ç¬¬äº”ç« ï¼šé¢‘åŸŸåˆ†æžæ³• - 北京工业大学现代教育技术中心

自 动 控 制 原 理
第 五 章 : 频 域 分 析 法
教 师 : 乔 俊 飞 教 授
单
位 : 北 京 工 业 大 学 电 子 信 息 与 控 制 工 程 学 院
2012-3-13 Automatic Control Principle 1/54

第 五 章 : 频 域 分 析 法
教 学 重 点
◆ Bode 图 的 绘 制 、 频 率 稳 定 性 判 据 和 开 环 频 率 特 性
系 统 分 析 。
基 本 要 求
◆ 熟 练 掌 握 开 环 对 数 频 率 特 性 作 图 方 法 , 并 在 此 基
础 上 掌 握 控 制 系 统 的 频 率 分 析 方 法 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 2/54

引 言
控 制 系 统 的 性 能 通 过 时 域 性 能 指 标 来 衡 量 。 如 最
大 超 调 量 上 升 时 间 、 延 迟 时 间 、 调 节 时 间 等 。
高 阶 系 统 的 时 间 响 应 通 常 很 难 解 析 确 定 , 也 没 有
统 一 的 校 正 方 法 。 而 在 频 域 内 , 目 前 有 许 多 图 形 化 的
系 统 分 析 与 设 计 方 法 , 并 可 以 对 高 阶 系 统 进 行 校 正 。
如 Bode 图 、Nyquist 曲 线 等 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 3/54

引 言
频 域 分 析 方 法 更 加 方 便 分 析 系 统 的 动 态 性 能 与 稳
态 性 能 , 便 于 控 制 系 统 校 正 。
对 于 线 性 系 统 , 其 时 域 和 频 域 性 能 指 标 是 有 关 联
的 。 可 以 通 过 频 率 特 性 来 预 测 时 域 特 性 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 4/54

§5.1 频 率 特 性
5.1.1 基 本 概 念
线 性 定 常 系 统 传 递 函 数
G(
s)
C(
s)
b
s
+ b
m
m−1
m m−1
= =
n
n−1
R(
s)
s + an−
1s
s
+ +
b1s
+ b
+ +
a s + a
1
0
0
令 :
s =
jω
, 得 到 另 一 个 函 数
G ( jω)
= G(
s)
s=
jω
由 于 函 数 的 自 变 量 为 频 率 , 将 其 称 为 频 率
特 性 。
G( jω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 5/54
ω

§5.1 频 率 特 性
频 率 特 性 的 实 部 、 虚 部 表 示 :
G ( jω)
= P(
ω)
+ jQ(
ω)
式 中 : 实 部
、 虚 部
P ( ω)
= Re[ G(
jω)]
Q ( ω)
= Im[ G(
jω)]
频 率 特 性 的 幅 值 和 辐 角 表 示 :
G ( jω)
= G(
jω)
arg[ G(
jω)]
令 : , 为 的 幅 值 。
A ( ω)
= G(
jω)
G( jω)
∠ϕ( ω)
= arg[ G(
jω)]
, 为 G( jω)
的 辐 角 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 6/54

§5.1 频 率 特 性
由 于 幅 值 是 频 率 ω的 函 数 , 随 频 率 的 变 化 而 变 化
A(ω)
, 因 此 将 其 称 为 幅 频 特 性 。 辐 角 ϕ(ω) 也 是 频 率
G( jω)
的 函 数 , 随 频 率 的 变 化 而 相 位 角 也 变 化 , 因 此 将 其 称
为 G( jω)
幅 频 特 性 。
线 性 系 统 对 正 弦 信 号 的 响 应 , 称 为 频 率 响 应 。
sinωt
A(ω)sin[ωt+ϕ(ω)]
G(s)
2012-3-13 Automatic Control Principle 7/54

例 5.1-1 RC 滤 波 电 路 如 图 所 示 ,
分 析 其 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 。
解 : 根 据 滤 波 电 路 的 结 构 , 有
U
( s)
= Z I U ( s)
i R
+
其 中 : 电 流 为
求 得 其 传 递 函 数 为
即 可 得
§5.1 频 率 特 性
o
o
I = U ( s)
G(
s)
Z
G(
s)
=
=
C
U
U
o
i
( s)
( s)
1
RCs + 1
i
u u
i
C o
2012-3-13 Automatic Control Principle 8/54
=
s
Z
=
R
ZC
+ Z
=
jω
C
R
1
1
= Cs =
1
R +
RCs + 1
Cs
1 1
=
jωRC
+ 1 jω
+ 1
s = jω
T

§5.1 频 率 特 性
将 上 式 写 成 幅 值 、 辐 角 表 达 式
G(
jω)
=
1+
1
jωT
=
1+
1
jωT
arg[
1+
1
jωT
]
=
1
2
1+
ω T
2
[ −arctanωT
]
RC 滤 波 电 路 的 幅 频 特 性
A( ω)
=
1+
ω T
RC 滤 波 电 路 的 相 频 特 性 。
1
2 2
ϕ( ω ) = −arctanωT
1
0.707
0
0°
-45
-90°
A(ω
1
T
ϕ(ω
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 9/54

§5.1 频 率 特 性
5.1.2 频 率 特 性 的 定 义
❶ Fourier 变 换
若 函 数 f ( t ) 的 绝 对 值 积 分 小 于 ∞ 时 , 即
∫ + ∞
−∞
其 Fourier 变 换 为
F(
❷ Fourier 反 变 换
f ( t)
f ( t)
∫ + ∞
−∞
dt
< ∞
jω ) = f ( t)
e
− jωt
2012-3-13 Automatic Control Principle 10/54
dt
−1
1
= F [ F(
jω)]
= ∫ + ∞
F(
jω)
e
2π
−∞
j ω t
d
ω

§5.1 频 率 特 性
❸ 频 率 特 性 的 定 义
已 知 线 性 定 常 系 统 的 传 函 , 输 入 信 号 , 其
Fourier 变 换 存 在 且 为 , 系 统 的 输 出 信 号 为 ,
R( jω)
其 Fourier 变 换 存 在 且 为 。
G ( jω)
=
C( jω)
G(s)
定 义 线 性 定 常 系 统 的 频 率 特 性 为
C(
jω)
R(
jω)
若 系 统 输 入 信 号 为 稳 态 正 弦 信 号 , 令
线 性 系 统 的 传 函 G (s) 成 为 G( jω)
。
r(t)
c(t)
, 则
2012-3-13 Automatic Control Principle 11/54
s =
jω

§5.1 频 率 特 性
❹ Fourier 变 换 与 Laplace 变 换 之 间 的 关 系
有 些 时 域 函 数 的 绝 对 值 积 分 不 小 于 ∞ 时 , 其 Fourier 变
换 不 存 在 。 但 是 增 加 衰 减 因 子
就 存 在 了 。 如 阶 跃 函 数 等 。
e −σ
t
增 加 衰 减 因 子 后 的 Fourier 变 换 为
之 后 ,Fourier 变 换
F(
jω)
=
∫
+∞
−∞
[
f
( t)
e
−σ
t
] e
− jωt
dt
t
≥
0
=
∫
+∞
−∞
f
( t)
e
−(
σ + jω)
t
dt
s
= σ +
jω
=
∫
+∞
0
f
( t)
e
−st
dt
=
F(
s)
2012-3-13 Automatic Control Principle 12/54

§5.1 频 率 特 性
增 加 衰 减 因 子 后 的 Fourier 变 换 就 变 成 Laplace 变 换 了 。
可 见 : Fourier 变 换 是 Laplace 变 换 在 实 部 为 零 时 的 特 例 。
实 际 使 用 中 , 可 以 将 传 递 函 数 G(s) 中 的 自 变 量 以 jω 替
代 直 接 获 得 控 制 系 统 的 频 率 特 性 。
G(
jω)
= G(
s)
s
=
jω
2012-3-13 Automatic Control Principle 13/54

§5.1 频 率 特 性
5.1.3 频 率 特 性 的 数 学 描 述 与 图 形 分 析
❶ 极 坐 标 图
极 坐 标 图 又 称 幅 相 图 、 奈 奎 斯 特 (Nyquist) 图
频 率 特 性 的 实 部 、 虚 部 表 示 :
G( jω)
G(
jω)
=
Re[ G(
jω)]
+ Im[ G(
= P(
ω)
+ jQ(
ω)
矢 量 式 幅 值 与 相 位 表 示 :
G(
jω)
= G(
jω)
arg[ G(
jω)]
= A(
ω)
∠ϕ(
ω)
jω)]
2012-3-13 Automatic Control Principle 14/54

当 频 率 ω 从 − ∞ 变 到 + ∞ 时 , G( jω)
在 由 实 轴 与
虚 轴 构 成 的 复 平 面 上 走 过 的 轨 迹 就 称 为
标 图 。
§5.1 频 率 特 性
Im
ω→+∞
0
ϕ(ω)
G(jω) 平 面
Re
ω=0 +
A(ω)
G( jω)
Nyquist 图 的 特 点 :
关 于 实 轴 对 称 ;
的 极 坐
准 确 制 图 需 要 借 助 计 算 机 ;
主 要 用 于 频 域 稳 定 性 分 析 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 15/54

§5.1 频 率 特 性
❷ 对 数 坐 标 图
对 数 坐 标 图 又 称 波 德 (Bode) 图
频 率 特 性 的 矢 量 表 示 :
G( jω)
G(
jω)
= G(
jω)
arg[ G(
jω)]
= A(
ω)
∠ϕ(
ω)
其 中 : (ω) 称 为 幅 频 特 性 。 当 由 时 , 刻
A ω → +∞
画 了 G( jω)
幅 值 的 变 化 规 律 。
称 为 幅 频 特 性 。 当 由 时 , 刻
ϕ(ω)
ω → +∞
2012-3-13 Automatic Control Principle 16/54
0 +
0 +
画 了 相 位 角 的 变 化 规 律 。
G( jω)

§5.1 频 率 特 性
为 了 图 形 分 析 方 便 , 分 别 将 与 ω 作 对 数 变 换 。
1 对 数 幅 频 特 性
纵 坐 标 :
L ( ω)
= lg A(
ω)
A(ω)
单 位 为 Bell( 贝 尔 ) , 若 以 分 贝 为 单 位 , 则 有
横 坐 标 :
L ( ω)
= 20lg A(
ω)
H ( ω)
= lgω
(dB)
2012-3-13 Automatic Control Principle 17/54

§5.1 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性 坐 标 图 :
L(ω)
20lgA(ω) [lgA(ω)]
dB
40
[Bell]
2
20
0
-20
1
-1
0
0 1 2
-1
[lgω]
-40 -2
0.1 0.5 1 2 3 5 10 20 50 100 ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 18/54

§5.1 频 率 特 性
2 对 数 相 频 特 性
纵 坐 标 仍 然 是 , 横 坐 标 变 为 :
ϕ(ω)
+180°
+90°
ϕ(ω)
lgω
0°
ω
-90°
-180°
0.1 0.5 1 2 3 5 10 20 50 100
2012-3-13 Automatic Control Principle 19/54

§5.1 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性 和 对 数 相 频 特 性 ϕ(ω 统 称 为 对 数
L (ω)
)
频 率 特 性 , 两 条 特 性 曲 线 称 为 Bode 图 。
对 数 频 率 特 性 的 特 点 :
Bode 图 可 以 双 重 展 宽 频 带 ;
Bode 图 绘 制 方 便 , 准 确 ( 渐 近 线 );
将 频 率 特 性 中 的 乘 积 转 换 成 对 数 频 率 特 性 中 的 叠
加 关 系
G
jω)
= G ( jω)
⋅G
( j ) ⋅
( 1 2 ω
L ( ω)
= 20lg G(
jω)
= 20lg
G1
( jω)
+ 20lg G2
( jω)
+
2012-3-13 Automatic Control Principle 20/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.1 比 例 环 节
频 率 特 性
G ( jω)
=
K
幅 值
幅 角
A (ω) = K
ϕ( ω)
=
0
极 坐 标 图
Im
0
G(jω)
K Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 21/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性
L(
ω)
= 20lg A(
ω)
= 20lg K
对 数 相 频 特 性
ϕ( ω)
=
Bode 图
o
0
(dB)
dB L(ω)
40
20
0
-20
-40
0.1
90°
45°
0°
-45°
-90°
ϕ(ω)
20lgK dB
1 10 100 ω
ϕ(ω)=0°
2012-3-13 Automatic Control Principle 22/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.2 积 分 环 节
频 率 特 性
幅 值
幅 角
极 坐 标 图
1
G( jω)
= =
s
s=
jω
1
jω
1 1
A( ω)
= = j ω ω
1
ϕ( ω)
= arg = −90
jω
Im
0
G(jω)
ω→∞
Re
ω=0 +
2012-3-13 Automatic Control Principle 23/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 频 特 性
1
L( ω)
= 20lg = −20lgω
ω
相 频 特 性
1
ϕ( ω)
= arg = −90
jω
Bode 图
dB L(ω)
20
0
-20
-40
0.1
45°
0°
-45°
-90°
-135°
ϕ(ω)
-20dB/dec
1 10 100 ω
ϕ(ω)=-90°
2012-3-13 Automatic Control Principle 24/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.3 微 分 环 节
频 率 特 性
G(
jω)
s jω
ω
= =
s = j
幅 值
A ( ω ) = jω
= ω
幅 角
极 坐 标 图
ϕ( ω)
= arg( jω)
=
90
Im
ω→∞
Re
0
ω=0 +
G(jω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 25/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 频 特 性
L( ω)
= 20lgω
相 频 特 性
ϕ( ω)
= arg( jω)
= 90 -40
0.01
Bode 图
L(ω)
20
0°
0
-20
135°
90°
45°
-45°
dB
ϕ(ω)
+20dB/dec
0.1 1 10 ω
ϕ(ω)=+90°
2012-3-13 Automatic Control Principle 26/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.4 惯 性 环 节
频 率 特 性
G(
jω)
1
=
1+
Ts
频 率 特 性 的 实 部 、 虚 部 表 达
=
s= jω 1+
1
jωT
G(
jω)
1
=
2
1+
ω T
2
−
ωT
j
2
1+
ω T
2
频 率 特 性 的 矢 量 表 达
G(
jω)
=
1
2
1+
ω T
2
∠ − arctanωT
2012-3-13 Automatic Control Principle 27/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 值
幅 角
1
A(
ω)
=
2
1+
ω T
ϕ( ω)
= −arctanωT
2
⎧A(0)
= 1
⎪
⎨
⎪
⎩ϕ
(0) =
0
⎧A(
∞)
⎪
⎨
⎪
⎩ϕ
( ∞)
= 0
= −90
极 坐 标 图
Im
0
G(jω)
ω→+∞
1
Re
ω=0 +
极 坐 标 图 是 一 个 圆 。 证 明 如 下 :
2012-3-13 Automatic Control Principle 28/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
1 ωT
G ( jω)
= − j = x + jy
2 2
2 2
1+
ω T 1+
ω T
2 2 1 2 ωT
2 1
x + y = ( ) + ( − ) = =
2 2
2 2
2 2
1+
ω T 1+
ω T 1+
ω T
2
2
x y =
+ 2
x
x
x
2
−
x
+
1 2 2
( ) + y =
2
1
( )
2
2
2
( x − 0.5) + y =
0.5
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 29/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 频 特 性
采 用 渐 近 线 做 图 , 当
L(
ω)
= 20lg A(
ω)
= 20lg
ω → 0
L( ω)
0
= 20lg1 =
ω→
采 用 渐 近 线 做 图 , 当
ω → ∞
1
L( ω)
ω →∞
= 20lg
ωT
2
1+
ω T
时 , 渐 近 线 为
0 dB
可 以 看 出 渐 近 线 为 等 斜 直 线 , 斜 率 为 每 10 倍 频 衰 减
20dB。 两 条 渐 近 线 交 点 处 频 率 称 为 转 折 频 率 , 为
1
ω =
T
2012-3-13 Automatic Control Principle 30/54
1
时 , 渐 近 线 为
2

