevo dire che sono usciti proprio così, e così va bene.
Marco Q.- A Luca esce sempre 1 e 1, allora il dado deve essere truccato, se no non ci
riesci.
Matteo- Voglio fare un’obiezione a Nada, che lei prima ha detto che l’1 ha meno
probabilità di uscire, invece il 6 ha più probabilità perché è più alto, però non è vero
perché, quando a casa gioco, escono un po’ tutti.
Michael- Io nel grafico ho notato che i numeri ai lati, cioè il 2, 3, 4, 10, 11, 12 sono
usciti meno di quelli al centro, perché quelli ai lati hanno meno modi, meno coppie per
formare il risultato, invece quelli al centro hanno più modi.
Giovanni- Vedendo il grafico capisco che la teoria di Giulia, che il 7 aveva più
possibilità, è giusta, infatti a questo punto è in testa.
Jessika- io ho notato che il numero 5 ha più probabilità di uscire…
Danilo- io vorrei fare un’obiezione ad Ada, perché va bene, magari i maghi con dei
trucchi riescono anche a far uscire sempre 1, però credo che il papà di Luca non sia un
mago.
Mattia- Io sono d’accordo con Michael e vorrei dire il perché, perché il 2 e il 12 hanno
due operazioni, una per uno, per avere quel prodotto, quindi praticamente andando
verso il centro ce ne sono sempre di più, tra il 12 e il 2 ci sarebbe il 6, però il 6 è alla
pari con l’8, e il 7 è avanti, quindi praticamente la probabilità non è riuscita.
Evandro- Quello che ha scritto Giulia è stato vero, perché il 7 ha tantissimi quadratini,
perché ha tante possibilità di uscire, 6+1, 5+2, 3+4,…
Marco B.- Io son d’accordo con Michael che i numeri ai lati hanno meno colonne, però
vorrei aggiungere che quelli in centro hanno più colonne, perché hanno più possibilità
Michela- Il 12 è uscito più volte perché qualcuno può aver barato.
Molti- Ma come fa a aver barato!!!
Nada- Io non sono d’accordo con Michela, perché come faceva a barare, se noi
agitavamo il bicchiere e poi lo giravamo sul tavolo.
Emanuele- Io voglio dire che il 7, sì, ha più modi, ma il 7 è ora in testa, ma potrebbe
anche perdere. ORA è in testa.
Ins.- Attenzione. Emanuele dice che il 7, che è il numero che ha maggiori probabilità
di uscire, ora è in testa, ma se lanciamo i dadi altre cento volte, potrebbe perdere.
Emanuele- Sì, perché ora è in testa, ma potrebbe anche rimanere indietro.
Giulia- E’ possibile che un numero come il 7 possa in cento tiri non uscire più, perché
lo dice la parola, PROBABILE non vuol dire che è sicuro che esca sempre, però se
bisogna scegliere prima tra un numero e l’altro è meglio scegliere quel numero,
perché è un po’ più avvantaggiato.
Marco Q.- E’ possibile, perché non sempre i numeri che hanno più probabilità vincono
sempre, non è che quello più probabile debba sempre vincere.
Pietro- Io son d’accordo con Emanuele che il 7 ora è in testa, ma potrebbe anche

Giovanni- Per me è possibile che il 7 resti indietro, infatti all’inizio del gioco era molto
basso e gli altri lo superavano. E poi son d’accordo con Giulia che probabile vuol dire
incerto, non sicuro.
Jessika- Anche se ora il 7 è più alto, potrebbe rimanere indietro e il 2 che è il più
basso può superare il 7.
Mattia (dubbioso)- Potrebbero vincere il 2 o il 12 e perdere il 7 e l’8…
Ins.- Quale considereresti un evento raro?
Mattia – Che vinca il 2… rarissimo.
Anna- Il 7 può rimanere indietro, ma secondo me non per cento tiri non esce più,
perché comunque uscirà, non può stare fermo per cento tiri!
Ada- Anch’io dico che il 7 può rimanere indietro.
