Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura - ArchiMeDes

Caratteristiche dinamiche degli
strumenti di misura
Modello matematico di un sistema di
misura
IN SITEMA DI
MISURA
OUT
q i (t) q o (t)
• q i (t) e q o (t) sono rispettivamente segnale di ingresso e di uscita
per lo strumento (sistema di misura) in esame: si tratta di
grandezze tempovarianti (ovvero funzioni del tempo).
• Se il sistema considerato è lineare e stazionario allora esso è
descrivibile da un sistema di equazioni differenziali lineari
ordinarie a coefficienti costanti non omogenee; la soluzione di
tale sistema è ottenibile come soluzione di un’unica equazione
differenziale ordinaria a coefficienti costanti in una sola funzione
incognita di ordine n (=somma di tutti gli ordini delle equazioni
componenti il sistema).
Caratteristiche dinamiche 2

• Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti
costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del
sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e
uscite (q i e q o ).
d q d q d q d q
d q d q d q d q
dt dt dt
dt
dt dt dt
dt
• Nota la funzione qi (t), è possibile, risolvendo l’equazione,
ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita
qo (t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema,
ovvero i coefficienti ai .
n
n−1
n−2
n
m
m−1
m−2
m
an o + a n n−1
o + a n−1
n−2
o + ... + a
n−2
1
o + a q
n 0 o = bm
i + b m m−1
i + b m−1
m−2
i + ... + b
m−2
1
i + b q
m 0 i
• La soluzione è del tipo
q = q + q
o
og
- qog ⇒ integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema
- qop ⇒ integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di
un dato ingresso (evoluzione forzata)
Caratteristiche dinamiche 3
• Integrale generale:
Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata…
Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici λ i
dell’equazione.
1 - Radici reali distinte
n
a D + a
n−1
Per ogni radice λ i che assume valore α i si considera un termine
n−1
2 - Radici reali con molteplicità r
n
D
+ a
n−2
Per ogni radice reale λ i che assume valore α i con molteplicità r si considera una
serie di termini del tipo:
o
D
Caratteristiche dinamiche 4
op
n−2
2
( C + C t + C t + ... + C
1
2
+
... + a1D
+ a0
t
r−2
r−
2
+ C
t
= 0
r−1
r−1
) ⋅e
C e
α
i
αit
it

3 - Radici complesse coniugate
Per ogni radice λ i che assume valore α i ± jω i si considera un termine del tipo:
che equivale a:
αit
[ C ω t)
+ C cos( ω t)
] ⋅e
1 sin( i 2
C sin( ω t + ϕ ) ⋅e
4 - Radici complesse coniugate con molteplicità r
i
i
Per ogni radice λ i che assume valore α i ± jω i con molteplicità r si considera un
termine del tipo:
r−1
αit
[ C ω t ϕ ) + C t sin( ω t + ϕ ) + ... + C t sin( ω t + ϕ ) ] ⋅e
0 sin( i + 1 1 i 2
r−
1
i r−1
Caratteristiche dinamiche 5
• Integrale particolare:
Si può ottenere mediante il metodo dei coefficienti indeterminati. Si ipotizza
una funzione in cui compaiono un numero adeguato di coefficienti incogniti.
Sostituendo tale funzione in qo nell’equazione differenziale di partenza si
ricavano i valori da attribuire a tali coefficienti.
In particolare, se al secondo membro dell’equazione differenziale di partenza,
vi è una funzione F(t),
- se F(t) è una funzione polinomiale di grado n di t, qp (t) è un polinomio di
grado n+r, dove r è la molteplicità della soluzione λ=0 nell’omogenea
associata.
- se F(t) è una funzione armonica del tipo A'sin(
kx)
:
qp (t) è del tipo A cos( kt)
+ Bsen(
kt)
se ±ik non è soluz. dell’omogenea
associata
r
qp (t) è del tipo [ Acos( kt)
+ Bsen(
kt)
] ⋅t
se ±ik è soluz. di
molteplicità r dell’omogenea associata
Caratteristiche dinamiche 6
i
i
αit

Nota: il metodo dei coefficienti indeterminati si può impiegare per la soluzione
dell’integrale particolare se sono rispettate due condizioni:
- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, tutte le
derivate successive sono nulle; (es. polinomi)
- F(t) è una funzione tale che, dopo un certo ordine di derivazione, le derivate
successive producono sempre le stesse forme funzionali; (es. seno e coseno)
♦ ♦ ♦
• I coefficienti C i che compaiono nell’espressione di q o (t) ricavata
come somma di integrale generale ed integrale particolare (che
provengono dall’individuazione dell’integrale generale) vengono
determinati imponendo le condizioni iniziali.
Caratteristiche dinamiche 7
Funzione di trasferimento
• L’equazione differenziale di partenza (descrittiva delle
proprietà dinamiche del sistema di misura) può essere trasformata
in un’equazione algebrica, se ogni termine di derivazione viene
sostituito con l’operatore D.
n
d n
→ D n
dt
n
n−1
n−2
m
m−1
m−2
( anD + an
D + an
D + ... + a D + a ) ⋅qo
= ( bmD
+ bm
D + bm
D + ... + b D + b ) ⋅ qi
−1 −2
1 0
−1
−2
1 0
q
b D
+ b
+ b
m
m−1
m−2
o H ( D)
= ( D)
=
qi
m m−1
m−2
n
n−1
n−2
anD
+ an−1D
+ an−2D
D
+ ... + b1D
+ b
+ ... + a D + a
Caratteristiche dinamiche 8
D
1
0
0

