Caratteristiche dinamiche degli strumenti di misura - ArchiMeDes

• Dimostrazione:
Si considerino i seguenti segnali rispettivamente di ingresso ed uscita per lo
strumento (o sistema) di misura considerato:
qi
( t)
= Ai
⋅ sen(
ω ⋅t)
q ( t)
= A ⋅ sen(
ω ⋅t
+ φ)
o
o
essi sono rappresentabili da due fasori:
~
iωt
qi
( t)
→ Qi
= Ai
⋅e
~
i(
ωt+
φ )
q ( t)
→ Q = A ⋅e
o
o
o
Si può procedere alla sostituzione di q i (t) e q o (t) nell’equazione caratteristica
del sistema di misura rispettivamente con Q i e Q o . L’operazione di derivazione
rispetto al tempo comporta una moltiplicazione del fasore per (iω).
n
a ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
n
m
o
i
i(
ωt+
φ )
m
= b ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i(
ωt)
+ a
+ b
n−1
m−1
⋅(
iω)
⋅(
iω)
n−1
m−1
⋅ A ⋅e
o
⋅ A ⋅e
i
i(
ωt+
φ )
i(
ωt)
+ ... + a ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i(
ωt)
Caratteristiche dinamiche 15
Raccogliendo...
da cui si ottiene:
A
A
1
1
+ ... + b ⋅(
iω)
⋅ A ⋅e
i
o
+ ao
⋅ Ao
⋅e
i(
ωt
)
+ b ⋅ A ⋅e
i(
ωt+
φ )
n
n−1
i(
ωt+
φ)
[ an
⋅(
iω)
+ an−1
⋅(
iω)
+ ... + a1
⋅(
iω)
+ ao
] ⋅ Ao
⋅e
m
m−1
i(
ωt)
= [ b ⋅(
iω)
+ b ⋅(
iω)
+ ... + b ⋅(
iω)
+ b ] ⋅ A ⋅e
m
bm
( iω)
+ b
=
a ( iω)
m−1
o
i
i(
ωt+
φ )
Caratteristiche dinamiche 16
1
o
e ⋅e
i(
ωt) iφ
m−1
m−2
1( iω)
+ bm−2
( iω)
+ ... + b1(
iω)
+ b0
qo
( D)
n−1
n 2
( iω)
+ a ( iω)
+ ... + a ( iω)
+ a q
o iφ
⋅e i
n
m
m−
n
+ an−1
n−2
−
1
0
=
espressione che coincide con la definizione data di funzione di trasferimento
armonica. Tale espressione coincide con il rapporto qo /qi (iω), che si può
calcolare dall’equazione differenziale caratteristica. Si tratta di un numero
complesso H(iω) tale che:
Ao
H ( iω)
=
Ai
∠H
( iω)
= φ
C.v.d.
i
=
i
iω
=