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
相 频 特 性
ϕ( ω)
= −arctanωT
特 征 角
当 , 有 ;
ω → 0
1
T
ϕ( 0) →
1
T
当 ω = , 有 ϕ( ) = −45
;
当 ω → ∞ , 有 ;
d
dω
0
ϕ( ∞)
→ −90
由 于 [ ϕ(
∞)]
< 0 ;
ϕ(ω)
∀ω
单 调 递 减 , 以 转 折 频 率 为 中 心 , 两 边 角 度 反 对 称
2012-3-13 Automatic Control Principle 31/54

Bode 图
§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
L(ω) dB
20
0
0dB/dec
-20
-20dB/dec
-40
-60
1
0.01 0.1
45°
T
1 10 100 ω
0°
-45°
-90°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 32/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
误 差 分 析 : 由
L(ω)
大 误 差 在 转 折 频 率 处 , 具 体 为
可 知 , 渐 近 线 绘 图 有 误 差 , 且 最
1
L( ω)
= 20lg
2 2
1
ω
1+
ω T
1
= 20lg = −3.01(dB)
2
= T
2012-3-13 Automatic Control Principle 33/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
误 差 曲 线 : 关 于 转 折 频 率 对 称 , 两 端 10 倍 频 时 , 误
差 降 到 -0.04 dB。
0dB
-1dB
-2dB
-3dB
-4dB
1
10
1
T
1
5
1
T
1
2
1
T
1
T
2 1 T
5 1 T
10 1 T
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 34/54

误 差 修 正
后 的 Bode 图
§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
L(ω) dB
20
0dB/dec
0
-3dB
-20
-20dB/dec
-40
-60
1
0.01 0.1
45°
T
1 10 100 ω
0°
-45°
-90°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 35/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.5 一 阶 微 分 环 节
频 率 特 性
Im
G(jω)
G( jω)
其 模 - 辐 角 表 达
= 1+
jωT
0
1
极 坐 标 图
Re
G(
jω)
=
2
1+
ω T
2
∠arctanωT
幅 频 特 性
A( ω)
= 1+
ω T
2 2
相 频 特 性
ϕ( ω)
=
arctanωT
2012-3-13 Automatic Control Principle 36/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性
L( ω) = 20lg
1+
ω T
对 数 相 频 特 性
ϕ( ω)
= arctanωT
可 以 得 用 一 阶 惯 性 环
节 的 对 数 频 率 特 性 反
对 称 画 出 。
2 2
L(ω) dB
60
40
20
0
-20
0.01 0. 1 1 10 100 ω
T
135°
90°
45°
0°
-45°
ϕ(ω)
0dB/dec
波 德 图
+20dB/dec
+3dB
2012-3-13 Automatic Control Principle 37/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.6 二 阶 振 荡 环 节
传 递 函 数
G( s) =
s
ω
2
n
2 2
+ 2ζωns
+ ωn
令
T
= 1 ω n
为 时 间 常 数 , 代 入 上 式 得
1
1
G( s)
=
1
=
2 2
1 2 ζ T =
s + 2 s + 1 ω
T s + 2ζ
Ts
n
2
ω ω
n
n
+ 1
2012-3-13 Automatic Control Principle 38/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
二 阶 振 荡 环 节 的 频 率 特 性 为
G( jω)
=
2 2
T ( jω)
1
+ j2ζ
Tω
+ 1
=
(1 −T
2 2
1−T
ω
2 2
ω ) + (2ζ
Tω)
2
2
−
j
(1 −T
2ζ
Tω
2 2
ω ) + (2ζ
Tω)
2
2
=
(1 −T
ω )
1
+ (2ζ
Tω)
∠ − arctan
2 2 2
2
1
2ζ
Tω
2 2
−T
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 39/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 频 特 性
A(
ω)
=
(1 −T
相 频 特 性
2
ω )
2ζ
Tω
ϕ(
ω)
= −arctan
2 2
1−T
ω
可 以 看 出
2
1
2
+ (2ζ
Tω)
2
单 位 圆
ω→+∞
Im
G(jω
0 1 Re
ζ>0.707
ω=0 +
ζ=0.707
⎧A(0)
= 1
ω = 0 ⇒ ⎨
⎩ϕ
(0) = 0
M r
极 坐 标 图
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
由 于 频 率 增 加 时 辐 角 单 调 减 , 有
ω → ∞ ⇒
⎧A(
∞)
= 0
⎨
⎩ϕ
( ∞)
= −180
当 频 率 增 加 时 幅 值 先 增 后 减
, 且 有 极 值 M r ( 谐 振 峰 值 )。
根 据
可 求 得 谐 振 频 率
d
A( r
dω ω ) = 0
ω=
ω
ω
r
1
= T
单 位 圆
1−
2ζ
2
Im
ω→+∞
G(jω
0 1 Re
ζ>0.707
ω=0 +
ζ=0.707
M r
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
将 谐 振 频 率 代 入 幅 值 表 达 式 , 求 得 谐 振 峰 值 为
M
= A( ω ) =
若 极 坐 标 曲 线 没 有 超 出 单
位 圆 , 称 为 无 谐 振 峰 值 。
无 谐 振 峰 值 的 临 界 参 数 为
ω r
= 0
当 阻 尼 比 不 同 时 , 极 坐 标
图 如 图 所 示 。
r
ζ = 0.707
r
2ζ
1−
ζ
2012-3-13 Automatic Control Principle 42/54
1
单 位 圆
2
ω→+∞
Im
0
ζ>0.707
M r
G(jω
1
ω=0 +
ζ=0.707
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性
两 条 渐 近 线
L(
ω)
= 20lg A(
ω)
= 20lg
L( ω)
0
= 20lg1 =
ω→
0 dB
(1 −T
水
平
2
ω )
2
1
2
+
(2ζ
Tω)
2
1
L ( ω)
ω→∞
= 20lg
2 2 2
2
ω→∞
=
(1 −T
ω ) + (2ζ
Tω)
两 条 渐 近 线 的 交 点 坐 标 为
ω = 1 T
20lg
T
斜 率 为
-40 dB/dec
1
2
ω
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 43/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
渐 近 线 如 图 中 粗 实
线 所 示 。
阻 尼 比 ζ 不 同 时
ζ > 0.707 无 谐 振 峰 值
ζ > 0.707 临 界 谐 振
ζ > 0.707 有 谐 振 峰 值
3 条 特 性 如 图 所 示 。
L(ω) dB
20
0
-20
-40
-60
ϕ(ω)
0°
-45°
-90°
-135°
-180°
0dB/dec
ζ=0.707
ω r
20lgMr
-40dB/dec
0.01 0.1 1/T 1 10 ω
ζ>0.707
ζ=0.707
ζ>0.707
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
二 阶 振 荡 环 节 的 对 数 相 频 特 性
2ζ
Tω
ϕ(
ω)
= −arctan
2 2
1−T
ω
对 数 相 频 特 性 的 三 个 特 征 角 度
ϕ( 0) =
0
1
ϕ ( ) 90
T = −
ϕ(
ω)
1
−1
ω→∞
= −tg
ω→∞
−ω
= −180
2012-3-13 Automatic Control Principle 45/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
阻 尼 比 ζ 不 同 时 ,
ϕ(ω)
在
ω = 1 T
邻 域
的 角 度 变 化 率 也
不 同 , 阻 尼 比 越
小 , 变 化 率 越 大
, 如 图 所 示 。
二 阶 振 荡 环 节 Bode 图
L(ω) dB
20
0
-20
-40
-60
ϕ(ω)
0°
-45°
-90°
-135°
-180°
0dB/dec
ζ=0.707
ω r
20lgMr
-40dB/dec
0.01 0.1 1/T 1 10 ω
ζ>0.707
ζ=0.707
ζ>0.707
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.7 二 阶 微 分 环 节
二 阶 微 分 环 节 的 传 递 函 数
G(
s)
2 2
= T s + 2ζ
Ts
+ 1
频 率 特 性
G(
jω)
2 2
= T ( jω)
+ j2ζ
Tω
+ 1
= (1 −T
2
ω )
2
2
+ (2ζ
Tω)
2
2ζ
Tω
∠arctan
2 2
1−T
ω
极 坐 标 图
Im
G(jω)
ω→+∞
1 Re
0 ω=0 +
2012-3-13 Automatic Control Principle 47/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
幅 频 特 性
A = −T
+
2 2 2
2
( ω)
(1 ω ) (2ζ
ω)
T
Im
G(jω)
相 频 特 性
可 以 看 出
ϕ(
ω)
=
2ζ
Tω
arctan
2 2
1−T
ω
ω→+∞
0
1 Re
ω=0 +
⎧A(0)
= 1
ω = 0 ⇒ ⎨
⎩ϕ
(0) = 0
ω →
∞
⇒
⎧A(
∞)
⎨
⎩ϕ
( ∞)
= −∞
=
180
2012-3-13 Automatic Control Principle 48/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性
两 条 渐 近 线
2 2 2
2
( ω)
20lg ( ω)
20lg (1 ω ) (2ζ
ω)
L = A = −T
+
L( ω)
0
= 20lg1 =
ω→
0
dB
水
平
T
2 2 2
2
2 2
( ω)
ω→∞
= 20lg (1 −T
ω ) + (2ζ
Tω)
ω→∞
20lgT
ω
L =
两 条 渐 近 线 的 交 点 坐 标 为
ω = 1 T
斜 率 为
40 dB/dec
2012-3-13 Automatic Control Principle 49/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
二 阶 微 分 环 节 的 对 数 相 频 特 性
2ζ
Tω
ϕ(
ω)
= arctan
2 2
1−T
ω
对 数 相 频 特 性 的 三 个 特 征 角 度
ϕ( 0) =
1
ϕ( ) =
T
ϕ(
ω)
0
90
1
−Tω
−1
ω→∞
= tg
ω→∞
=
180
2012-3-13 Automatic Control Principle 50/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
二 阶 微 分 环 节 与
二 阶 振 荡 环 节 互
为 倒 数 , 因 此 其
Bode 图 可 以 利 用
二 阶 振 荡 环 节 关
于 横 轴 对 称 画 出
。
L(ω) dB
60
40
20
0
-20
ϕ(ω)
+180°
+135°
+90°
+45°
0°
0dB/dec
20lgMr
2012-3-13 Automatic Control Principle 51/54
ω r
+40dB/dec
ζ

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
5.2.8 延 迟 环 节
传 递 函 数
G(
s)
=
e
−τ s
频 率 特 性
G(
jω)
= e
=
幅 值 恒 为 1 , 即
− jωτ
e
− jωτ
∠e
( ) = − j
A ω e
ωτ = 1
幅 角
ϕ(
ω)
= ∠e
− jτ ω
− jωτ
= −τω
= −57.3τω
(
)
Im G(jω)
Re
0 1
极 坐 标 图
2012-3-13 Automatic Control Principle 52/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
对 数 幅 频 特 性
L(
ω)
= 20lg A(
ω)
L(ω) dB
20
0
0dB/dec
Bode 图
=
20lg1 =
0
-20
对 数 相 频 特 性
ϕ(ω)
0°
ϕ(
ω)
= ∠e
= −τω
− jτ ω
= −57.3τω
(
)
-180°
-360°
-450°
0.1/τ
1/τ
10/τ
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 53/54

§5.2 典 型 环 节 的 频 率 特 性
作 业
On Page 198. 5-2,5-3
2012-3-13 Automatic Control Principle 54/54

第 五 章 频 率 分 析 法
主 讲 : 乔 俊 飞
教 授
单 位 : 北 京 工 业 大 学 电 控 学 院
2012-3-13
Automatic Control Principle
1

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
5.3.1 开 环 对 数 频 率 特 性 作 图
控 制 系 统 结 构 图 如 图 所 示
其 开 环 传 递 函 数
R(s)
E(s)
+ -
G ( s ) G ( o
s ) H ( s )
G(s)H(s)
C(s)
开 环 频 率 特 性
= G o ( jω)
= G(
jω)
H ( jω)
由 于 开 环 传 递 函 数 可 以 写 成
G
o
( jω)
=
k
o
ν
s
⋅
m1
∏
k = 1
n1
∏
i=
1
( τ s
k
( T s
i
+ 1)
+ 1)
∏
∏
2012-3-13 Automatic Control Principle 2/45
m2
l=
1
n2
j=
1
( τ
( T
2
l
2
j
s
s
2
2
+ 2ζ
lτ
ls
+ 1)
+ 2ζ
Ts + 1)
j