• H(ω) è la funzione di trasferimento del sistema di misura e
dipende dall’operatore D!!! Può essere ottenuta analogamente
applicando la trasformata di Laplace all’equazione differenziale
di partenza: in tal caso l’operatore D è sostituito dalla variabile s.
I due modi di operare sono del tutto equivalenti.
• Dalla definizione di H(D) consegue
qo i
( D)
= H ( D)
⋅q
( D)
Se un sistema di misura è costituito da un insieme di elementi interconnessi a
formare uno schema a blocchi; la funzione di trasferimento complessiva può
essere ottenuta come prodotto delle singole funzioni di trasferimento (se
l’effetto di carico dei blocchi successivi sui precedenti può essere trascurato).
q H1 (D) H2 (D) H3 (D)
i (D) qo (D)
q H(D)= H1 (D) ·H2 (D) ·H3 (D)
i (D) qo (D)
Caratteristiche dinamiche 9
Funzione di trasferimento armonica:
risposta in frequenza
• In molte applicazioni è importante conoscere la risposta a
regime di un sistema (di misura) ad un ingresso di tipo
sinusoidale.
• Se il sistema è lineare e stazionario, a regime, l’uscita q o (t) del
sistema è ancora un segnale sinusoidale avente la stessa
frequenza ω del segnale in ingresso q i (t). In generale l’ampiezza
dell’output differisce da quella dell’input; inoltre i due segnali
hanno fasi differenti. Il rapporto in termini di ampiezze fra i
segnali (amplificazione dinamica) e lo sfasamento variano al
variare della frequenza ω del segnale di ingresso.
• La risposta in frequenza di un sistema (di misura) consiste
nell’indicazione di come l’amplificazione e lo sfasamento
variano al variare di ω.
Caratteristiche dinamiche 10

Ao/Ai
K
φ
• Esempio qualitativo
ϖ
ϖ
Amplificazione in ampiezza
Frequenza ω
Amplificazione in ampiezza
Frequenza ω
Segnali nel tempo
Caratteristiche dinamiche 11
Segnali [u.m.]
Frequenza: ϖ
q ( t)
= A ⋅ sen(
ϖ ⋅t)
i
Tempo [s]
q ( t)
= K ⋅ A ⋅ sen(
ϖ ⋅t
+ φ )
o
i
K: amplificazione in ampiezza
φ: sfasamento
• La risposta in frequenza può essere ottenuta, ad ogni frequenza
considerata ϖ, attraverso l’applicazione del metodo dei
coefficienti indeterminati per il calcolo dell’integrale particolare
dell’equazione differenziale caratteristica del sistema.
• Tuttavia si può più rapidamente procedere attraverso la
determinazione della funzione di trasferimento armonica (o
sinusoidale), che coincide con la risposta in frequenza. Si ottiene
dalla funzione di trasferimento sostituendo a D il termine
complesso iω.
q
b ( iω)
+ b
( iω)
+ b
( iω)
m
m−1
m−2
o H ( iω)
= ( iω)
=
qi
m
m−1
m−2
n
n−1
n−2
an
( iω)
+ an−1(
iω)
+ an−2
( iω)
• i è l’unità immaginaria
• ω è la frequenza espressa in rad/s
Caratteristiche dinamiche 12
i
+ ... + b1(
iω)
+ b
+ ... + a ( iω)
+ a
1
0
0
qi qo

• La funzione di trasferimento armonica in corrispondenza di
ogni frequenza è data da un numero complesso il cui modulo
coincide con il rapporto di amplificazione in ampiezza e la cui
fase coincide con lo sfasamento con cui il segnale qo è in anticipo
sul segnale qi .
Ao
H ( iω)
=
Ai
∠H
( iω)
= φ
Avendo considerato le seguenti espressioni per i segnali:
q ( t)
= A ⋅ sen(
ω ⋅t)
i
q ( t)
= A ⋅ sen(
ω ⋅t
+ φ)
o
i
o
Quanto sopra è facilmente dimostrabile mediante l’uso dei fasori,
ovvero di una tecnica rappresentativa dei segnali armonici basata
sull’impiego dei numeri complessi.
Caratteristiche dinamiche 13
• Fasori:
Si tratta di vettori rotanti nel piano complesso.
Data una funzione sinusoidale del tipo:
questa è rappresentata dal fasore:
~ ( ω⋅t
+ ϕ )
Q = A⋅
e
q(
t)
= A⋅
sen(
ω ⋅t
+ ϕ)
= A⋅
[ cos( ω ⋅t
+ ϕ)
+ i ⋅ sen(
ω ⋅t
+ ϕ)
]
Nel piano complesso i fasori sono vettori aventi modulo pari all’ampiezza
della sinusoide di riferimento A, punto di applicazione nell’origine degli assi, e
rotanti con velocità angolare ω a partire da un angolo iniziale formato con
l’asse dei reali Re pari a ϕ.
Im
A ωt
Caratteristiche dinamiche 14
ϕ
Re