Ins.- Quale evento considerereste probabile prima di iniziare il gioco?
Roberto- beh, io son d’accordo con Emanuele che il 7 nella prossima partita potrebbe
rimanere ultimo.
Ins.- Da che cosa dipende?
Roberto- Dipende dai dadi, come escono.
Alessandro- Dipende da che numero esce… dal bicchiere.
Michael- Io vorrei dire che il 2 è un po’ difficile che diventi primo, cioè che quando tu
tiri i dadi venga sempre 1 e 1.
Giovanni- Jessika- Dipende dalla sorte.
Danilo- Mattia- Evandro- Simone- Dalla probabilità
Marco B.- Luca- Marco Q.- Dalla fortuna
Michela- Nada- Ada- Giulia- Elisa- Matteo- Pietro- Dall’agitazione (come agiti i dadi)
Emanuele- Dalle operazioni.
Anna- Chiara- E’ un caso che esca un numero.
Ins.- Vi rilancio tre parole che avete usato e vorrei sapere se sono modi diversi di dire
la stessa cosa o se sono cose diverse. Sorte, fortuna, caso.
Nada – Alessandro- Chiara- Elisa- Giulia- Pietro- Marco Q.- Sono cose diverse.
Tutti gli altri- Sono la stessa cosa detta in modi diversi.
Ins.- Ora facciamo un gioco, velocemente perché sta per suonare la campanella.
Chiudete gli occhi, io dirò una parola e subito dopo vi chiederò quale immagine avete
visto nella vostra mente.
SORTE FORTUNA CASO
Bicchiere vuoto Danilo
Lotteria
Matteo, Michael, Giovanni,
Jessika,
Elisa, Luca, Ada, Chiara
Soldi Marco B., Nada,
Alessandro
Sorteggio in classe
Mattia, Emanuele, Evandro
Pesca in mare Matteo,
Marco Q.
Dirupo Giulia
Dadi nel bicchiere Anna
Non sai cosa uscirà
Roberto
Numero 15 Simone
Tutto nero Michela
Vincita Pietro, Matteo,
Danilo,Elisa, Marco B.,
Giovanni
Contentezza Emanuele
Marco Q., Jessika, Elisa,
Luca
Soldi Chiara, Anna,
Simone
Anello d’oro Giulia
Vittoria in gara
Alessandro
Nonna non morta Nada
Partita di calcio Mattia
Incidente evitato
Emanuele
Tutto giallo Michela
Quadrifoglio Ada
Stella luminosa Roberto
Investigatore che scopre…
Evandro, Marco Q., Ada,
Alessandro,Emanuele,Matteo,
Marco B.,Anna,Giovanni,
Signor Caso Pietro
Ritorno a casa Simone
Incontro inaspettato Elisa,
Chiara
Qualcuno ha sparato Luca
Rosso con macchie Danilo
Casa diroccata Michela
Macchia arancione Giulia
Rombi verdi Jessika
Cosa inaspettata Roberto
Pace fra due Nada, Michael

Mi piacerebbe chiedere ai bambini di giustificare la loro risposta precedente (sono o no
la stessa cosa), mettendola in relazione con le immagini evocate dal nome, ma non so
quale valenza potrebbe avere una riflessione di questo tipo, forse solo emozionale, o
neanche se i bambini hanno dato risposte un po’ giocose e legate, per conformità o
per opposizione, a quelle dei compagni.
Una proposta di rilancio che mi stuzzica di più è, invece, mettere a confronto in
discussione i due istogrammi (quello sulla morra realizzato da me ora e quindi
sconosciuto ai bambini, quello sui dadi costruito da loro), cercando di utilizzare ogni
spunto per pilotare la discussione sul fatto che in uno interviene la mia scelta, quindi
c’è una minore casualità, che tuttavia la mia scelta data la velocità del gioco non è
pensata, ma legata alla facilità gestuale di certi numeri.
La consegna potrebbe essere più o meno vincolante:
- Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi con due dadi.