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
因 此 , 开 环 频 率 特 性 作 因 式 分 解 如 下
k
⋅
= ∏
1
( jω)
G2(
jω)
Gk
( jω)
Gi
( j )
i=
1
G( jω)
= G
ω
采 用 模 、 角 表 达 式
G(
jω)
=
G
1
(
jω)
arg[ G
1
(
jω)]
⋅
G
2
(
jω)
arg[ G
2
(
jω)]
G
k
(
jω)
arg[ G
k
(
jω)]
=
=
k
∏
i=
1
1
G ( jω)
arg[ G ( jω)]
i
A ( ω)
∠ϕ
( ω)
⋅ A
1
2
i
( ω)
∠ϕ
( ω)
⋅
2
A
k
( ω)
∠ϕ
( ω)
k
2012-3-13 Automatic Control Principle 3/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
开 环 对 数 幅 频 特 性
L
o
k
k
k
⎡ ⎤
( ω)
= 20lg⎢∏
Gi
( jω)
⎥ = ∑ 20lg Gi
( jω)
= ∑
⎣ i=
1 ⎦ i=
1
i=
1
= L ( ω)
+ L ( ω)
+ +
L ( ω)
1
2
k
L
i
( ω)
开 环 对 数 相 频 特 性
k
ϕo(
ω)
= ∑arg[
Gi
( jω)]
= ∑ϕi
( ω)
i=
1
= ϕ ( ω)
+ ϕ ( ω)
+ +
ϕ ( ω)
1
2
k
i=
1
k
2012-3-13 Automatic Control Principle 4/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
Bode 图 的 绘 制
❶ 典 型 环 节 叠 加
例 5.3-1 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G(
s)
=
100( s + 2)
( s)(
s + 1)( s + 20)
试 绘 制 开 环 系 统 的 Bode 图 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 5/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
解 : 系 统 的 开 环 频 率 特 性 为
G( jω)
=
100( jω
+ 2)
( jω)( jω + 1)( jω
+ 20)
=
10( 1+
j05
. ω)
( jω)( 1+ jω)( 1+
j0. 05ω
)
按 照 基 本 环 节 写 出 系 统 的 开 环 频 率 特 性 为
G(
jω)
=
(
10(1 + j0.5ω
)
jω)(1
+ jω)(1
+ j0.05ω
)
=
G1 ( jω)
G2(
jω)
G3(
jω)
G4(
jω)
G5
( jω)
其 中 各 环 节 分 别 为
2012-3-13 Automatic Control Principle 6/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
G
1 比 例 环 节 ( ) 10
对 数 幅 频 特 性
L(ω) / dB
+ 40
+ 20
jω
1
=
L ( ω)
20lg10
1
= =
20
Bode 图 为 两
条 水 平 直
线
0
− 20
− 40
− 60
10 20
100
2012-3-13 Automatic Control Principle 7/45
ω

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
1 比 例 环 节 ( ) 10
+ 90
G
对 数 相 频 特 性
ϕ(
ω) /(
o
)
jω
1
=
ϕ ( ω)
1
=
0
0
− 90
−180
10 20
100
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 8/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
2 一 阶 微 分 环 节
对 数 幅 频 特 性
L(ω) / dB
+ 40
+ 20
0
− 20
− 40
G ( jω)
= 1+
0. 5ω
L
2
j
2
2
ω ) = 1+
0. 5
2
( ω
L 2
( ω)
L 1
( ω)
− 60
1
2
10 20 100
2012-3-13 Automatic Control Principle 9/45
ω

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
2 一 阶 微 分 环 节
对 数 相 频 特 性
ϕ(
ω) /(
+ 90
o
)
G ( jω)
= 1+
0. 5ω
2
j
ϕ ( ω)
arctan 0. 5ω
2
=
ϕ 2
( ω)
0
ϕ 1
( ω)
− 90
−180
ω
1 2
10 20 100
2012-3-13 Automatic Control Principle 10/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
3 积 分 环 节
对 数 幅 频 特 性
L(ω) / dB
+ 40
1
G3 ( jω)
=
jω
L
( ω)
= 20lgω
3
−
L 2
( ω)
+ 20
L 1
( ω)
0
− 20
− 40
L 3
( ω)
− 60
1
2
10 20 100
2012-3-13 Automatic Control Principle 11/45
ω

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
3 积 分 环 节
对 数 相 频 特 性
1
G3 ( jω)
=
jω
ϕ3(
ω)
= −90
ϕ(
ω) /(
+ 90
o
)
ϕ 2
( ω)
0
ϕ 1
( ω)
− 90
ϕ 3
( ω)
−180
1
2
10 20 100
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 12/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
4 一 阶 惯 性 环 节
对 数 幅 频 特 性
L(ω) / dB
+ 40
+ 20
0
− 20
G4(
L
4
1
jω)
= 1 + jω
1
( ω)
= 20lg
2
1+
ω
L 2
( ω)
L 1
( ω)
− 40
L 3
( ω)
− 60
ω
1 2
10 20 100 L 4
( ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 13/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
4 一 阶 惯 性 环 节
对 数 相 频 特 性
ϕ(
ω) /(
+ 90
o
)
G4(
ϕ ( ω)
1
jω)
= 1 + jω
4
= −
arctanω
ϕ 2
( ω)
0
− 90
ϕ 4
( ω)
ϕ 1
( ω)
ϕ 3
( ω)
−180
1
2
10 20 100
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 14/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
5 一 阶 惯 性 环 节
对 数 幅 频 特 性
L(ω) / dB
+ 40
G5(
L ( ω)
=
5
jω)
=
1+
20lg
1
0.05 jω
1
1+
0.05
2
2
ω
L 2
( ω)
+ 20
L 1
( ω)
0
− 20
L 5
( ω)
− 40
L 3
( ω)
− 60
ω
1 2
10 20 100 L 4
( ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 15/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
5 一 阶 惯 性 环 节
对 数 相 频 特 性
G5(
1
jω)
=
1+
0.05 jω
ϕ ( ω)
= arctan 0. 05ω
5
−
ϕ(
ω) /(
+ 90
o
)
ϕ 2
( ω)
0
− 90
ϕ ( )
ϕ 5
( ω)
4
ω
ϕ 1
( ω)
ϕ 3
( ω)
−180
1
2
10 20 100
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 16/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
将 各 环 节 叠 加 可 得 开 环 系 统 的 对 数 幅 频 特 性
L ( ω)
= L ( ω)
+ L2
( ω)
+ L3
( ω)
+ L4
( ω)
+ L5
(
1
ω
)
L(ω) / dB
+ 40
+ 20
0
− 20
L 2
( ω)
L 1
( ω)
L 5
( ω)
− 40
− 60
L 3
( ω)
1 2
10 20 100 L(ω) L 4
( ω)
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 17/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
将 各 环 节 叠 加 可 得 开 环 系 统 的 对 数 相 频 特 性
ϕ ω)
= ϕ ( ω)
+ ϕ ( ω)
+ ϕ ( ω)
+ ϕ ( ω)
+ ϕ (
(
1 2
3
4
5
ω)
ϕ(
ω) /(
+ 90
o
)
ϕ 2
( ω)
0
− 90
ϕ ( )
ϕ 5
( ω)
4
ω
ϕ 1
( ω)
ϕ 3
( ω)
−180
1
2
10 20 100
ϕ(ω)
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 18/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
❷ 转 折 渐 近 作 图
1 对 数 幅 频 特 性 按 照 转 折 渐 近 表 作 ;
2 对 数 相 频 特 性 依 然 按 照 叠 加 方 法 作 。
步 骤 一 确 定 低 频 段 斜 率 和 低 频 段 曲 线 高 度 , 作 出 低
频 段 曲 线 至 第 一 转 折 频 率 。 由 于
G
o
m1
∏
2
( τ
ks
+ 1) ∏(
τ
l
s + 2ζ
lτ
ls
+ 1)
ko
k = 1 l=
1
ko
( s)
= ⋅
= ⋅G
( s)
ν n1
n2
ν n
s
2 2
s
( T s + 1) ( T s + 2ζ
Ts + 1)
∏
i=
1
i
m2
∏
j=
1
j
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 19/45
j

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
在 低 频 段 有 G
步 骤 二 由 于
G
n
o
( jω)
( s)
=
ko
= ⋅ Gn
( jω)
=
↓↓
( jω)
m1
∏
o
ν ω ν
2012-3-13 Automatic Control Principle 20/45
m2
∏
k
( jω)
2 2
( τ s + 1) ( τ s + 2ζ τ s + 1)
k
k = 1
l=
1
n1
n2
∏
∏
l l l
2 2
( T s + 1) ( T s + 2ζ
Ts + 1)
i
i= 1
j=
1
全 部 为 一 阶 因 子 或 者 二 阶 因 子 , 均 在 转 折 频 率 处 发 生
向 上 或 者 向 下 转 折 , 转 折 斜 率 分 别 为 ± 20 或 ± 40dB/dec。
只 要 找 出 转 折 频 率 , 从 低 频 段 到 高 频 段 逐 步 前 进 , 以
渐 进 方 式 作 出 折 线 特 性 ,
j
j

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
例 5.3-2 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G 1.58(1 + 10s)(1
+ s)
s)
= o s(1
+ 50s)(1
+ 0.2s
+ 0.5
( 2 2
s
试 绘 制 对 数 开 环 频 率 特 性 图 。
解 : 低 频 段 特 性 为
1. 58
G o ( s)
=
s
为 ω =1.58 处 过 0 dB 线 的 积 分 特 性 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 21/45
)

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
由 于 特 性 曲 线 在 ω =1.58 处 过 0dB 线 , 且 转 折 斜 率 为 -20
dB/dec , 低 频 段 的 曲 线 为 :
L(ω) / dB
+ 60
ϕ(ω)
+ 40
+ 20
1.58
+ 90
0
0
− 20
− 40
− 90
− 60
− 80
0.01
0.02
0.1
0.2
1
2 10
−180
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 22/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
转 折 特 性 为
Gn( s)
=
( 1+ 10s)( 1+
s)
( 1+ 50s)( 1+ 0. 2s + 0. 5 2 s
2 )
将 各 转 折 频 率 从 小 到 大 填 入 转 折 渐 近 表 , 即
渐 进 顺 序 (1+50s) -1 (1+10s) (1+s) (1+0.2s+0.5 2 s 2 ) -1
转 折 频 率 0.02 0.1 1 2
转 折 斜 率 -20dB/ +20dB/ +20dB/ -40dB/
按 照 转 折 渐 近 表 上 的 顺 序 依 次 给 出 对 数 频 率 特 性 , 即
2012-3-13 Automatic Control Principle 23/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
渐 进 顺 序 (1+50s) -1 (1+10s) (1+s) (1+0.2s+0.5 2 s 2 ) -1
转 折 频 率 0.02 0.1 1 2
转 折 斜 率 -20dB/ +20dB/ +20dB/ -40dB/
+ 60
+ 40
+ 20
− 20
− 40
− 60
L(ω) / dB
0
− 80
0.01
0.02
0.1
0.2
1
2 10
ϕ(ω)
−180
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 24/45
+ 90
0
− 90

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
由 于 二 阶 振 荡 因 子 的 阻 尼 比 为 0.2, 其 谐 振 频 率 为
ω = 1 1−
2ξ
2 =
r
1.918
T
在 谐 振 频 率 处 , 谐 振 峰 值 为
对 数 谐 振 峰 值 为
M r
= A(
ω r
) =
2ξ
1
1−ξ
2 =
2.55
L( ω ) 20lg[ A(
ω )] = 20lg 2.55 =
r
=
r
8.13
(dB)
2012-3-13 Automatic Control Principle 25/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
在 对 数 频 率 特 性 上 进 行 谐 振 峰 值 修 正 , 见 下 图
L(ω) / dB
+ 60
ϕ(ω)
+ 40
+ 90
+ 20
0
− 20
8 dB
0
− 40
− 90
− 60
− 80
0.01
0.02
0.1
0.2
1
2 10
−180
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 26/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
对 数 相 频 特 性 作 图
低 频 段 特 性
可 知 低 频 段 相 位 角 为
1. 58
G o
( s)
= ω→0 s
ϕ ol
= −90
o
高 频 段 特 性
G o
( s)
=
ω→∞
1.264
2
s
可 知 高 频 段 相 位 角 为
ϕ oh
= −180
o
2012-3-13 Automatic Control Principle 27/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
之 后 , 从 低 频 段 出 发 , 在 每 一 个 转 折 频 率 处 , 有 :
一 阶 因 子 ± 45, 在 图 上 作 出 特 征 点 ,
二 阶 因 子 ± 90, 在 图 上 作 出 特 征 点 , 最 终 作 出 ϕ(ω)。
+ 60
+ 40
+ 20
− 20
− 40
− 60
L(ω) / dB
0
− 80
0.01
0.02
0.1
0.2
1
8 dB
2 10
ϕ(ω)
−180
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 28/45
+ 90
0
− 90

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
5.3.2 开 环 极 坐 标 作 图
由 于 :
G( jω)
= P(
ω)
+ jQ(
ω)
= A(
ω)
∠ϕ(
ω)
因 此 , 可 以 利 用 计 算 机 准 确 作 出 极 坐 标 图 。
其 实 , 在 系 统 分 析 时 , 往 往 是 根 据 开 环 频 率 特 性
的 一 些 特 点 , 徒 手 近 似 地 作 极 坐 标 草 图 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 29/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
将 开 环 传 递 函 数 写 成 因 式 相 乘 的 形 式 , 即
m1
m2
∏ τ k s ∏
2 2
( + 1) ( τ l s + 2ζ
lτ
ls
+ 1)
Ko
k = 1
l=
1
G o ( jω)
= ⋅
ν n1
n2
s=
jω
s
∏ Ti
s + ∏
2 2
( 1) ( T j s + 2ζ
jTs
+ 1)
i=
1
j=
1
其 中 :
G
K
= )
s
n
o
⋅G
ν n ( s s=
jω
( s)
=
m1
∏
k = 1
n1
∏
i=
1
( τ s
k
( T s
i
+ 1)
+ 1)
m2
∏
l=
1
n2
∏
j=
1
+ 2ζ
lτ
ls
+ 1)
+ 2ζ
Ts + 1)
2012-3-13 Automatic Control Principle 30/45
( τ
( T
2
l
2
j
s
s
2
2
j