• Dimostrazione:
Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo
strumento (o sistema) di misura considerato:
qi
( t)
= Ai
⋅ sen(
ω ⋅t)
q ( t)
= A ⋅ sen(
ω ⋅t
+ φ)
o
o
essi sono rappresentabili da due fasori:
~
iωt
qi
( t)
→ Qi
= Ai
⋅e
~
i(
ωt+
φ )
q ( t)
→ Q = A ⋅e
o
o
o
Si può procedere alla sostituzione di q i (t) e q o (t) nell’equazione caratteristica
del sistema di misura rispettivamente con Q i e Q o . L’operazione di derivazione
rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (iω).
n
a ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
n
m
o
i
i(
ωt+
φ )
m
= b ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i(
ωt)
+ a
+ b
n−1
m−1
⋅(
iω)
⋅(
iω)
n−1
m−1
⋅ A ⋅e
o
⋅ A ⋅e
i
i(
ωt+
φ )
i(
ωt)
+ ... + a ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i(
ωt)
Caratteristiche dinamiche 15
Raccogliendo...
da cui si ottiene:
A
A
1
1
+ ... + b ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i
o
+ ao
⋅ Ao
⋅e
i(
ωt
)
+ b ⋅ A ⋅e
i(
ωt+
φ )
n
n−1
i(
ωt+
φ)
[ an
⋅(
iω)
+ an−1
⋅(
iω)
+ ... + a1
⋅(
iω)
+ ao
] ⋅ Ao
⋅e
m
m−1
i(
ωt)
= [ b ⋅(
iω)
+ b ⋅(
iω)
+ ... + b ⋅(
iω)
+ b ] ⋅ A ⋅e
m
bm
( iω)
+ b
=
a ( iω)
m−1
o
i
i(
ωt+
φ )
Caratteristiche dinamiche 16
1
o
e ⋅e
i(
ωt) iφ
m−1
m−2
1( iω)
+ bm−2
( iω)
+ ... + b1(
iω)
+ b0
qo
( D)
n−1
n 2
( iω)
+ a ( iω)
+ ... + a ( iω)
+ a q
o iφ
⋅e i
n
m
m−
n
+ an−1
n−2
−
1
0
=
espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento
armonica. Tale espressione coincide con il rapporto qo /qi (iω), che si può
calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero
complesso H(iω) tale che:
Ao
H ( iω)
=
Ai
∠H
( iω)
= φ
C.v.d.
i
=
i
iω
=

Prontezza
• Scopo di uno strumento di misura è consentire di effettuare una
misurazione; nel caso di segnali tempovarianti, ciò equivale a
dire che lo strumento deve fornire in uscita una ricostruzione
fedele del segnale misurato. Infatti se il segnale in uscita è
distorto è possibile che non si riesca a risalire al misurando e
quindi non si possa assegnare una misura.
• La caratteristica degli strumenti che sono in grado di fornire
un’indicazione fedele relativa a segnali tempovarianti oggetto
della misurazione è detta prontezza (→banda passante).
• Di seguito verranno mostrati alcuni casi particolari di strumenti
e di segnali possibili di input e si discuterà relativamente a quali
valori devono assumere i parametri descrittivi del comportamento
dinamico degli strumenti affinché essi siano pronti.
Caratteristiche dinamiche 17
Strumento di ordine zero
Per strumento di ordine zero si intende uno strumento che dal
punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente
equazione (algebrica!).
q = b q
a0 o 0
b0
q o = qi
= Kqi
a
0
Dove K è un parametro caratteristico del sistema, detto
sensibilità statica (si determina dalla prova di taratura statica!).
Lo strumento di ordine zero è teoricamente perfetto, in quanto il
segnale di uscita, a meno di una costante moltiplicativa riproduce
fedelmente il segnale in ingresso.
(es. potenziometro resistivo)
Caratteristiche dinamiche 18
i

Strumento del primo ordine
Per strumento del primo ordine si intende uno strumento che dal
punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del primo
ordine.
dqo
a1 + a0qo
= b0qi
dt
Dividendo entrambi i membri per a 0 ...
Dove:
b
K =
a
τ =
a
a
0
1
0
a
a
dq
1 o 0 + qo
= qi
0 dt a0
0
Caratteristiche dinamiche 19
o
b
Kq q D = + ⋅ ) 1 (τ
sensibilità statica
costante di tempo
• La costante di tempo ha la dimensione di un tempo, mentre la
sensibilità statica ha la dimensione data dal rapporto delle
dimensioni di output e input.
• Per quanto visto la funzione di trasferimento del sistema è data
da:
(es. termometro ad espansione di liquido)
qo
1
( D)
=
q τ ⋅ D + 1
i
Caratteristiche dinamiche 20
i