Confrontate le uscite dei numeri-somma nei due giochi, riportate sugli
istogrammi, che ne pensate?
- Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi con due dadi.
Entrambe le volte avete scoperto che alcuni numeri somma hanno più
probabilità di altri di uscire, però osservando gli istogrammi delle uscite si
rilevano differenze notevoli su alcuni numeri, è possibile trovare delle
motivazioni? Quali?
-
5° tappa- CONFRONTO MORRA/DADI

RIFLESSIONE individuale:Abbiamo giocato prima alla morra con due mani, poi ai dadi
con due dadi. Entrambe le volte avete scoperto che alcuni numeri somma hanno più
probabilità di altri di uscire, però osservando gli istogrammi delle uscite si rilevano
differenze notevoli su alcuni numeri, è possibile trovare delle motivazioni? Quali?
LA MORRA
25
20
15
10
5
0
numero delle uscite
20
15
10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
5
0
due dadi
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
somme dei dadi
Est
Uscite
Alcune risposte individuali scritte.
Marco B.- Gli andamenti dei grafici sono diversi, perché i dadi non hanno il numero 1,
mentre la morra lo ha. E i dadi non hanno lo 0 e la morra sì. Oppure la morra i numeri
partono dallo 0 e arrivano al 10, mentre i numeri dei dadi partono dal 2 e arrivano al
12, quindi l’andamento dei dadi è più lungo e forse più basso. Poi sei più libero nel
gioco della morra, perché puoi lanciare il numero che vuoi con una mano.
Roberto- La differenza è che in una cosa si parla di sorte e nell’altra è un po’ decisione
e un po’ sorte, perché nei dadi non sai per niente che cosa uscirà nei due dadi e nel
risultato finale, lo scopri soltanto dopo aver tirato, e questo vuol dire sorte; invece
nella morra è un po’ decisione perché tu sai con certezza che cosa uscirà da te, ma

non sai né che cosa tira l’avversario, né il risultato che verrà mettendo insieme le due
uscite.
Jessika- I grafici dei dadi e della morra sono diversi, perché la morra è come un
tabellone in cui escono cinque pari e dei dispari, invece i dadi è come una
montagnetta che pian piano sale sale… finché non arriva in cima e poi scende. La
morra per me è più libero, perché almeno puoi pensare a un numero.
Marco Q. – I grafici sono venuti diversi, perché i dadi hanno sei facce e se si sommano
due dadi tutti messi insieme fanno 12, e giocando alla morra invece una mano ha
cinque dita e 5+5=10 e hanno meno probabilità. Poi ho notato che il numero 10 nella
morra esce spesso, invece nei dadi è uno dei più piccoli.
Mattia- Il perché i due grafici sono molto diversi è questo: i risultati che potrebbero
uscire per i dadi sono 11 (poi scrive) NO!!
Il motivo sul perché i grafici sono diversi è questo: le somme additive per portarmi ad
un risultato per la maggior parte dei numeri nella morra rispetto a quello dei dadi. E il
gioco in cui sono più libero è questo: la morra.
Giulia- I grafici sono diversi perché ci sono dei numeri diversi e quindi le probabilità di
uscita su ogni numero cambiano; nella morra decidi tu cosa buttare, nel dado no.
Danilo- Il numero 7 del gioco dei dadi ha vinto perché ha più possibilità di uscita di
tutti, anche del 7 alla morra. Secondo me con il gioco della morra sono più libero
perché decido che numero far uscire, invece con i dadi non lo posso decidere io.
Emanuele- La differenza fra i due giochi è che alla morra in una mano puoi fare solo 5
e anche nell’altra, quindi non può venire un numero sopra il 10. Nel gioco della morra
puoi scegliere il tuo numero, invece nei dadi sceglie la sorte.
Chiara- I grafici sono diversi, perché dipendono soprattutto da come si gioca, per
esempio, se il 6 ha più probabilità di uscire nella morra è perché nei dadi non può
uscire 0 e 6 perché nel dado non c’è lo 0. Secondo me cambiano i grafici perché
cambia il modo di lanciare.