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
❶ 极 坐 标 图 的 起 点
极 坐 标 图 的 起 点 是 ω →0 时 G o (jω) 在 复 平 面 上 的 位 置 。
当 前 向 通 路 积 分 环 节 的 个 数 v 大 于 零 ,ω →0 时 有 :
K
o
G o ( jω)
ω→0
→ ν s=
s
jω
Ko
( jω)
ν
ω →
0 = ∞
π
= −ν
⋅
( ) ω → 0 2
模 : 辐 角 : ∠
j
K o
ω ν
2012-3-13 Automatic Control Principle 31/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
极 坐 标 起 点 位 置 与 积 分 环 节 的 个 数 有 关 , 所 以 ν 不 同
时 , 极 坐 标 图 的 起 点 如 图 所 示 。
Im
G(jω)
ν=2
0
ν=0
Re
ν=1
2012-3-13 Automatic Control Principle 32/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
❷ 极 坐 标 图 的 终 点
极 坐 标 图 的 终 点 是 ω →∞ 时 G o (jω) 在 复 平 面 上 的 位 置 。
当 ω →∞ 时 有 :
G
o
K
( s) → ω → +∞ s −
o
n m
模 :
辐 角 :
K
( jω)
K
∠
( jω)
o
n−m
o
n−m
ω → ∞ = 0 π
= −(
n − m)
⋅
ω → ∞
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 33/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
极 坐 标 图 终 点 的 入 射 角 是 不 同 的 , 入 射 角 度 的 大 小 由
n-m 来 决 定 。 不 同 趋 近 情 况 如 图 所 示 。
Im
n-m=3
G(jω)
n-m=2
Re
0
n-m=1
2012-3-13 Automatic Control Principle 34/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
❸ 坐 标 轴 穿 越 点 与 单 位 圆 穿 越 点
确 定 坐 标 轴 穿 越 点 和 单 位 圆 穿 越 点 :
◆ 坐 标 轴 穿 越 点 处 , 极 坐 标
的 角 度 为 π/2 的 整 数 倍 角 。
坐 标 轴
穿 越 点
Im
G(jω)
◆ 单 位 圆 穿 越 点 处 , 极 坐 标
的 模 为 单 位 1。
0
Re
单 位 圆
穿 越 点
2012-3-13 Automatic Control Principle 35/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
例 5.3-3 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
试 作 其 极 坐 标 图 。
解 : 由 于 v = 1, 有
Go( s)
=
⎧
⎨
⎩
A(0)
1
s( 1+
s)
= ∞
ϕ(0)
= −90
所 以 起 点 位 于 负 虚 轴 无 穷 远 处 。
又 因 为 n - m = 2, 有
⎧
⎨
⎩
A(
∞)
ϕ(
∞)
= 0
= −180
2012-3-13 Automatic Control Principle 36/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
可 知 , 极 坐 标 曲 线 的 相 位 角 以 -180 o 趋 于 原 点 。 辐 角 为
ϕ ( ω) = −90 − ∠ ( 1+
j10ω
)
当 ω 增 加 时 , ϕ (ω) 单 调 减 ,
根 据 上 述 特 性 , 作 出 的 极 坐
标 草 图 如 下 。
本 题 给 出 的 系 统 比 较 简 单 ,
也 可 以 用 解 析 法 作 图 。
Im
ω→+∞
ω=0 +
0
G(jω)
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 37/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
由 于 G j
故 有 :
⎧
⎨
⎩
o( ω)
=
Re[ G
Im[ G
o
o
1
1 1
= − − j
( jω)( 1+
jω) 1 + ω 2 ω( 1+
ω
2 )
( jω)]
( jω)]
ω→0
ω→0
= −1
= − j∞
⎧
⎨
⎩
Re[ G
Im[ G
o
o
( jω)]
( jω)]
ω→∞
ω→∞
=
=
0
0
Im
G(jω)
Im
G(jω)
ω→+∞
Re
ω→+∞
Re
0
-1 0
ω=0 +
ω=0 +
2012-3-13 Automatic Control Principle 38/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
例 5.3-4 单 位 负 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
试 作 其 极 坐 标 草 图 。
解 : 由 于 v = 2, 有
K(1
+ 20s)
G o
( s)
=
2
s (1 + 5s)(1
+ 2s)
所 以 起 点 位 于 负 实 轴 无 穷 远 处 。
又 因 为 n - m = 3, 有
⎧
⎨
⎩
⎧
⎨
⎩
A(0)
= ∞
ϕ(0)
= −180
A(
∞)
ϕ(
∞)
=
0
2012-3-13 Automatic Control Principle 39/45
= −270
可 知 , 极 坐 标 曲 线 的 相 位 角 以 -270 o 趋 于 原 点 。

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
极 坐 标 曲 线 的 辐 角 为
ϕ( ω)
= −180
+ ∠(1
+ j 20ω
) − ∠(1
+ j5ω
) − ∠(1
+ j2ω
)
当 ω 增 加 时 , ϕ (ω) 由 -180° 先 增 后 减 。 当 ω →∞ 时 ,ϕ (ω)
减 至 -270° 。 确 定 穿 越 点 :
当 ω x = 0.255 时 , 有 :
ϕ ( 0. 255)
= −180
2012-3-13 Automatic Control Principle 40/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
穿 过 负 实 轴 如 图 。
增 益 K 可 以 决 定 A(ω) 的 大 小 ,
即 穿 过 负 实 轴 时 模 的 大 小 如 图 。
K 大
K 小
I
0
G(jω)
1
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 41/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
5.3.3 最 小 相 位 系 统
开 环 极 点 和 开 环 零 点 全 部 位 于 s 平 面 的 左 半
平 面 的 系 统 称 为 最 小 相 位 系 统 , 否 则 称 为 非
最 小 相 位 系 统 。
例 5.3-5 已 知 两 个 系 统 G 1 ( jω ) 和 G 2 ( jω ) 如 下
1+
jω
1−
jω
G1( jω)
= ; G2(
jω)
=
1+
j2ω
1+
j2ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 42/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
系 统 G 1 ( jω ) 的 幅 频 特 性 为
1+
jω
2
2
L1 ( ω ) = 20lg = 20lg 1+
ω − 20lg 1+
4ω
1+
j2ω
系 统 G 2 ( jω ) 的 幅 频 特 性 为 对 数 幅 频 特 性 相 同
L
1−
jω
2
( ω =
= + ω − + ω
1+
j2ω
2
2
) 20lg 20lg 1 20lg 1 4
系 统 G 1 ( jω ) 的 相 频 特 性 为
系 统 G 2 ( jω ) 的 相 频 特 性 为
ϕ ( ω)
= arg tanω
arg tan 2ω
1
−
ϕ ( ω)
= arg tan( −ω)
− arg tan 2ω
= −arg tanω
arg tan 2ω
2
−
2012-3-13 Automatic Control Principle 43/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
L(ω) / dB
L(ω) / dB
+ 20
0
-6.02 dB
+ 20
0
-6.02 dB
− 20
− 20
+ 90
ϕ(ω)
0.5
1
+ 90
ϕ(ω)
0.5
1
0
0
− 90
− 90
−180
−180
2012-3-13 Automatic Control Principle 44/45

§5.3 控 制 系 统 开 环 频 率 特 性 作 图
作 业
On Page 198-199. 5-4,5-6,5-8
2012-3-13 Automatic Control Principle 45/45

自 动 控 制 原 理
第 五 章
频 域 分 析 法
主 讲 : 乔 俊 飞
教 授
单 位 : 北 京 工 业 大 学 电 控 学 院
2012-3-13
Automatic Control Principle
1

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
频 域 稳 定 性 判 据 是 利 用 系 统 开 环 频 率 特 性 获 得 闭 环 系 统
稳 定 性 的 判 别 方 法 , 又 称 为 Nyquist 稳 定 性 判 据 。
与 代 数 稳 定 性 判 据 相 比
代 数 稳 定 性 判 据 基 于 闭 环 特 征 方 程 , 只 提 供 系 统 是 否 稳
定 ; 频 域 稳 定 性 判 据 基 于 系 统 开 环 频 率 特 性 , 不 仅 可 以
确 定 系 统 是 否 稳 定 , 而 且 可 以 提 供 更 多 的 信 息 。 如 : 若
系 统 稳 定 , 其 动 态 性 能 如 何 若 不 稳 定 , 与 稳 定 性 能 还
差 多 少 等 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 2/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
5.4.1 开 环 极 点 与 闭 环 极 点 的 关 系
系 统 的 开 环 传 递 函 数
G ( M s
s ) ( )
o
=
N ( s)
满 足 方 程 M(s) = 0 的 根 , 称 之 为 系 统 的 开 环 零 点 。
满 足 方 程 N(s) = 0 的 根 , 称 之 为 系 统 的 开 环 极 点 。
分 子 多 项 式 M(s) 的 最 高 阶 次 小 于 等 于 分 母 多 项 式 N(s) 的
最 高 阶 次 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 3/78

系 统 的 闭 环 传 递 函 数 为
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
G ( s)
c
Go
( s)
M( s) N ( s)
= = =
1 + G ( s)
1 + M( s) N ( s)
o
M( s)
N ( s) + M( s)
满 足 方 程 M(s) = 0 的 根 , 称 之 为 系 统 的 闭 环 零 点 。
满 足 方 程 N(s) + M(s) = 0 的 根 , 称 之 为 系 统 的 闭 环 极 点 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 4/78

将 系 统 闭 环 特 征 多 项 式 作 为 辅 助 函 数 引 入 , 令 其 为 F(s)
+
F( s) = 1 + Go
( s)
= 1+ M ( s ) N ( s) M( s)
=
N ( s)
N ( s)
满 足 N(s)+ M(s) =0 的 根 是 F(s) 的 零 点 , 即 系 统 闭 环 极 点 。
满 足 方 程 N (s)=0 的 根 是 F(s) 的 极 点 , 也 是 系 统 开 环 极 点
可 见 , 辅 助 函 数 F(s) 作 将 系 统 的 开 环 极 点 与 闭 环 极 点 统
一 在 一 个 表 达 式 中 。
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
开 环 极
点
F(
s)
=
闭 环 极 点
N(
s)
+ M ( s)
N(
s)
2012-3-13 Automatic Control Principle 5/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
F(
s)
=
由 于 n≥m, 开 环 极 点 、 闭 环 极 点 个 数 相 等 , 为 n 个 。
辅 助 函 数 F(s) 的 频 率 特 性
N(
s)
+ M ( s)
N(
s)
闭 环 极 点
开 环 极
点
F(
jω)
=
N(
jω)
+ M (
N(
jω)
jω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 6/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
5.4.2 频 域 稳 定 性 判 据
已 知 系 统 的 开 环 频 率 特 性 G o ( jω), 则 闭 环 系 统 稳 定 的 充
分 必 要 条 件 为 :
当 ω 由 0 增 至 无 穷 时 , 辅 助 函 数 F ( jω ) 的 角 度 增 量 为
ω :
∆ ∠F ( jω
=
∞
)
0 →
pπ
其 中 ,p 为 s 的 右 半 平 面 上 开 环 极 点 的 个 数 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 7/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
由 于 F( jω)
= 1+
G ( jω)
, 所 以 有
ω :
∆
o
0→∞
∠ [1 + G o
( jω)]
= pπ
一 般 情 况 下 p = 0, 系 统 的 开 环 极 点 全 部 位 于 s 平 面 的 左
半 平 面 上 , 则 判 别 式 成 为
ω :
∆
0→∞
∠F(
jω)
= 0 ∆ ∠ [1 + ( jω)]
= 0
ω :
0→∞
G o
即 辅 助 函 数 的 角 度 增 加 量 为 0, 或 者 说 轨 线 不 包 围 原 点 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 8/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
稳 定 系 统 与 不 稳 定 系 统 的 轨 线 与 角 度 增 量
Im
F(jω)
Im
F(jω)
ω→+∞
Re
ω→+∞
Re
0
0
∆θ
ω=0 +
∆θ
ω=0 +
∆θ=-2π≠0
∆θ=0
2012-3-13 Automatic Control Principle 9/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
由 于 F ( jω ) =1+G ( jω ) , 故 有 F ( jω ) 平 面 就 是 1+G ( jω )
平 面 。 可 见 ,F ( jω ) 平 面 和 G ( jω ) 平 面 的 关 系 为 平 移 关
系 , 即 包 围 F ( jω ) 平 面 的 原 点 等 于 包 围 G ( jω ) 平 面 的
(-1+j 0) 点 , 如 图 所 示
Im
F(jω
)
Re
Im
0 -1
0
G(jω)
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 10/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
开 环 频 率 特 性 G o (jω ) 曲 线 就 是 画 在 G(jω ) 平 面 上 的 极 坐
标 图 , 因 此 可 以 利 用 系 统 的 开 环 极 坐 标 图 判 别 闭 环 系
统 的 稳 定 性 。 此 时 , 稳 定 性 判 据 修 改 为
当 p=0 时 , 围 绕 –1+j 0 点 的 角 度 增 量 为 零 , 即
∆
ω : 0→∞
∠[1
+
G o
(
jω)]
=
0
当 p≠0 时 , 围 绕 –1+j 0 点 的 角 度 增 量 为 零 , 即
ω :
∆ ∠[1
+ G o
( jω)]
=
→ ∞
0
pπ
2012-3-13 Automatic Control Principle 11/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
证 明 : 辅 助 多 项 式
F( jω) = 1+ G ( jω)
=
o
N ( jω) + M( jω)
N ( jω)
式 中 :1+G o ( jω ) 为 系 统 的 闭 环 特 征 多 项 式 ;
N ( jω )+M ( jω ) 决 定 F ( jω ) 的 零 点 , 系 统 闭 环 极 点 ;
N ( jω ) 决 定 F ( jω ) 的 极 点 , 系 统 的 开 环 极 点 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 12/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
写 为 零 、 极 点 表 达 式
F( jω)
=
n
∏
k ( jω
− z )
l=
1
n
∏
i=
1
( jω
− p )
i
l
由 于 n ≥ m, 可 知 F ( jω ) 的 零 点 和 极 点 数 目 相 等 , 也 就 是
说 系 统 闭 环 极 点 与 开 环 极 点 的 数 目 相 等 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 13/78