Strumento del primo ordine: risposta al gradino
Il gradino è una particolare funzione del tempo, data dalla
seguente espressione in termini di segnale d’ingresso in un
sistema di misura q i (t):
⎧ 0
qi
( t)
= ⎨
⎩qis
qi qis t ≤ t
t > t
t
t0 Consideriamo gradini per cui t0 = 0. Per calcolare la risposta di un
sistema del primo ordine si deve risolvere la seguente equazione
differenziale (q i = q is ).
(τ ⋅ D + 1)
q = Kq
Caratteristiche dinamiche 21
A tale equazione differenziale è associata la condizione iniziale
qo (0) = 0, dovuta al particolare ingresso.
• L’integrale generale è dato dall’espressione: qog
( t)
= C ⋅e
• L’integrale particolare è dato da: qop ( t)
= K ⋅ qis
t
−
• Quindi:
τ
qo ( t)
= C ⋅e
+ K ⋅ qis
• C va determinata imponendo la condizione iniziale in t = 0:
• quindi C = −K
⋅ qis
• dunque la risposta risulta:
q ( 0)
= 0 = C + K ⋅ q
• e può essere scritta in maniera adimensionalizzata come:
o
q ( t)
= Kq ( 1−
e
o
Caratteristiche dinamiche 22
is
o
qo
= ( 1−
e
Kq
is
0
0
t
−
τ
t
−
τ
)
)
is
is
t
−
τ
Risposta al gradino di uno strumento
del 1° ordine

1
0.8
0.6
0.4
0.2
qo/(Kqis)
Strumento del 1° ordine: Risposta al gradino
t/τ
0
0 1 2 3 4 5 6 7
t/τ q o/(Kq is)
0 0.0000
1 0.6321
2 0.8647
3 0.9502
4 0.9817
inf. 1.0000
Si può definire l’errore di misura (scostamento tra la quantità in
uscita e quella effettiva all’ingresso nell’istante t):
e
t
q
−
o
τ
m = qi
− = qis
− qis
⋅(
1−
e )
K
= q
t
−
τ
ise
Caratteristiche dinamiche 23
1
em/qis
0.8
0.6
0.4
0.2
Strumento del 1° ordine: errore di misura
0
t/τ
0 1 2 3 4 5 6 7
Si definisce settling time il tempo necessario al sistema di misura
affinché il segnale q o raggiunga, entro una certa banda di
tolleranza il valore di regime (q is ). Assunta una tolleranza del 5%
tale valore di tempo è pari a 3 volte la costante di tempo τ.
Per quanto visto è chiaro che quanto più la costante di tempo τ è
piccola, tanto più la risposta dello strumento sarà rapida, ovvero
l’errore di misura tenderà a zero tanto più rapidamente. Affinché
lo strumento sia pronto dunque τ deve essere piccolo.
(es. termometro ad espansione di liquido)
Caratteristiche dinamiche 24

Strumento del primo ordine: risposta in frequenza
L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento
del primo ordine può essere impiegata per ricavare l’espressione
della risposta in frequenza dello stesso.
qo
qo
K
H ( D)
= ( D)
= H ( iω)
= ( iω)
=
q
q iωτ
+ 1
i
Si tratta di un numero complesso funzione della frequenza ω,
dipendente dai parametri del sistema di misura: K e τ. Modulo e
fase sono dati dalle seguenti espressioni.
K
H ( iω)
=
2
1+
( ωτ )
∠H
( iω)
= −arc
tan( ωτ )
Caratteristiche dinamiche 25
La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma
adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).
1
0.8
0.6
0.4
0.2
|qo/(Kqi)|
Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (modulo)
0
ωτ
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Caratteristiche dinamiche 26
i

La fase ha il seguente andamento...
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
Strumento del 1° ordine: Risposta in frequenza (fase)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ωτ
0
φ[°]
Caratteristiche dinamiche 27
Considerando le espressioni dei segnali rispettivamente di
ingresso ed uscita q i (t) e q o (t), come
si ha:
q ( t)
= A ⋅ sin(
ω ⋅t
)
i
q ( t)
= A ⋅ sin(
ω ⋅ t + φ)
o
i
o
Ao
K
= H ( iω)
=
A
2
i
1+
( ωτ )
φ = ∠H
( iω)
= −arc
tan( ωτ )
Affinché lo strumento sia pronto, il suo comportamento deve
essere il più possibile prossimo a quello di uno strumento di
ordine zero e dunque si dovrebbe avere:
Ao
= H ( iω)
= 1
KAi
φ = ∠H
( iω)
= 0
Caratteristiche dinamiche 28