Giovanni- Nella morra posso vedere un po’ cosa fa l’altro, quindi ti condiziona un po’
su che numero fare e dire… invece nei dadi sei solo e nel bicchiere non puoi barare.
Evandro- Secondo me dipende dal caso perché i due grafici sono diversi, e questo
perché con i dadi le colonne sono di più e allora certi numeri hanno più possibilità di
uscire.
Anna- Secondo me c’è un andamento diverso tra morra e dadi, perché nel dado ci
sono più possibilità che esca un numero qualunque, perché nel dado ci sono sei
numeri; invece nella morra ci sono meno modi di fare un numero perché sei tu, quindi
la tua mano vedi che ha cinque dita e non sei dita. Il gioco in cui ci sono più libertà è
la morra, perché sei tu che scegli che numero buttare.
Ad un certo punto Danilo, mentre leggo ciò che sta scrivendo, mi chiede:< Posso dire
che nella morra sono più libero? >; lo fa a voce piuttosto bassa, ma non abbastanza,
infatti quest’idea di “libertà” entra nei testi di molti bambini che fino a quel punto non
sembravano orientati in questo senso. Il fatto che però siano così pronti a cogliere il
suggerimento mi fa supporre che a livello intuitivo già ci fosse qualcosa.
DISCUSSIONE
In cerchio, con il foglio che riporta i due grafici in mezzo, rileggiamo la consegna
precedente e cominciamo la discussione.
Ins.- Chi vuole prendere la parola per dire quali differenze ha notato fra i due grafici?
Marco Q.- Io ho notato delle differenze tra il 6 della morra e il 2 dei dadi.
Emanuele- E beh, quella differenza si vede subito e non è che devi starci a pensare
per spiegare come mai! E’ meglio confrontare il 6 con il 6, così fai vedere la

Ins.- Perché è meglio confrontare il 6 con il 6?
Roberto- E’ meglio confrontare dei numeri uguali, perché è inutile confrontare il 7 con
il 12, perché ad esempio il 12 ha solo una possibilità.
Mattia- Non ha solo una possibilità, ha solo una somma.
Roberto- Va beh, ha solo una somma. E il 7 invece ne ha tante. Ad esempio, si può
confrontare il 7 della morra con il 7 dei dadi; e anche altri, 3 e 3, 4 e 4 …
Giulia- Io vorrei dire a Roberto che c’è della differenza tra il 6 della morra e il 6 dei
dadi perché ci sono degli altri numeri che cambiano, perché nella morra ci sono i
numeri dallo 0 al 10, invece nei dadi dal 2 al 12, e i numeri che hanno più probabilità
sono quelli che stanno a metà strada.
Pietro- Io sono d’accordo con Roberto che dice come confronti… tipo 6 con 7 la vedi la
differenza. Ma come dice anche Emanuele è meglio confrontare 6 con 6.
Mattia- Secondo me un numero che ha molta differenza tra morra e dadi è il 9, perché
il 9 dei dadi è uscito 14 volte, mentre quello della morra è uscito 9 volte. Il 9… cioè ci
sono più numeri distanti dall’ultimo numero, quindi avrà più probabilità il 9 dei dadi.
Ins.- Qualcuno ha in mente qualche altra motivazione?
Ada- Io son d’accordo con Roberto che è meglio fare 6 e 6, 4 e 4…
Mattia- Il 9 è molto diverso tra i due grafici, perché il 9 del grafico dei dadi per
arrivare al 12 ha tre numeri, invece nella morra uno, perciò praticamente nei dadi è
più spinto a metà.
Anna- Io vorrei parlare di una cosa che ho scritto, che sono diversi gli andamenti della
morra e dei dadi, perché… allora, nei dadi ci sono più numeri perché c’è anche il 6,
invece nella mano ci sono solo 5, allora è più probabile che esca un numero… va be’.