当 ω : 0 →∞ 时 , F ( jω ) 的 幅 角 增 量 为
ω :
∆
0→∞
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
∠ [ 1+ G ( jω)]
=
n
∑
o
[ ∆ ∠(
jω
− zl
)] − [ ∆ ∠(
jω
− pi
)]
l=
1
ω : 0→∞
ω : 0→∞
对 于 F ( jω ) 的 每 个 零 点 , 如 果 位 于 s 平 面 的 左 半 平 面 ,
当 ω : 0 →∞ 时 , 则 可 以 获 得 增 量 角 为 π/ 2 。
若 零 点 位 于 s 平 面 的 左 半 平 面 , 其 值 为 z i = -a , 则 有
ω :
∆
π
∠ ( jω
+ a)
= +
0→∞
2
n
∑
i=
1
2012-3-13 Automatic Control Principle 14/78

若 零 点 位 于 s 平 面 的 左 半 平 面 , 其 值 为 z i =-a ±j b, 则
两 个 零 点 的 角 度 增 量 为
ω :
=
∆
0→∞
ω :
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
∆
∠[
a
π
= 2⋅
= π
2
∠(
jω
+ a + jb)
+
0→∞
ω :
+ j(
ω + b)]
+
∆
0→∞
ω :
∆
∠(
0→∞
jω
+ a −
∠[
a
jb)
+ j(
ω − b)]
2012-3-13 Automatic Control Principle 15/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
若 零 点 位 于 s 平 面 的 左 半 平 面 , 其 角 度 增 量 的 变 化 如 图
Im
jω+a
jω-a
Im
Re
Re
-a 0 a
-a
0
a
对 于 F ( jω ) 的 每 个 零 点 , 如 果 位 于 s 平 面 的 右 半 平 面 ,
当 ω : 0 →∞ 时 , 则 获 得 增 量 角 为 -π/ 2 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 16/78

对 于 F ( jω ) 的 极 点 , 当 ω : 0 →∞ 时 , F ( jω ) 的 每 个 极 点
获 得 的 辐 角 增 量 的 符 号 正 好 与 零 点 相 反 。
当 ω : 0 →∞ 时 , F ( jω ) 的 幅 角 增 量 为
ω :
∆
0→∞
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
∠ [ 1+ G ( jω)]
=
n
∑
o
[ ∆ ∠(
jω
− zl
)] − [ ∆ ∠(
jω
− pi
)]
l=
1
ω : 0→∞
ω : 0→∞
如 果 F ( jω ) 的 n 个 零 点 与 n 个 极 点 或 者 系 统 的 n 个 闭 环
极 点 与 n 个 开 环 极 点 全 部 位 于 s 的 左 半 平 面 , 则 有
n
∑
i=
1
2012-3-13 Automatic Control Principle 17/78

ω :
∆
0→∞
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
∠ [ 1+ G ( jω)]
=
n
∑
o
[ ∆ ∠(
jω
− zl
)] − [ ∆ ∠(
jω
− pi
)]
l=
1
ω : 0→∞
π π
= n ⋅ − n ⋅ = 0
2 2
n
∑
i=
1
ω : 0→∞
即 角 度 增 量 为 零 , 可 知 轨 线 没 有 包 围 F ( jω ) 平 面 的 原 点 ,
等 价 于 开 环 频 率 特 性 的 极 坐 标 轨 线 G o ( jω ) 没 有 包 围
G(jω ) 平 面 的 1+j 0 点 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 18/78

如 果 有 p 个 开 环 极 点 位 于 s 平 面 的 右 半 平 面 上 , 则 有
ω :
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
n
∑
∆ ∠ [ 1 + G ( j ω)]
=
o
[ ∆ ∠(
jω
− zl
)] − [ ∆ ∠(
jω
− pi
)]
0→∞ ω : 0→∞
ω : 0→∞
l=
1
π π π π π π π
= n ⋅ −[(
n − p)
⋅ − p ⋅ ] = n ⋅ −[
n ⋅ − p ⋅ − p ⋅ ] = pπ
2 2 2 2 2 2 2
可 见 , 系 统 稳 定 的 充 分 必 要 条 件 为 角 度 增 量 为 pπ。 也
就 是 说 轨 线 包 围 F ( jω ) 平 面 的 原 点 旋 转 了 p/2 圈 , 等 价
于 开 环 频 率 特 性 的 极 坐 标 轨 线 G o ( jω ) 包 围 G ( jω ) 平 面 的
1+j 0 点 旋 转 了 p/2 圈 。 证 毕 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 19/78
n
∑
i=
1

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
5.4.3 频 域 稳 定 性 分 析
应 用 频 域 稳 定 性 判 据 判 别 系 统 稳 定 性 时 , 首 先 要 在
G ( jω ) 平 面 上 作 出 开 环 系 统 的 极 坐 标 图 , 即 G o ( jω ) 轨
线 , 或 称 为 Nyquist 图 。 然 后 , 根 据 角 度 增 量 式 , 从
Nyquist 图 上 计 算 出 角 度 增 量 值 , 最 后 判 别 系 统 是 否 稳
定 。 更 为 方 便 的 是 可 以 在 Bode 图 上 使 用 频 率 稳 定 性 判
据 判 别 系 统 的 稳 定 性 , 后 面 予 以 介 绍 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 20/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
❶ 最 小 相 位 系 统
最 小 相 位 系 统 的 零 点 和 极 点 全 部 位 于 s 平 面 的 左 半 平
面 上 , 因 此 满 足 稳 定 性 判 据 的 p = 0 的 情 况 , 则 系 统 稳
定 的 充 要 条 件 为
ω :
∆ ∠[1
+
∞
0 →
G o
(
jω)]
=
0
即 开 环 频 率 特 性 曲 线 G o (jω ) 不 包 围 G(jω ) 平 面 的 1+j 0 点 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 21/78

例 5.4-1 系 统 的 开 环 传 递 函 数
Go( s)
=
K
( T s + 1)( T s + 1)( T s + 1)
1 2 3
讨 论 开 环 增 益 K 的 大 小 对 系 统 稳 定 性 的 影 响 。
解 : 作 极 坐 标 草 图
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
ω = 0
ω → ∞
⎧A(0)
= K
⎨
⎩ϕ
(0) = 0
⎧A(
∞)
= 0
⎨
⎩ϕ(
∞)
= −270
2012-3-13 Automatic Control Principle 22/78

⎧
A( )
且 ω 增 加 时 , 有
⎪ ω
⎨
⎪ϕ ( ω)
⎩
稳 定 性 判 别 :
ω ↑
ω ↑
↓
↓
当 K 小 时 , 极 坐 标 轨 线 围 绕 -1 点
的 角 度 增 量 为
ω :
∆ ∠[1
+
∞
0 →
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
G o
( jω)]
= 0
不 包 围 -1 点 , 所 以 系 统 是 稳 定 的 。
作 极 坐 标 草 图 如 下 。
Im
-1
K 小
0
G(jω)
Re
K 大
2012-3-13 Automatic Control Principle 23/78

稳 定 性 判 别 :
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
当 K 大 时 , 围 绕 -1 点 的 角 度 增 量 为
ω :
∆
0→∞
∠[1
+ G o
( jω)]
= −2π
≠ 0
-1
由 于 围 绕 -1 点 转 了 1 圈 , 系 统 不
稳 定 。
Im
K 小
0
G(jω)
Re
K 大
2012-3-13 Automatic Control Principle 24/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
❷ 原 点 处 有 开 环 极 点 情 况
当 原 点 处 有 ν 个 开 环 极 点 时 , 其 表 达 式 为 :
G
o
Ko
( s) = ν ⋅ Gn
( s)
s
当 ω → 0 时 , 复 变 函 数 F ( jω) 在 原 点 处 不 解 析 , 幅 角 增
量 值 不 定 。 不 能 直 接 应 用 辐 角 增 量 公 式 来 计 算 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 25/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
对 于 这 种 情 况 的 处 理 方 法 :
将 原 点 处 的 开 环 极 点 视 为 s 左 半 平 面 的 极 点 来 处 理 ,
在 s 平 面 的 s = 0 的 邻 域 作 一 半 径 无 穷 小 的 半 圆 绕 过 原
点 , 如 图 所 示 。
jω
这 样 处 理 后 , 当 ω : 0→0 + 时 , 在
原 点 处 就 已 经 获 得 了 π / 2 的 角 度
增 量 。
0 +
s 平 面
δ σ
0
2012-3-13 Automatic Control Principle 26/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
由 复 变 函 数 的 保 角 定 理 可 知 , 在 G( jω ) 平 面 上 的 无 穷
大 半 圆 处 作 增 补 线 如 图 所 示 , 相 应 的 增 补 角 为 -π / 2 。
Im G(jω) 平 面
ω→+∞
ω=0 +
0
增 补 角
Re
增 补 线
2012-3-13 Automatic Control Principle 27/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
如 果 原 点 处 的 开 环 极 点 有 ν 个 , 则 在 平 面 上 的 无 穷
大 半 圆 处 所 作 的 增 补 线 应 满 足 的 增 补 角 为
π
ν ⋅ ( − )
2
这 样 , 当 系 统 原 点 处 有 开 环 极 点 时 , 辐 角 增 量 的 计 算
需 要 计 入 相 应 的 增 补 角 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 28/78

例 5.4-2 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G ( K
s ) =
o s ( T s + 1 )( T s + 1 )
2 3
试 用 Nyquist 判 据 判 别 闭 环 系 统 的 稳 定 性 。
解 : 1 作 极 坐 标 图
ω = 0
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
极 坐 标 的 起 点 :0-j ∞
⎧ A(0)
= ∞
⎨
⎩ϕ
(0) = −90
2012-3-13 Automatic Control Principle 29/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
ω → ∞
⎧A(
∞)
⎨
⎩ϕ(
∞)
= 0
= −270
极 坐 标 的 起 点 :0-j ∞
当 ω :0 →∞ 时 ,A(ω) 与 ϕ(ω) 均
为 单 调 减 , 即
⎪⎧
A( ω)
⎨
⎪⎩ ϕ(
ω)
ω↑
ω↑
↓
↓
K 大
K 小
Im
-1
G(jω)
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 30/78

2 稳 定 性 分 析
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
系 统 为 最 小 相 位 系 统 , 稳 定 条 件 为
∆ ∠[1
+
∞
ω : 0 →
G o
( jω)]
= 0
由 于 原 点 处 有 一 个 开 环 极 点 ,
ν = 1, 在 无 穷 远 点 邻 域 作 增 补
线 如 图 。
K 大
K 小
Im
-1
G(jω)
增 补 角
增 补 线
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 31/78

2 稳 定 性 分 析
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
当 K 比 较 小 时 , 角 度 增 量 为
∆ ∠[1
+
∞
ω : 0 →
G o
( jω)]
=
满 足 条 件 , 系 统 稳 定 。
原 角
度
π π
− = 0
2 2
增 补 角
K 大
K 小
Im
-1
G(jω)
增 补 角
增 补 线
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 32/78