Si osserva che tali condizioni si verificano per
τ → 0
Infatti in tale condizione per qualunque valore di frequenza ω le
condizioni considerate tenderebbero ad essere verificate!
È dunque verificato, anche per la risposta in frequenza, quanto
osservato nel caso della risposta al gradino (si può verificare
anche per la risposta alla rampa): strumenti del primo ordine sono
pronti per τ piccoli.
Quanto detto non ha valore se si considera un input costituito da
una sinusoide semplice, in quanto in tal caso è sufficiente
ricavare mediante calcolo lo sfasamento e l’amplificazione per
correggere il segnale in uscita ottenendo una misura adeguata. Il
problema nasce se il segnale contiene più armoniche. Si veda il
seguente esempio…
Caratteristiche dinamiche 29
Si consideri il caso
q i
( t)
= 1⋅
sen( 20t)
+ 1⋅
sen( 200t)
Il segnale è formato da due armoniche, una a 20 rad/s ed una a 200 rad/s.
Supponendo il sistema lineare e stazionario, si può applicare il principio di
sovrapposizione degli effetti: la risposta al segnale completo è la somma delle
risposte alle singole armoniche. Si consideri un sistema di misura avente K = 1
e si valuti il segnale in uscita per due differenti valori di τ: τ = 0.02 e τ = 0.002.
Eseguendo dei calcoli relativi alla risposta in frequenza nei due casi si ottiene
quanto esposto nella tabella sotto riportata.
ω1 20 rad/s amp1 1
ω2 200 rad/s amp2 1
τ 0.02
m1 0.928477 φ1 -0.380506 rad
m2 0.242536 φ2 -1.325818 rad
τ 0.002
m1 0.999201 φ1 -0.039979 rad
m2 0.928477 φ2 -0.380506 rad
Caratteristiche dinamiche 30

2.5
2
1.5
1
0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
Distorsione del segnale: risposta in frequenza (primo ordine)
0
[s]
0
-0.5
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
Segnale [u.m.]
Caratteristiche dinamiche 31
qi
qo (tau=0.02)
qo (tau=0.002)
Si osserva che il segnale ottenuto in uscita nel caso di τ = 0.02 non è riconducibile
al segnale di ingresso; il segnale ottenuto nel caso nel caso τ = 0.002 è molto
prossimo al segnale di ingresso misurato. Riducendo ulteriormente il τ il segnale in
uscita tende ad approssimare ancor meglio quello misurato.
Strumento del primo ordine: risposta all’impulso
Si definisce funzione impulso di durata finita di ampiezza A la
seguente funzione del tempo:
⎧ ≤
⎪ A
= ⎨ < t ≤ T
⎪T
⎩ t > T
t 0 0
p(
t)
0
0
p
A/T
0 T
Si definisce funzione impulso di ampiezza A:
A ⋅δ ( t)
= lim p(
t)
T →0
Nel caso di A = 1, con il passaggio al limite, si ricava l’impulso
unitario δ(t).
Caratteristiche dinamiche 32
t

La funzione impulso unitario ha durata infinitesima e ampiezza
infinita.
Per ricavare la risposta dello strumento ad una funzione impulso
di ampiezza A del tipo A⋅ δ(t), si procede ricavando la risposta
per una funzione impulso di durata T e poi si attua il passaggio al
limite per T→0.
Tra 0 e T il sistema di misura è sottoposto ad un ingresso a
gradino; da T in poi sarà soggetto ad evoluzione libera (la
funzione di ingresso va a zero) a partire dalle condizioni
raggiunte in T. Dunque la soluzione è ottenuta in due passaggi.
1 - Si deve valutare la risposta al gradino secondo l’equazione differenziale:
A
(τ ⋅ D + 1)
qo
= Kqis
= K ⋅
T
Caratteristiche dinamiche 33
si ricava la seguente risposta:
KA
qo
( t)
= ⋅ ( 1−
e
T
tale risposta è da considerarsi tra t = 0 e t = T, istante in cui l’ingresso va a
zero. Da t = T in poi il sistema subirà un’evoluzione libera a partire dalla
condizione raggiunta in T, che è determinabile attraverso l’espressione di qo ora ricavata, dunque:
T
KA −
τ
qo
( T ) = ⋅ ( 1−
e )
T
Caratteristiche dinamiche 34
t
−
τ
)
0 < t ≤ T
2 - L’evoluzione libera del sistema a partire da t = T si determina calcolando
l’integrale generale con la condizione iniziale appena determinata. L’integrale
generale assume la seguente espressione:
dunque:
o
q ( T ) =
C ⋅ e
o
t
−
τ
q ( t)
= C ⋅ e
t > T
T
−
τ
KA
= ⋅ ( 1−
e
T
T
−
τ
)