Giovanni- Obiezione ad Anna: se conti i numeri senza guardare al numero vero sono
comunque tutt’e due undici, invece lei ha detto che nei dadi sono di più.
Anna- Ma quando butti con la mano non puoi fare così (mostra 5 dita di una mano e 1
dell’altra).
Ins.- Però Giovanni dice che nei due grafici c’è la stessa quantità di numeri-somma.
Anna- Lo so, perché nei dadi non c’è lo 0 come nella mano.
Marco B.- Io ho notato una differenza, che nella morra i numeri partono dallo 0 e
arrivano a 10, mentre nei dadi partono da 2 e arrivano a 12, e secondo me questo
succede perché nella morra puoi buttare 0 e nei dadi non c’è lo 0.
Simone- Sul secondo grafico i numeri dal 2 arrivano al 12.
Ins.- Va bene, ma questo lo avete già detto!
Chiara- Secondo me, c’è una differenza evidentissima sull’ 8, perché nella morra l’8 è
a metà, invece nei dadi è quasi in cima.
Roberto- Forse perché di solito i numeri che stanno a metà del grafico sono quelli che
hanno più probabilità. Secondo me il 7 dei dadi è uscito più volte perché è a metà.
Marco Q.- C’è grande differenza tra l’ultimo della morra e l’ultimo dei dadi!
Emanuele- Però sono numeri diversi.
Molti- Nooo…. Sono tutti e due ultimi!
Giovanni- Gli ultimi, anche se si scrivono in modo diverso, sono tutti e due 11
(undicesimi), perché 2 (nei dadi) è come se fosse 1 e 0 è come se fosse 1 (nella
morra), la scritta sotto non importa un bel niente, è il modo…
Confusione.
Anna- Obiezione a Roberto, che ha detto che in mezzo c’è il 7…
Ins.- Scusa Anna, non farci tornare indietro nella discussione, ora stavamo guardando
l’ultimo numero dei due grafici, tra le due colonnine c’è una notevole differenza, come
si spiega?
Elisa- Secondo me, l’ultimo della morra è diventato alto perché tu decidi che numero
buttare e, tipo, se butti 5 è probabile che anche l’altro butti 5.
Emanuele- Sì, è probabile che anche lui butti 5, perché certe volte ti viene di buttare

Luca- Anche a me una volta che giocavamo con Giovanni mi veniva da buttare 5.
Molti- Perché è facile!
Giulia- Il 5 è molto facile, perché tu devi fare veloce e apri tutta la mano e allora è
facile.
Matteo- Il numero 12 nei dadi c’è meno volte, perché ha solo una probabilità, e anche
il 10, però il 10 è più comodo nella morra, invece nei dadi ci sono i dadi nel bicchiere e
è più difficile che venga 6 e 6 tante volte.
Confusione.
Marco Q.- Secondo me il 10 della morra si è alzato perché quando tu butti giù la mano
è difficile che ti venga proprio il numero che dici, perché devi fare presto.
Alcuni- Ma tu non dici cosa viene, mica sai cosa butta l’altro!
Danilo- Marco non vuol dire la somma che fanno le due mani, ma quello che pensa di
buttare lui, magari pensava 2 e gli veniva 5, perché 5 viene molto bene.
Ins.- Proviamo tutti a buttare giù dei numeri un po’ velocemente, come se stessimo
giocando alla morra, per controllare se ci sono dei numeri che buttiamo più spesso?
Tutti provano e nella confusione registrata colgo alcune frasi:- Il 2 è difficile perché ti
viene da mettere anche l’altro dito … Però se voglio lo butto il 2… Il 3 è facile, molto
facile… Il 4 è facile… il 5 di più… Lo 0 sarebbe comodo, ma non ti viene in mente di
buttarlo… a me è venuto un sacco di volte… se butti lo 0 una volta, poi ti viene
sempre… anche con gli altri numeri viene da buttare sempre lo stesso … L’1 non viene
mai a me… è difficile l’ 1!