2 稳 定 性 分 析
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
当 K 比 较 大 时 , 角 度 增 量 为
∆
ω : 0→∞
∠[1
+
G o
(
原 角
度
3π
π
jω)]
= − − = −2π
≠
2 2
增 补 角
0
K 大
-1
Im
G(jω)
增 补 角
增 补 线
Re
不 满 足 条 件 , 系 统 不 稳 定 。
K 小
2012-3-13 Automatic Control Principle 33/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
❸ 非 最 小 相 位 系 统
对 于 非 最 小 相 位 系 统 , 首 先 要 判 别 的 是 s 的 右 半 平 面
有 没 有 开 环 极 点 , 若 有 则 系 统 的 稳 定 条 件 为
ω :
∆ ∠[1
+ G o
( jω)]
=
0 → ∞
pπ
如 果 是 由 s 的 右 半 平 面 的 开 环 零 点 确 定 的 , 则 系 统 的
稳 定 条 件 为
∆ ∠ + jω
=
ω :
0→∞
[1
G o
(
)]
0
2012-3-13 Automatic Control Principle 34/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
例 5.4-3 已 知 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G ( K s
s ) ( 05 . + 1)
o
=
s( s −1)
试 用 Nyquist 判 据 判 别 闭 环 系 统 的 稳 定 性 。
解 : 1 作 极 坐 标 图
⎧A(0)
⎨
⎩ϕ(0)
= ∞
= −270
⎧A(
∞)
⎨
⎩ϕ(
∞)
= 0
= −90
2012-3-13 Automatic Control Principle 35/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
幅 值 A(ω) 单 调 减 , 辐 角 ϕ(ω)
单 调 增 , 轨 线 穿 过 负 实 轴 ,
按 照 上 述 变 化 趋 势 作 图 如 下 。
-1
Im
G(jω)
K 小
Re
K 大
2012-3-13 Automatic Control Principle 36/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
2 稳 定 性 判 别
由 于 原 点 处 有 一 个 开 环 极 点 ,ν = 1, 在 无 穷 远 点 邻
域 作 增 补 线 , 增 补 角 为 -π / 2 , 如 图 所 示 。
又 因 为 系 统 在 s 的 右 半 平 面 有
一 个 极 点 ,p = 1, 则 系 统 稳 定 的
条 件 为
jω)]
pπ
∆ ∠[ 1+
Go
( =
ω : 0→∞
p=
1
= π
增 补 线
K 大
Im
-1
G(jω)
K 小
Re
2012-3-13 Automatic Control Principle 37/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
当 K 比 较 小 时 , 角 度 增 量 为
ω :
∆ ∠[1
+
∞
原 角
度
π π
jω)]
= − − = −π
≠ π
2
G o
(
0 → 2
增 补 线
Im
G(jω)
不 满 足 条 件 , 系 统 稳 定 。
增 补 角
-1
K 小
Re
K 大
2012-3-13 Automatic Control Principle 38/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
当 K 比 较 大 时 , 角 度 增 量 为
ω :
∆ ∠[1
+
∞
原 角
度
3π
π
− = π
2
G o
( jω)]
=
0 → 2
增 补 线
Im
G(jω)
满 足 条 件 , 系 统 稳 定 。
增 补 角
-1
K 小
Re
K 大
2012-3-13 Automatic Control Principle 39/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
5.4.4 Bode 图 上 的 稳 定 性 判 据
❶ 极 坐 标 图 与 波 德 图 的 对 应
◆ Nyquist 判 据 既 可 以 表 示 在 极 坐 标 图 上 , 也 可 以 表 示
在 Bode 图 上 ;
◆ 对 于 最 小 相 位 系 统 ,Nyquist 判 据 在 Bode 图 上 表 示 时
应 用 更 为 方 便 、 直 观 ;
◆ Nyquist 判 据 在 Bode 图 上 的 表 示 除 了 反 应 系 统 的 稳 定
性 外 , 还 可 以 提 供 有 关 系 统 的 校 正 信 息 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 40/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
给 定 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
GO ( s)
=
K
( T s + 1)( T s + 1)( T s + 1)
1 2 3
试 讨 论 开 环 增 益 K 的 大 小 对 系 统 稳 定 性 的 影 响 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 41/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
Im
G(jω)
Im
G(jω)
Im
G(jω)
K 小
Re
K 临
Re
K 大
Re
-1
-1
-1
A(ω)
ϕ(ω)
稳 定 系 统
A(ω) =1 ϕ (ω) > -π
ϕ(ω) = -π A(ω) < 1
临 界 稳 定
A(ω) =1 ϕ (ω) = -π
ϕ(ω) = -π A(ω) =1
不 稳 定
A(ω) = 1 ϕ (ω) < -π
ϕ(ω) = -π A(ω) > 1
2012-3-13 Automatic Control Principle 42/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
Im
G(jω)
Im
G(jω)
Im
G(jω)
K 小
Re
K 临
Re
K 大
Re
-1
-1
-1
A(ω)
ϕ(ω)
结 论 :
当 K 较 小 时 ,Nyquist 曲 线 不 包 围 -1+j 0 点 , 系 统 稳 定 ;
当 K 取 临 界 值 时 , 轨 线 穿 过 -1+j 0 点 , 系 统 临 界 稳 定 ;
当 K 较 大 时 ,Nyquist 曲 线 包 围 -1+j0 点 , 系 统 变 得 不 稳 定
2012-3-13 Automatic Control Principle 43/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
将 开 环 增 益 K 对 系 统 稳 定 性 的 影 响 在 Bode 图 上 表 示 出 来
稳 定 系 统
L(ω)
L(ω) = 0 dB
L(ω) < 0 dB
ϕ(ω) > - π
ϕ(ω) = - π
0dB
20lgK
0°
-180°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 44/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
临 界 稳 定
L(ω) = 0 dB
ϕ(ω) = - π
L(ω)
0dB
0°
20lgK
-180°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 45/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
不 稳 定
L(ω) = 0 dB
L(ω) > 0 dB
ϕ(ω) < - π
ϕ(ω) = - π
L(ω)
0dB
20lgK
基 于 Bode 图 的 稳 定 性 判 据
只 适 用 于 最 小 相 位 系 统 。
0°
-180°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 46/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
基 于 Bode 图 的 稳 定 性 判 据 不 仅 可 以 确 定 系 统 的 绝 对
稳 定 性 , 还 可 以 确 定 系 统 的 相 对 稳 定 性 , 即
◆ 若 系 统 稳 定 , 那 么 相 位 角 还 差 多 少 度 系 统 就 不 稳 定
了 , 或 者 增 益 值 还 需 要 增 大 多 少 系 统 就 不 稳 定 了 ;
◆ 若 系 统 不 稳 定 , 那 么 相 位 角 还 需 要 改 善 多 少 度 , 或
者 增 益 值 还 需 要 减 小 多 少 系 统 就 稳 定 了 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 47/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
❷ 稳 定 裕 度
前 面 分 析 可 知 , 若 系 统 不 稳 定 , 那 么 距 离 系 统 稳 定 ,
L(ω) 还 差 多 少 , 或 者 ϕ(ω) 还 差 多 少 , 这 样 就 可 以 在
Bode 图 定 义 两 个 系 统 稳 定 的 性 能 指 标 , 即 开 环 系 统 的
稳 定 裕 度 。
开 环 系 统 的 稳 定 裕 度 包 括 幅 值 裕 度 L g 和 辐 角 裕 度 γ c ,
其 几 何 意 义 如 图 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 48/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
L(ω)
Im
A g
G(jω)
Re
0dB
20lgK
ω c ω g
L g
ω
-1
γ c
0°
ω
-180°
ϕ(ω)
γ c
2012-3-13 Automatic Control Principle 49/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
Im
G(jω)
1 幅 值 裕 度 L g
A g
Re
令 对 数 相 频 ϕ(ω) 过 -180 0 时 的 频
-1
γ c
率 为 ω g , 当 频 率 为 ω g 时 的 幅 值 为
A(ω g ) 。 当 幅 值 A(ω g ) 增 大 K g 倍 后 为 1
( 穿 过 单 位 圆 ), 即
L(ω)
0dB
20lgK
ω c ω g
L g
ω
K
g
⋅ A( ω ) = 1
g
⇒
K
g
=
1
A(
ω )
2012-3-13 Automatic Control Principle 50/78
g
0°
-180°
ϕ(ω)
γ c
ω

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
Im
G(jω)
两 边 取 对 数 得 到 幅 值 裕 度 L g 为
A g
Re
L
g
=
20lg
K
g
= −20lg
A(
ωg
)
dB
-1
γ c
或 者 将 幅 值 裕 度 L g 表 示 为
L
g
= 0dB
− L(
ωg
) = 0dB − 20lg A(
ωg
)
幅 值 裕 度 作 为 定 量 值 指 明 了 :
若 系 统 的 稳 定 的 , 那 么 开 环 增 益 再
增 大 多 少 倍 系 统 就 不 稳 定 了 。
L(ω)
20lgK
ω c ω g ω
0dB
L g
ω
0°
-180°
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 51/78
γ c

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
2 幅 值 裕 度 γ c
令 对 数 幅 频 L(ω) 过 0 dB 时 的 频
率 为 ω c , 定 义 相 位 裕 度 为
相 位 裕 度 表 明 :
γ 180 0 c
= +ϕ(
ωc
)
L(ω)
0dB
0°
20lgK
ω c ω g
L g
ω
ω
若 系 统 不 稳 定 , 那 么 开 环 相 频 特
性 再 改 变 多 少 系 统 就 稳 定 了 。
-180°
ϕ(ω)
γ c
2012-3-13 Automatic Control Principle 52/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
对 于 稳 定 的 系 统 , 有
幅 值 裕 度 : L g > 0
相 位 裕 度 : γ c > 0
稳 定 裕 度 说 明 :
1 稳 定 裕 度 定 义 只 适 用 于 最 小 相 位 系 统 。 非 最 小 相 位
系 统 , 由 于 情 况 非 唯 一 , 没 有 实 用 意 义 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 53/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
2 稳 定 裕 度 作 为 频 域 性 能 指 标 。 可 以 用 于 系 统 分 析 ,
也 可 以 用 于 系 统 设 计 指 标 使 用 。
3 用 稳 定 裕 度 分 析 系 统 相 对 稳 定 性 时 , 幅 值 裕 度 L g 与
相 位 裕 度 γ c 成 对 使 用 。
4 只 判 别 系 统 是 否 绝 对 稳 定 时 , 用 一 个 性 能 指 标 即 可 。
由 于 相 位 裕 度 γc 计 算 简 单 方 便 , 因 此 , 经 常 使 用 γ c
性 能 指 标 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 54/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
例 5.4-4 已 知 最 小 相 位 系 统 , 其 开 环 对 数 幅 频 特 性 如 图
所 示 。
1 试 求 开 环 传 递 函 数 ;
2 计 算 系 统 的 稳 定 裕 度 。
解 : 1 求 开 环 传 递 函 数
-40dB/dec
-20dB/dec
10 ω
0dB
1 3.16
-60dB/dec
L(ω)
分 析 :Bode 图 初 始 阶 段 斜 率 为 -40 dB/dec, 说 明 有 两 个
积 分 环 节 ; 有 两 个 转 折 频 度 , 一 个 向 上 折 , 斜 率 变 化
2012-3-13 Automatic Control Principle 55/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
为 +20 dB/dec, 说 明 含 有 一 阶 微 分 环 节 ; 一 个 向 下 折 ,
斜 率 变 化 为 -40 dB/dec, 说 明 含 有 两 个 惯 性 环 节 ; 于 是
可 设 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G
o
( s)
Ko
=
2
⋅
s
1+
T1
s
( 1+
T s)
2
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 56/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
分 析 : 由 Bode 图 可 知 ,
ω 1 =1, ω 2 =10, 则 有
1
ω1 = = 1 ⇒ T1
= 1
T
1
1
ω = = 10 ⇒ T
T
2 2
=
2
0.1
0dB
1
-40dB/dec
-20dB/dec
3.16
10
ω
-60dB/dec
L(ω)
20lg
K o
− 40lgω
ω=
2 2
+ 20lg 1+
T ω =
3 .16
1
K o
= 3.01
ω=
3.16
2012-3-13 Automatic Control Principle 57/78
0

于 是 可 得 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
=
3.01(1 + s)
s (1 0.1s)
G o
( s)
2
+
2 计 算 系 统 的 稳 定 裕 度
由 于 幅 频 特 性 穿 过 0 dB 时 的 频 率 是 3.16, 于 是 可 得
相 位 角 为
ϕ
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
( 3.16) = −180
+ arctanω ω = 3.16
− 2arctan 0. 1ω
ω=
3.16
= −180 + 72.4 − 2×
17.5 = −142.6
2
2012-3-13 Automatic Control Principle 58/78

§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
相 位 裕 度
γ
c
= + ϕ(
ωc
180 ) = 180 −142.6
=
37.4
因 为 γ c > 0, 所 以 闭 环 系 统 稳 定 。
该 系 统 对 数 相 频
特 性 如 图
ϕ(ω)
0°
-90°
-180°
-270°
1
3.16 10
γ c =37.4°
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 59/78

由 相 频 特 性
§5.4 频 域 稳 定 性 判 据
ϕ( ω)
= −180
+ arctanω
− 2arctan 0. 1ω
可 知 , 当
时 , 有
ωg
= 8.94
ϕ ( ωg ) = ϕ ( 8. 94)
= −180
则 幅 值 裕 度 为
L
g
−20lg
A(
ω ) . 94
= g ω = 8 =
g
11.5 dB
由 于 L g > 0, 闭 环 系 统 稳 定 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 60/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
5.5.1 闭 环 频 率 特 性 与 开 环 频 率 特 性 之 间 的 关 系
闭 环 频 率 特 性 与 开 环 频 率 特 性 的 关 系 满 足
G
c
(
jω)
Go
( jω)
Go
( jω)
Go
( jω)
= = ∠ = M ( ω)
∠ϕc
( ω)
1+
G ( jω)
1+
G ( jω)
1+
G ( jω)
o
o
o
闭 环 频 率 特 性 也 可 以 表 示 成 幅 频 特 性 和 相 频 特 性 ,
但 与 开 环 频 率 特 性 不 同 的 是 : 不 便 于 渐 近 线 作 图 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 61/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
5.5.2 闭 环 频 率 特 性 的 矢 量 表 示 法
利 用 开 环 频 率 特 性 的 极 坐 标 图 , 可 以 得 到 闭 环 频 率
特 性 与 开 环 频 率 特 性 的 矢 量 关 系 如 图 :
OA
= G ( jω)
OP = 1 PA = 1+
G ( jω)
o
o
Im
G(jω)
M ( ω)
=
G
o
1+
G
( jω)
o
( jω)
=
OA
PA
P
-1
A
O
0
Re
ϕ (ω)
c
= ∠OA
− ∠PA
G o (jω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 62/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
根 据 开 环 频 率 特 性 和 闭 环 频 率 特 性 的 矢 量 关 系 图 可
知 , 徒 手 绘 制 闭 环 频 率 图 十 分 困 难 , 但 是 可 以 借 助 于
计 算 机 准 确 地 作 出 闭 环 频 率 特 性 图 。
开 环 频 率 特 性 和 闭 环 频 率 特 性 之 间 的 关 系 可 以 采 用
Nichols 曲 线 来 说 明 。 但 是 随 着 计 算 机 的 普 及 使 用 , 目
前 已 很 少 使 用 Nichols 曲 线 来 分 析 系 统 , 因 此 , 这 里 不
再 赘 述 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 63/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
5.5.3 闭 环 频 率 特 性 的 一 般 特 征
例 5.5-1 单 位 反 馈 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G 0.86
s)
= o s(1
+ 0.36s)(1
+ 0.75s
+ 0.625
( 2 2
s
作 开 环 频 率 特 性 与 闭 环 频 率 特 性 。
分 析 : 对 数 增 益
)
20lg
K0 = 20lg 0.86 = −1.2
dB
2012-3-13 Automatic Control Principle 64/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
由 传 递 函 数
G 0.86
s)
o s(1
+ 0.36s)(1
+ 0.75s
+ 0.625
= 可 知
( 2 2
s
)
1
0.36
转 折 频 率 ω = 2. 78
1
=
, 转 折 斜 率 -20 dB/dec 。
1
0.625
转 折 频 率 , 转 折 斜 率 -40 dB/dec 。
ω
2
= =
1.6
2012-3-13 Automatic Control Principle 65/78