si ricava:
dunque:
KA(
1−
e
C =
Te
KA(
1−
qo
( t)
=
Te
Caratteristiche dinamiche 35
T
−
τ
T
−
τ
T
−
τ e
T
−
τ
)
)
⋅ e
Che, unitamente all’espressione ricavata per l’intervallo [0,T], costituisce
l’espressione della risposta all’impulso finito di ampiezza A.
segnale [u.m.]
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
Risposta all'impulso di durata finita
t
−
τ
0.2
0
tempo [s]
0 1 2 3 4 5 6
qin
qout
K 1.2
tau 0.7 [s]
A 3 [u.m.]
T 2 [s]
C 29.54107 [u.m.]
La risposta all’impulso A⋅δ(t) si ottiene dal passaggio al limite
dell’espressione ricavata per T → 0.
ma
KA(
1−
e
qo
( t)
= lim
T →0
T
−
τ Te
Dunque si ricava:
KA
qo
( t)
= ⋅ e
τ
t
−
τ
T
−
τ
)
⋅ e
t
−
τ
= KA ⋅ e
T
−
t
−
τ
)
= KA ⋅ e
Caratteristiche dinamiche 36
T
−
τ
T
−
τ
( 1−
e
⋅ lim
T →0
Te
T
−
τ τ
( 1−
e ) ( 1/
τ ) ⋅ e 1
lim = lim =
T →0
T T →0
1 τ
1
0.8
0.6
0.4
0.2
(τqo/KA)
t
−
τ
T
−
τ
( 1−
e
⋅ lim
T →0
T
Teorema di L’Hopital
Risposta all'impulso
0
t/τ
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
)

La funzione impulso considerata è tale per cui, in corrispondenza di t = 0, si
verifica un trasferimento di energia infinito: infatti, il segnale passa da valore
nullo ad un valore infinito per poi ritornare a valore nullo; ciò accade in un
intervallo di tempo infinitesimo. È chiaro che tale segnale non può esistere in
natura e, dunque, che la risposta trovata è relativa ad un impulso ideale.
Tuttavia se T è sensibilmente inferiore a τ (di solito si considera almeno un
ordine di grandezza) quella trovata è una buona approssimazione della risposta
al segnale reale di durata piccola ma finita.
La risposta all’impulso non dipende dalla particolare “forma” dell’impulso
considerato, ma solo dalla sua ampiezza A (sempre nell’ipotesi che la durata T
sia breve).
La risposta all’impulso coincide con l’evoluzione libera del sistema a partire
da una condizione perturbata per cui qo = KA/τ in t= 0 + .
Caratteristiche dinamiche 37
Strumento del secondo ordine
Per strumento di secondo ordine si intende uno strumento che dal
punto di vista dinamico possa essere descritto dalla seguente
equazione differenziale lineare a coefficienti costanti del secondo
ordine.
2
d qo
dqo
a2 + a1
+ a0qo
= b0q
2
i
dt dt
Dividendo entrambi i membri per a0 ...
a
a
d q a dq
Si definiscono termini:
n
a0
a2
= ω
Frequenza naturale (propria)
ς =
2
a1
a ⋅ a
Fattore di smorzamento
0
2
2
0
2
o 1 + 2
dt a0
o
0 + qo
= qi
dt a0
Caratteristiche dinamiche 38
b
b
a
0 K = Sensibilità statica
0

In base alle definizioni date si ricava:
(es. dinamometro a molla)
2 ⎛ D 2ςD
⎞
⎜ + + 1 ⎟
⎟q
2
⎝ ωn
ωn
⎠
n
Caratteristiche dinamiche 39
o
= Kq
qo
K
( D)
= 2
qi
D 2ςD
+ + 1
2
ω ω
Strumento del secondo ordine: risposta al gradino
Dato un gradino di ampiezza q is , al fine di ricavare la risposta
dello strumento del secondo ordine a tale input, si procede alla
risoluzione della seguente equazione:
2 ⎛ D 2ςD
⎞
⎜ + + 1 ⎟
⎟q
2
⎝ ωn
ωn
⎠
con le seguenti condizioni iniziali
Caratteristiche dinamiche 40
o
n
= Kq
+
qo
= 0 t = 0
dqo
+
= 0 t = 0
dt
L’integrale particolare è qop =Kqis . L’integrale generale dipende
dal valore assunto da ζ: si hanno tre diverse soluzioni: sistema
sovrasmorzato (ζ>1), sistema con smorzamento critico (ζ=1),
sistema sottosmorzato (ζ

Osservazioni:
2
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
qo/(Kqis)
Strumento del 2° ordine: Risposta al gradino
ξ = 0.1
ξ = 0.2
ξ = 0.8
ξ = 0.4
ξ = 0.6
ξ = 1
ξ = 1.5
0.2
0
ωnt
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Risposta ad un
gradino
unitario; q o
tende a 1
all’aumentare
di t.
• All’aumentare di ωn la risposta dello strumento risulta essere più rapida.
• All’aumentare di ζ si riduce il comportamento oscillante ma viene ritardato
l’istante di tempo nel quale la risposta interseca la retta orizzontale indicativa del
valore finale che essa raggiungerà.
Caratteristiche dinamiche 41
• Per valutare il settling time, scegliendo una tolleranza del 10%
si osserva che il valore di ottimo relativamente alla rapidità di
risposta dello strumento si ha per ζ = 0.6. Scegliendo il 5% si
ottiene che il valore ottimale è ζ = 0.7.
• Tuttavia nella trattazione è stato considerato un gradino ideale
(in zero c’è un trasferimento infinito di energia → discontinuità)
e dunque la risposta prevista per via teorica non è esattamente
quella ottenibile nella realtà. Tenendo conto di questo aspetto si
osserva che buoni valori di compresso per ζ sono 0.6÷0.7.
Caratteristiche dinamiche 42

