Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura - ArchiMeDes

• Tale equazione differenziale lineare ordinaria a coefficienti
costanti non omogenea di ordine n è un modello matematico del
sistema di misura e descrive la relazione esistente tra ingressi e
uscite (q i e q o ).
d q d q d q d q
d q d q d q d q
dt dt dt
dt
dt dt dt
dt
• Nota la funzione qi (t), è possibile, risolvendo l’equazione,
ricavare la funzione del tempo che descrive il segnale in uscita
qo (t). Devono essere noti i parametri caratteristici del sistema,
ovvero i coefficienti ai .
n
n−1
n−2
n
m
m−1
m−2
m
an o + a n n−1
o + a n−1
n−2
o + ... + a
n−2
1
o + a q
n 0 o = bm
i + b m m−1
i + b m−1
m−2
i + ... + b
m−2
1
i + b q
m 0 i
• La soluzione è del tipo
q = q + q
o
og
- qog ⇒ integrale generale: descrive l’evoluzione libera del sistema
- qop ⇒ integrale particolare: descrive l’evoluzione del sistema dovuta alla presenza di
un dato ingresso (evoluzione forzata)
Caratteristiche dinamiche 3
• Integrale generale:
Si ottiene dalla soluzione dell’equazione algebrica omogenea associata…
Si possono presentare 4 differenti casi, in base alla tipologia delle radici λ i
dell’equazione.
1 - Radici reali distinte
n
a D + a
n−1
Per ogni radice λ i che assume valore α i si considera un termine
n−1
2 - Radici reali con molteplicità r
n
D
+ a
n−2
Per ogni radice reale λ i che assume valore α i con molteplicità r si considera una
serie di termini del tipo:
o
D
Caratteristiche dinamiche 4
op
n−2
2
( C + C t + C t + ... + C
1
2
+
... + a1D
+ a0
t
r−2
r−
2
+ C
t
= 0
r−1
r−1
) ⋅e
C e
α
i
αit
it