开 环 系 统 对 数 频 率 特 性 如 图
L(ω dB ϕ(ω)
20
0
-20
-40
§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
L o
ϕ o
90°
-1 1.6 2.78
0°
0.86
-3
-90°
-4
-180°
-60
-80
0.1 1 10
-270°
-360°
2012-3-13 Automatic Control Principle 66/78

将 闭 系 统 的 对 数 频 率 特 性 也 作 在 同 一 图 上 , 结 果 如 下
L(ω dB ϕ(ω)
20
0
-20
-40
§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
L o
L c
ϕ c
ϕ o
90°
-1 1.6 2.78
0°
0.86
-3
-90°
-4
-180°
-60
-80
0.1 1 10
-270°
-360°
2012-3-13 Automatic Control Principle 67/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
比 较 开 环 系 统 和 闭 环 系 统 的 Bode 图 , 可 知
(1) 低 频 段
L c (ω) 趋 于 0 dB 线
ϕ c (ω) 趋 于 0°
(2) 高 频 段
L c (ω) 趋 于 L o (ω)
ϕ c (ω) 趋 于 ϕ o (ω)
L(ω dB ϕ(ω)
20
0
-20
-40
L o
L c
ϕ c
ϕ o
-1 1.6 2.78
0.86
-3
-4
-60
-80
0.1 1 10
90°
0°
-90°
-180°
-270°
-360°
2012-3-13 Automatic Control Principle 68/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
比 较 开 环 系 统 和 闭 环 系 统 的 Bode 图 , 可 知
(3) 中 频 段
L c (ω) 产 生 了 谐
振 峰 值 M (ω r )。
L(ω dB ϕ(ω)
20
0
-20
-40
L o
L c
ϕ c
ϕ o
90°
-1 1.6 2.78
0°
0.86
-3
-90°
-4
-180°
-60
-80
0.1 1 10
-270°
-360°
2012-3-13 Automatic Control Principle 69/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
闭 环 频 率 特 性 的 定 性 分 析
在 单 位 负 反 馈 的 情 况 下 , 系 统 的 闭 环 频 率 特 性 为
(1) 低 频 段
G
c
(
jω)
=
G
o
1+
G
( jω)
o
( jω)
Bode 图
G
c
(
jω)
G
( jω)
( jω)
o
o
ω→0 =
ω→0
≈ =
1+
Go
( jω)
G ( jω
) >> 1 Go
( jω)
o
G
1
故 有 L c (ω) 趋 于 0 dB 线 , ϕ c (ω) 趋 于 0°
2012-3-13 Automatic Control Principle 70/78

(2) 高 频 段
§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
闭 环 频 率 特 性 的 定 性 分 析
G
c
(
jω)
ω→∞
=
G
o
1+
G
( jω)
o
( jω)
G
ω→∞
o
( jω
)

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
(3) 中 频 段
在 中 频 段 , 闭 环 对 数 频 率 特 性 明 显 大 于 0 dB, 特 别
是 在 ω =ω r 时 , 出 现 典 型 峰 状 , 称 为 谐 振 峰 值 M (ω r )。
谐 振 峰 值 M(ω r ) 分 析
谐 振 峰 与 系 统 稳 定 性 密 切 相 关 。 系 统 稳 定 性 可 用 开 环
稳 定 裕 度 描 述 , 故 有 : 系 统 的 开 环 裕 度 越 小 , 闭 环 谐
振 峰 值 越 大 , 反 之 , 闭 环 谐 振 峰 值 越 小 , 甚 至 没 有 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 72/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
闭 环 频 率 特 性 的 定 性 分 析
定 义 5.5.1 系 统 开 环 对 数 幅 频 特 性 L o (ω ) 过 0 dB 线 时 的 频 率
ω =ω c , 称 之 为 开 环 截 止 频 率 。 即
L ( ω ) =
o
c
0
dB
定 义 5.5.2 系 统 开 环 对 数 相 频 特 性 ϕ o (ω ) 过 -180 0 线 时 的
频 率 ω =ω g , 称 之 为 开 环 穿 越 频 率 。 即
ϕ o
( ω g
) = −180
0
2012-3-13 Automatic Control Principle 73/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
系 统 稳 定 性 分 析
当 ω c < ω g 时 , 系 统 稳 定 ;
( 见 右 图 )
L(ω)
0dB
20lgK
ω c ω g
ω
L g
当 ω c = ω g 时 , 系 统 临 界 稳 定 ;
0°
ω
当 ω c > ω g 时 , 系 统 不 稳 定 。
-180°
γ c
ϕ(ω)
2012-3-13 Automatic Control Principle 74/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
谐 振 峰 值 M(ω r ) 分 析
由 谐 振 峰 值 与 开 环 稳 定 裕 度 的 关 系 可 知 :
对 于 稳 定 系 统 , 若 ω c 接 近 于 ω g , 系 统 稳 定 性 差 , 则
闭 环 谐 振 峰 值 M(ω r ) 会 增 大 。 反 之 , 若 ω c 远 离 于 ω g , 则
闭 环 谐 振 峰 值 M(ω r ) 会 减 小 直 至 没 有 。
当 ω c =ω g 时 , 系 统 临 界 稳 定 。 有 谐 振 峰 值 M(ω r )→∞
可 见 , 稳 定 系 统 M (ω r ) 的 出 现 与 ω c 和 ω g 关 系 密 切 。
2012-3-13 Automatic Control Principle 75/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
例 5.5-2 开 环 对 数 幅 频 特 性 如 图 所 示 , 试 作 系 统 的 闭 环
频 率 特 性 草 图 , 并 确 定 系 统 是 否 产 生 闭 环 谐 振 峰 值 。
解 :ω →0,
在 低 频 段 有 :
在 高 频 段 ,L o (ω) 斜 率 为
26dB
0d
L o
L c
0
-1
2 10
ω c =20
-2
ω
-2, 当 ω →∞ 时 , 有
2012-3-13 Automatic Control Principle 76/78

谐 振 峰 值 分 析 :
§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
由 ω c = 20 可 计 算 得 相 位 裕 度 :
γ c =32.3°
可 知 系 统 有 闭 环 谐 振 峰 值 ,
但 不 大 。
由 于 闭 环 系 统 为 二 阶 系 统 ,
因 此 计 算 得 :
M
r
( ω ) = 1.79
r
26dB
0d
L o
L c
0
-1
2 10
ω c =20
ω r =19.6
M r =1.79
-2
ω
2012-3-13 Automatic Control Principle 77/78

§5.5 闭 环 频 率 特 性 分 析
作 业
On Page 199-200. 5-7,5-9,5-10
2012-3-13 Automatic Control Principle 78/78

自 动 控 制 原 理
第 五 章
频 域 分 析 法
主 讲 : 乔 俊 飞
教 授
单 位 : 北 京 工 业 大 学 电 控 学 院
2012-3-13

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
引 言
系 统 分 析 工 具 —— 波 德 ( Bode ) 图 ;
可 解 决 问 题 : 系 统 稳 定 性 、 动 态 性 能 、 稳 态 性 能 等 。
频 域 性 能 指 标 与 时 域 性 能 指 标 有 一 定 的 对 应 关 系 , 有
些 指 标 有 严 格 的 数 学 关 系 , 有 些 指 标 只 是 定 性 的 对 应
关 系 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
2

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
5.6.1 频 率 特 性 的 基 本 性 质
❶ 频 域 描 述 与 时 域 描 述 的 反 比 性 质
已 知 两 个 系 统 的 传 递 函 数 分 别 为 G 1 (s)、G 2 (s) , 两 者
之 间 的 关 系 为
G
( s)
= G1
( α )
2
s
则 两 系 统 频 率 特 性 分 别 为 G 1 ( jω)、G 2 ( jω) , 也 满 足
G
2( jω)
= G1
( jαω)
2012-3-13
Automatic Control Principle
3

2012-3-13
§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
系 统 G 1 ( jω)、G 2 ( jω) 的 频 率 特 性 如 图 所 示
可 以 看 出 : 如 果 G 1 ( jω)
的 Bode 图 已 知 , 那 么
G 2 ( jω) 的 Bode 图 只 是
G 1 ( jω) Bode 图 的 伸 缩 ,
即 :G 1 ( jω) 的 频 带 宽 度
是 G 2 ( jω) 的 α 倍 。
dB
+6
0
-6
-12
0°
-90°
-180°
ϕ 2 (ω)
1 2
L 2 (ω)
ϕ 1 (ω)
L 1 (ω)
Automatic Control Principle
ω
4

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
设 G 1 (s) 的 阶 跃 响 应 为 : C s
则 G 2 (s) 的 阶 跃 响 应 为 :
1
( ) = G ( s)
⋅
s
1 1
1
1
C2 ( s)
= G2
( s)
⋅ = α ⋅G1
( α s)
⋅ = α ⋅C1(
α s)
s
αs
根 据 Laplace 变 换 的 时 间 尺 度 定 理 :
t
L[ f ( )] = aF( as)
a
可 知 两 系 统 的 时 间 响 应 关 系 为 :
t
c2 ( t) = c1
( )
α
2012-3-13
Automatic Control Principle
5

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
两 系 统 的 阶 跃 响 应 为 :
c(t)
t p1 t p2 =2t p1
dB
+6
0
-6
-12
0°
1 2
L 2 (ω)
L 1 (ω)
ω
c 1 (t) c 2 (t)
ϕ 2 (ω) ϕ 1 (ω)
-90°
t s1 t s2 =2t s1 t
0
-180°
G 1 (s) 比 G 2 (s) 的 频 带 宽 2 倍 , 时 间 响 应 就 加 快 2 倍 , 频 域 描
述 与 时 域 描 述 成 反 比 。
2012-3-13
Automatic Control Principle 6

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
❷ L(ω) 与 ϕ(ω) 的 一 一 对 应 性 质
对 于 最 小 相 位 系 统 , 可 以 证 明 , L(ω) 与 ϕ(ω) 有 严 格 对
应 关 系 , 说 明 如 下 。
1 在 全 频 宽 度 上 , 若 L(ω) 的 斜 率 恒 为 常 数 ±k • 20 dB/dec,
则 ϕ(ω) 也 为 恒 值 相 位 角
±k •π/2,k = 0, 1, 2, ……
2012-3-13
Automatic Control Principle
7

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
例 如 传 递 函 数
G( s)
=
1
ν
s
当 v = 0, 1, 2 时 的
Bode 图 。
L(ω)
0dB
0dB/dec
ϕ(ω)
0°
-90°
-180°
-20dB/dec
ν=0
-40dB/dec
ν=0
ν=1
ν=2
ω
ν=1
ν=2
ω
2012-3-13
π
± k ⋅ 20 dB/ dec → ± k ⋅ , k = 1,2,
2
Automatic Control Principle
8

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
2 如 果 L(ω) 在 某 一 段 频 带 宽 度 内 的 斜 率 不 是 常 数 , 则 在
某 一 角 频 率 下 ϕ(ω) 的 大 小 除 了 决 定 于 该 角 频 率 下 L(ω) 斜
率 主 值 之 外 , 还 要 受 到 该 频 率 段 之 外 的 各 转 折 频 率 的
影 响 。 近 者 影 响 大 , 远 者 影 响 小 。
ϕ(
ω )
c
ϕ(
ω )
c
= −90
= −90
+
+
arctan
arctan
1
5ω
1
5ω
c
c
⋅ω
⋅ω
c
c
0dB
L(ω)
ω 1 =5ω c
ω 2 =10ω c
ω c ω 1 ω 2 ω
-20dB/dec 0dB/dec
2012-3-13
Automatic Control Principle
9

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
频 率 特 性 的 两 个 重 要 性 质 :
性 质 1 确 定 了 时 频 关 系 中 的 伸 缩 尺 度 关 系 , 从 而 为 在
频 域 中 研 究 时 域 运 动 奠 定 了 基 础 。
性 质 2 对 于 最 小 相 位 系 统 , 简 化 了 频 域 描 述 方 法 。 由
于 开 环 对 数 频 率 特 性 L(ω) 可 以 利 用 折 线 关 系 顺 利
地 作 出 , 而 对 数 频 率 特 性 ϕ(ω) 相 对 地 作 图 准 确 性
要 差 。 因 此 , 对 于 最 小 相 位 系 统 , 由 性 质 2 省 略
ϕ(ω) 作 图 也 可 以 完 成 系 统 的 频 域 分 析 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
10

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
5.6.2 由 开 环 频 率 特 性 确 定 系 统 的 稳 态 性 能
用 开 环 频 率 特 性 的 低 频 段 确 定 闭 环 系 统 的 稳 态 性 能 :
❶ 低 频 段 的 斜 率 确 定 了 系 统 的 无 差 度
G
j
o ( ω)
ω→0
=
(
K
o
jω)
ν
ν=2 -2
-1
ν=1
ν=0 -1
0 ω c
0dB
ω
可 见 , 低 频 段 的 斜 率 可 以 确 定 系 统 的 无 差 度 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
11

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
❷ 低 频 段 的 高 度 确 定 了 系 统 开 环 增 益 K o 的 大 小 , 进 而 确
定 了 有 差 系 统 的 误 差 大 小 。
20lgK 0
-2
0dB
0dB
-1
-1
ω c
K 0
ω I
ω
ω
0dB
-2
K
0
ω II
-1
ω
2012-3-13
Automatic Control Principle
12

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
系 统 的 开 环 频 率 特 性 为
m1
m2
∏ τ k s ∏
2 2
( + 1) ( τ l s + 2ζ
lτ
ls
+ 1)
Ko
k = 1
l=
1
G o ( jω)
= ⋅
ν n1
n2
s=
jω
s
∏ Ti
s + ∏
2 2
( 1) ( T j s + 2ζ
jTs
+ 1)
i=
1
j=
1
其 中 :
2012-3-13
G
K
= )
s
n
o
⋅G
ν n ( s s=
jω
( s)
=
m1
∏
k = 1
n1
∏
i=
1
( τ s + 1)
k
( T s + 1)
i
m2
∏
l=
1
n2
∏
j=
1
( τ
( T
2
l
2
j
s
s
2
2
+ 2ζ
lτ
ls
+ 1)
+ 2ζ
Ts + 1)
j
Automatic Control Principle
13