Strumento del secondo ordine: risposta in frequenza
L’espressione della funzione di trasferimento per lo strumento
del secondo ordine può essere impiegata per ricavare
l’espressione della risposta in frequenza dello stesso.
qo
K
H ( iω)
= ( iω)
=
2
qi
⎛ ω ⎞ 2iως
⎜
⎜1−
+ 2
ω ⎟
⎝ n ⎠ ωn
Si tratta di un numero complesso avente i seguenti modulo e fase:
K
H ( iω)
=
2
2 ⎛ ω ⎞ ⎛ 2ςω
⎞
⎜
⎜1−
ω ⎟ +
⎜
n ω ⎟
2
⎝ ⎠ ⎝ n ⎠
2ς
∠H
( iω)
= arc tan
ω ωn
−
ω ω
Caratteristiche dinamiche 43
La risposta in frequenza può essere diagrammata in forma
adimensionalizzata (per quanto concerne il modulo).
6
5
4
3
2
1
qo/(Kqi)
Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (modulo)
ξ = 0.1
ξ = 0.2
ξ = 0.4
ξ = 0.6
ξ = 0
0
ξ = 1.5
ω/ωn
0 1 2 3 4 5
Caratteristiche dinamiche 44
n
2

La fase ha il seguente andamento...
0
-10
-20
-30
-40
-50
-60
-70
-80
-90
-100
-110
-120
-130
-140
-150
-160
-170
-180
Strumento del 2° ordine: Risposta in frequenza (fase)
0 1 2 3 4 5
ω/ωn
φ[°]
ξ = 0.1
ξ = 0
ξ = 1.5
Caratteristiche dinamiche 45
• Affinché lo strumento del secondo ordine sia pronto è
necessario che le frequenze del segnale d’ingresso cadano nella
zona ω/ω n

• Esempio:
Si consideri un segnale d’ingresso costituito da due armoniche, avente la
seguente espressione:
qi ( i1
1 i2
2
t)
= A ⋅ sen(
ω ⋅t)
+ A ⋅ sen(
ω ⋅t)
ω1 31.41593 [rad/s] 3 [Hz]
ω2 188.4956 [rad/s] 30 [Hz]
A1 5 [u.m.]
A2 3 [u.m.]
Si consideri uno strumento del secondo ordine con sensibilità statica K=1, e
frequenza propria ωn = 65 Hz = 408.407 rad/s.
Vengono considerati due casi (a e b) per il fattore di smorzamento ζ: ζa = 2 e
ζb = 0.65. Attraverso l’espressione della risposta in frequenza si possono
ricavare i valori di amplificazione e sfasamento introdotti dal sistema nei due
casi (a e b) sulle due armoniche del segnale (1 e 2).
Ma1 0.96097 fasea1 -0.3001712 [rad] -17.1985 [°]
Ma2 0.49828 fasea2 -1.1678403 [rad] -66.9123 [°]
Mb1 1.00164 faseb1 -0.0925916 [rad] -5.30511 [°]
Mb2 1.03914 faseb2 -0.6132446 [rad] -35.1363 [°]
Caratteristiche dinamiche 47
10
8
6
4
-4
-6
-8
-10
Distorsioni del segnale: risposta in frequenza (2° ordine)
2
0
tempo [s]
0
-2
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
segnale [u.m.]
qi
qo_a
qo_b
Si osserva che il segnale q o ottenuto come output nel caso a è distorto rispetto
al segnale di ingresso. Nel caso b, invece tale segnale sembra essere solo
ritardato temporalmente rispetto al segnale in ingresso; ciò è dovuto al fatto che
nel caso b è stato scelto ζ b = 0.65, ciò che conduce ad ottenere uno sfasamento
proporzionale alla frequenza del segnale in ingresso (proporzionale all’ordine
dell’armonica considerata in ingresso). Tale situazione conduce sempre ad un
ritardo temporale di q o rispetto a q i e non alla distorsione del segnale...
Caratteristiche dinamiche 48