Danilo- Secondo me, sono più libero nella morra perché posso decidere, anche se
qualche volta mi viene giù un altro numero, ma nei dadi non posso mai decidere io.
Anna- Il 12 è venuto meno del 10, perché si può fare solo con una somma.
Giovanni- C’è differenza tra il 5 dei dadi e il 5 della morra.
Evandro- Secondo me il 10 nella morra sale perché quando buttiamo, ci viene da
buttare 5 e 5.
Pietro- Perché tu quando fai 5 apri tutta la mano.
Simone- Non mi va mica tanto bene, perché quando tiri puoi fare un altro numero…
Ada- Io dico che il10 è venuto di più perché nei dadi non decidiamo noi il numero, non
guardiamo mica nel bicchiere, non siamo mica Mago Merlino!
Ins.- Quali sono i numeri che nella morra vengono buttati meno spesso?
Evandro- Secondo me sono il 2, l’ 1, l’ 11 e il 12.
Molti- Con una mano l’ 11 e il 12 ?!?
Evandro- Come somma!!! Il 2 è difficile, e anche l’ 1 perché se vai a velocità forte devi
chiudere 4 dita e lasciare 1.
Roberto- A me un numero che viene facile è il… l’ 1, il 4 e il 5 mi vengono bene, sono
il 2 e il 3 che mi vengono abbastanza male… il 3 un po’ meglio, ma il 2 proprio no.
Michela- Se il 12 è uscito poche volte è perché qualcuno può aver barato…
Molti- Ma come fa a aver barato!!!
Nada- Io non sono d’accordo con Michela, perché come facciamo a barare se noi
agitiamo il bicchiere e poi lanciamo i dadi?
Emanuele- Ma ora il 7 è in testa, ma potrebbe anche perdere.
Ins.- Può essere, secondo voi, che pur avendo più probabilità un numero qualche volta
non vinca?
Giulia- E’ possibile che un numero possa in 100 tiri uscire poche volte, lo dice anche la
parola “probabilità”, probabile vuol dire che non è sicuro che esca sempre solo quello
o che esca più volte sempre. Però se per giocare dobbiamo scegliere tra uno e l’altro,
sarebbe meglio scegliere questo più probabile.
Marco Q.- E’ possibile, perché non sempre i numeri più probabili vincono.
Pietro- Io son d’accordo con Emanuele, che il 7 ora è in testa, ma un’altra volta
potrebbe succedere che il 5 o il 6 o l’ 8… vincano.

Giovanni- E’ possibile che il 7 rimanga indietro, infatti all’inizio del gioco le altre
colonnine lo superavano molto spesso, però poi se vai avanti recupera. E son
d’accordo con Giulia che “probabile” è incerto, non è sicuro.
Jessika- Per me anche se adesso il 7 è più alto di tutti, potrebbe rimanere più basso e
il 2 superare tutti.
Mattia- Ma noooo!!!
Ins.- Mattia, mi dici quale evento tu considereresti raro?
Mattia- Che vinca il 2, perché ha troppo pochi modi!
Anna- Il 7, secondo me, può rimanere un po’ indietro, ma non su 100 giri perdere
proprio.
Ada- Anch’ io come Giovanni dico che il 7 può rimanere indietro.
Roberto- Dipende da come escono i dadi…
Michael- Va beh, ma è difficile che il 2 diventi primo, perché dovrebbe uscire sempre
1, 1, 1 … però dipende dalla sorte.
Giulia e Mattia- Dipende dalle probabilità.
Simone- dalla fortuna.
Michela- Da come agiti il bicchiere.
Evandro- Come escono i dadi.
Elisa- E’ un caso che esca un numero o l’altro.
Ins.- Avete usato tre parole che vi rilancio perché vorrei sapere se per voi hanno lo
stesso significato o significati diversi: fortuna, sorte, caso.
Il tempo è finito, perciò raccolgo rapidamente le risposte senza motivazioni:
solo per Nada e Alessandro le tre parole hanno significati diversi, per tutti gli altri
vogliono dire la stessa cosa.