Si può dimostrare che se lo sfasamento introdotto dal sistema è
proporzionale all’ordine dell’armonica del segnale in ingresso,
allora l’uscita q o risulta semplicemente ritardata rispetto
all’ingresso q i …
• Si consideri un segnale armonico in ingresso; sviluppato in serie di Fourier esso
assume l’espressione seguente.
• Si avrà un’uscita corrispondente
A
qi ( t)
=
ψ
2
∑ ∞
0 + Ai
⋅ sen(
ωit
+ i )
i=
1
B
qo ( t)
=
φ
2
∑ ∞
0 + Bi
⋅ sen(
ωit
+ ψ i + i )
i=
1
• La serie potrebbe essere scritta in termini complessi, in tal caso possiamo calcolare,
per il principio di sovrapposizione degli effetti, per ogni armonica
qoi
H ( iωi
) = ( iωi
) = M i∠φi
qii
• Nell’ipotesi che lo sfasamento dia proporzionale all’ordine dell’armonica si ha:
φ = i ⋅τ
i
Caratteristiche dinamiche 49
• Si può scrivere:
B = M ⋅ A
i D
φi = i ⋅τ
D ⇒ = ⇒ φi
= ⋅τ
D = ωi
⋅τ
D
2⋅π
Ti
Ti
• Il segnale di uscita può essere scritto come segue:
i
i
i
φ
τ
• Ovvero, il segnale in uscita è ritardato di un tempo τ D rispetto all’ingresso, in quanto
su ogni armonica si ottiene tale ritardo.
• Nota:
Esistono alcune eccezioni a quanto detto relativamente ai sistemi del secondo
ordine… ad esempio gli accelerometri piezoelettrici. Questi elementi
presentano ampie bande passanti pur avendo bassissimi valori per ζ. Ciò
dipende dal fatto che in compenso ωn è molto elevata (→risposta alla rampa
terminata e risposta in frequenza: anche con ζ = 0 si ricava un errore di misura
nullo).
Caratteristiche dinamiche 50
D
2π
B
B
qo ( t)
=
ψ
2
∞
∞
0 0
+ ∑ Bi
⋅ sen(
ωit
+ ψ i + ωiτ
D ) = + ∑ Bi
⋅ sen[
ωi
( t −τ
D ) + i ]
i=
1
2 i=
1
Ritardo!

• In conclusione, uno strumento del secondo ordine è pronto
quando:
1
0.8
0.6
0.4
-0.4
-0.6
-0.8
-1
- la sua frequenza naturale è elevata (ω n ↑)
- lo sfasamento introdotto è nullo (ω n ↑) o proporzionale
all’ordine delle armoniche del segnale ricevuto in ingresso
(ζ = 0.6÷0.7).
Prontezza
0.2
[s]
0
0
-0.2
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5
Caratteristiche dinamiche 51
qi
qo
qo ritardato
Elementi di tempo morto
In tali condizioni il sistema di
misura riproduce fedelmente
il segnale in ingresso a meno
di un fattore di
amplificazione prossimo alla
sensibilità statica K ed
eventualmente con un ritardo
temporale.
È un elemento che introduce un ritardo temporale. A meno di un
fattore moltiplicativo pari alla sensibilità statica l’uscita q o
riproduce fedelmente l’ingresso q i con un ritardo temporale τ D .
H
φ
Strumento di tempo morto
q ωτ D
q
o −i
(
iω)
= K ⋅e
i
Frequenza
Caratteristiche dinamiche 52

Strumento generico
Uno strumento generico può essere considerato come dato dalla
successione di tanti sistemi di misura semplici quali quelli fino ad
ora considerati (ordine zero, primo ordine, secondo ordine, tempo
morto). La funzione di trasferimento armonica può essere dunque
scritta come segue.
2
2
n
ω 2ςω
ω 2ςω
−i
K ⋅(
iω)
⋅(
1+
τ1D)
⋅⋅⋅
( 1+
τ nD)
⋅⋅⋅
( + + 1)
⋅⋅⋅
( + + 1)
⋅e
2
2
qo
ωn1
ωn1
ωnm
ωnm
H ( iω)
= ( iω)
=
2
2
qi
ω 2ςω
ω 2ςω
( 1+
τ1D)
⋅⋅
⋅(
1+
τ N D)
⋅⋅⋅
( + + 1)
⋅⋅⋅
( + + 1)
2
2
ω ω ω ω
Caratteristiche dinamiche 53
n1
n1
nM
nM
ωτ D1
⋅⋅⋅
e
−iωτ
Dr
Tale funzione di trasferimento può essere facilmente tracciata su
opportuni diagrammi logaritmici (Diagrammi di Bode).
Strumento generico: risposta ad un ingresso periodico
Segnale d’ingresso
Funzione di
trasferimento armonica
q i (t)
Segnale d’uscita q o (t)
Trasformata
Fourier
Antitrasformata
Fourier
Q i (iω)
H(iω)
Q o (iω)
Caratteristiche dinamiche 54

Immagina tratta da: Doebelin, Measurement Systems - application and design, Mc-Graw Hill
In corrispondenza di ogni armonica, la
singola componente spettrale del
segnale in uscita è numero complesso
tale che:
• il proprio modulo è dato dal prodotto
fra il modulo della corrispondente
linea spettrale nel segnale d’ingresso e
il modulo della funzione di
trasferimento armonica in
corrispondenza della singola
frequenza considerata;
• la propria fase è la somma della fase
della corrispondente linea spettrale nel
segnale d’ingresso e la fase della
funzione di trasferimento armonica in
corrispondenza della singola
frequenza considerata.
Caratteristiche dinamiche 55
Bibliografia
• E.O. Doebelin, Measurement Systems - application and design
(p. 94-194)
Consultazione:
• F. Angrilli, Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi (p. 179-245)
Caratteristiche dinamiche 56