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
在 频 率 特 性 的 低 频 段 有
G
j
o ( ω)
ω→0
=
因 此 , 其 对 数 幅 频 特 性 为
K
o
ν
( jω)
L o
( ω)
20lg K −ν
⋅ 20lgω
=
o
式 中 , 由 开 环 增 益 大 小 决 定 的 低 频 段 高 度 ;
20lg K o
− ν ⋅20lgω
由 无 差 度 v 决 定 的 高 度 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
14

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
开 环 增 益 的 计 算 K o
0 型 系 统
低 频 段 的 高 度 为
I 型 系 统
20lg K o
20lgK 0
0dB
-1
ω c
ω
假 设 L o (ω) 低 频 段 的 延 长 线 穿 过 0
dB 线 时 的 频 率 为 ω I , 则 有
L
o
( ω)
20lg K − 20lgω
=
ω
2012-3-13
=
o
ω=
ω
= ωI
I
于 是 有 :K o = ω I 。
0dB
0dB
-1
-2
K 0
ω I
Automatic Control Principle
ω
15

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
II 型 系 统
假 设 L o (ω) 低 频 段 的 延 长 线 穿 过 0
dB 线 时 的 频 率 为 ω II , 则 有
L
o
( ω)
ω
= 20lg Ko
− 2⋅20lgω
ω=
= ωII
ωII
= 0dB
0dB
-2
K
0
ω II
-1
ω
于 是 有 :
K o
2
= ω II
2012-3-13
Automatic Control Principle
16

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
5.6.3 由 开 环 频 率 特 性 确 定 系 统 的 动 态 性 能
在 频 域 中 讨 论 系 统 动 态 性 能 , 对 时 域 来 说 一 阶 系 统 、
二 阶 系 统 有 准 确 的 对 应 关 系 , 但 三 阶 以 上 的 系 统 很 难 找
到 准 确 的 对 应 关 系 。 因 此 , 频 域 分 析 多 是 定 性 的 描 述 。
❶ 幅 值 裕 度 L g 与 相 位 裕 度 γ c
幅 值 裕 度 L g 与 相 位 裕 度 γ c 不 仅 确 定 了 系 统 的 绝 对 性 ,
而 且 确 定 了 系 统 的 相 对 稳 定 性 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
17

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
最 小 相 位 系 统 稳 定 的 条 件 是 :
L g > 0 dB,γ c > 0°
考 虑 其 平 稳 性 , 幅 值 裕 度 L g 与 相 位 裕 度 γ c 则 应 该 满 足 :
1 相 位 裕 度 γ c 一 般 不 要 小 于 30°。
2 幅 值 裕 度 L g 一 般 不 要 小 于 6 dB。
γ c 与 时 域 指 标 相 关 : γ c 越 大 → M p 越 小
二 阶 系 统 γ c 与 时 域 指 标 M p 有 严 格 的 解 析 表 达 式 对 应 ,
但 是 高 阶 系 统 不 容 易 求 得 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
18

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
例 5.6-1 已 知 单 位 反 馈 的 二 阶 系 统 如 图 所 示 , 其 开 环 传 递
函 数 为
G
之 间 的 关 系 。
o
解 : 开 环 频 率 特 性
-
G
o
( jω)
=
2012-3-13
( s)
=
2
ωn
s( s + 2ζω
)
2
ωn
( jω)( jω + 2ζω
)
ωn
= ⋅
2ζ
( jω)(1
+
n
n
1
1
j
2ζω
确 定 其 相 位 裕 度 γ c 与 阻 尼 比 ζ
n
ω)
R(s)
=
+ ( 2 )
1
⋅
2ζ
(
s
n
Automatic Control Principle
s
2
ωn
+ ζω
1
ω
j )(1 + j
ω
n
1 ω
)
2ζ
ω
n
C(s)
19

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
由 开 环 频 率 特 性
G
o
( jω)
其 折 线 对 数 幅 频 特 性 如 下
=
1
⋅
2ζ
(
1
ω
j )(1 + j
ω
n
1 ω
)
2ζ
ω
n
ζ=0.2
ζ=0.5
ζ=0.707
0dB
-1
1
-2
ω
ω n
开 环 增 益 、 转 折 频 率 及 相 位 裕 度 γ c 都 是 ζ 的 函 数 。
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Automatic Control Principle
20

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
由 A(ω)=1, 计 算 开 环 截 止 频 率 ω c
2
ω
ω ω + ( 2ζω
)
n
2 2
c c n
=
1
⇒
ω
c
= ω
n
4 2
1+
4ζ
− 2ζ
由 于 ω c 处 的 相 位 角 为
ϕ( ω ) = −90
− arctan
则 相 位 裕 度 与 阻 尼 比 的 关 系 为
c
1
2ζω
n
ω
c
γ
c
= 180 + ϕ(
ωc
)
=
arctan
1+
2ζ
4ζ
4
−
2ζ
2
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Automatic Control Principle
21

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
根 据 相 位 裕 度 与 阻 尼 比 的 关 系
可 绘 出 二 者 之 间 的 关 系 曲 线
结 论 :
γ
c
= arctan
90°
1+
2ζ
4ζ
4
−
2ζ
2
二 阶 系 统 : 小 的 γ c 对 应 小 的 ζ,
对 应 于 大 的 M p 。
由 于 L g 的 计 算 不 及 γ c 方 便 , 因
此 在 系 统 分 析 时 经 常 使 用 γ c 。
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γ c
60°
30°
0°
0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
ζ
Automatic Control Principle
22

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
❷ 开 环 截 止 频 率 ω c 与 闭 环 系 统 的 频 带 宽 度 ω b
ω c 是 L(ω) = 0 dB 时 的 频 率 。
由 频 率 特 性 的 性 质 可 知 :
L(ω)
0dB
-2
-1
ω c
ω
频 率 、 时 间 反 比 。
-2 -3
可 见 , 开 环 截 止 频 率 ω c 可 以 描 述 闭 环 系 统 的 快 速 性 。 即
ω c 小 , 则 系 统 响 应 慢 ;
ω c 大 , 则 系 统 响 应 快 。
2012-3-13
Automatic Control Principle
23

2012-3-13
§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
例 5.6-2 已 知 二 阶 系 统 的 开 环 对 数 幅 频 特 性 如 图 所 示 , 试
求 其 对 应 的 时 域 阶 跃 响 应 的 调 节 时 间 。
解 : 可 以 设 开 环 传 递 函 数
G
o
( s)
=
ωc
1
s( 1+
s)
2ω
闭 环 特 征 方 程
c
ω
n
s
2
2 ω
+ s c c
可 知 , 无 阻 尼 振 荡 频 率 和 阻 尼 比 分 别 为
= 2 ω , ζ =
c
L(ω) -1
ω c 2ω c
0dB
-2ω
2
+ 2 ω = 0
1
2
Automatic Control Principle
24

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
系 统 跃 响 应 的 调 节 时 间 为
3 3
ω
t = s
ζω
=
n c
可 知 , 二 阶 系 统 的 调 节 时 间 与 开 环 截 止 频 率 ω c 成 反 比 。
对 于 高 阶 系 统 , 同 样 呈 反 比 性 质 。 经 验 关 系 式 为
t s
~
ωc c
= 4 9
ω
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Automatic Control Principle
25

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
开 环 截 止 频 率 ω c 的 另 一 个 重 要 作 用 是 :
可 确 定 闭 环 系 统 闭 环 频 率 特 性 的 频 带 宽 度 ω b
闭 环 系 统 频 带 宽 度 ω b 定 义
闭 环 频 率 特 性 的 幅 值 由 1 衰 减 至 0.707 时 的 频 率 称 为 闭
环 系 统 的 频 带 宽 度 ω b , 或 者 闭 环 对 数 幅 频 特 性 的 幅 值
下 降 3 dB 所 对 应 的 频 率 为 ω b , 如 图 所 示 。
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Automatic Control Principle
26

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
物 理 意 义 : 输 入 信 号 中 , 低 于 ω b
的 频 率 分 量 全 部 可 以 从 系 统 的 输
入 端 传 递 到 输 出 端 , 而 高 于 ω b 的
频 率 分 量 将 会 被 不 同 程 度 地 衰 减 。
1
A(ω)
0 ω b
0.707
一 般 情 况 下 , 系 统 的 开 环 截 止 频 率 ω c 决 定 了 闭 环 频 带
宽 度 ω b 。 单 积 分 系 统 :ω b = ω c
上 的 高 阶 系 统 : ω b 一 般 要 大 于 ω c
用 开 环 截 止 频 率 估 算 ω b , 即 ω b ≈ ω c
; 对 于 二 阶 或 二 阶 以
, 但 相 差 不 大 , 可 以
ω
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Automatic Control Principle
27

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
结 论 : 闭 环 频 率 宽 度 ω b 越 宽 , 允 许 通 过 的 频 谱 分 量 就 越
多 , 系 统 阶 跃 响 应 的 上 升 沿 就 会 越 陡 峭 。 因 此 , 闭 环 频
率 宽 度 ω b 决 定 了 系 统 的 快 速 性 。
❸ 中 频 段 穿 越 斜 率 v c 和 中 频 段 宽 度 h
中 频 段 :0 dB 线 上 下 约
15 dB 范 围 内 的 频 率 段 。
L(ω) -2
0dB
ω 2
h =
ω
1
中 频 段 宽 度
-1
ω c ω +15dB
-15dB
-2 -3
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ω 1 ω 2
Automatic Control Principle
28

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
中 频 段 穿 越 斜 率 ν c :
ω c 所 对 应 的 频 率 段 L(ω)
的 斜 率 。
中 频 段 宽 度 h:
ω c 所 对 应 的 频 率 段 两 端
转 折 频 率 之 比 。 即
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ω2
h =
ω
1
L(ω)
0dB
L(ω) -1
0dB
νc =-1
-2
中 频 段 斜 率
ω 2
h =
ω
1
-1
ω c ω +15dB
-15dB
-2 -3
ω 1 ω 2
ω c
-2ω
ω 1
中 频 段 宽 度
Automatic Control Principle
29

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
由 Nyquist 稳 定 判 据 知 , 稳 定 系 统 的 相 位 裕 度 γ c > 0° 。
由 频 率 特 性 性 质 可 知 , 中 频 段 穿 越 频 率 ν c = -2 时 , 意
味 着 基 本 相 位 角 为 -π, 系 统 处 于 临 界 稳 定 。 由 于 ω c 受 附
近 的 转 折 频 率 的 影 响 , 因 此 一 般 不 能 取 v c = -2。
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Automatic Control Principle
30

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
对 于 高 阶 系 统 , 有 :
1 如 果 L(ω) 在 ω c 处 的 穿 越 斜 率 保 持 为 ν c = -1, 且 保 持
一 定 的 中 频 段 宽 度 h, 一 般 h > 5, 可 以 保 证 相 位 裕 度 γ c
> 0° , 系 统 一 定 是 稳 定 的 , 且 动 态 性 能 比 较 好 。
穿 越 斜 率 ν c = -1
中 频 段 宽 度 h = 9 > 5
相 位 裕 度 γ c > 50°
动 态 性 能 好 。
2012-3-13
L(ω) -2
0dB
-1
h=9
ω c
ω
-2 -3
ω 1 =1/3ω c ω 2 =3ω c
Automatic Control Principle 31

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
2 如 果 L(ω) 在 ω c 处 的 穿 越 斜 率 为 ν c = -2, 那 么 , 系 统 或 者
是 不 稳 定 的 , 或 者 即 使 是 稳 定 的 , 其 平 稳 性 也 极 差 , 会
有 较 大 的 振 荡 产 生 。
穿 越 斜 率 ν c = -2< -1
相 位 裕 度 γ c = 0°
临 界 稳 定
0dB
-1
ω c
-2
1/2ω c 2ω c
ω
-3
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Automatic Control Principle
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§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
3 即 使 L(ω) 在 ω c 处 的 穿 越 斜 率 为 -1, 而 两 端 的 衔 接 频 率
ω 1 、ω 2 很 近 , 也 就 是 说 , 不 能 保 持 中 频 段 宽 度 h 为 足 够
的 宽 度 , 那 么 , 系 统 的 动 态 性 能 也 是 比 较 差 的 。
穿 越 斜 率 ν c = -1
中 频 段 宽 度 h = 2.25 < 5
相 位 裕 度 γ c < 30°
动 态 性 能 差
0dB
-1
-2
ω c
1/3ω c -1
1/1.5ω c 1.5ω c
h=2.25
3ω c ω
-2 -3
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Automatic Control Principle
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§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
4 高 频 段 衰 减 率 ν h
高 频 段 衰 减 率 ν h 就 是 L(ω) 在 高 频 段 的 斜 率 , 在 波 德 图 上
以 每 10 倍 频 分 贝 数 表 示 , 即
高 频 段 斜 率 =v h • 20 dB/dec
高 频 段 衰 减 率 如 图 所 示 :
-2
0dB
ω 1
-1
ω c ω 2 ω 3
-2
ν h =-60dB/dec
-3
ω
2012-3-13
Automatic Control Principle
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§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
证 明 : 由 于 系 统 的 开 环 传 递 函 数 为
G
K
s
m1
∏
∏
i=
1
( τ s
+ 1)
∏
k
o k = 1
l=
1
o( s)
= ⋅
ν n1
n2
( T s
i
+ 1)
m2
∏
j=
1
( τ
( T
其 中 :m 1 + 2m 2 = m,v + n 1 + 2n 2 = n 。
2
l
2
j
s
s
2
2
+
+
2ζ
τ s
l
2ζ
T
j
l
j
+ 1)
s + 1)
将 s = jω 代 入 G o (s), 当 ω → ∞ 时 , 有 :
2012-3-13
G
o
( jω)
≈ ω→∞
K
s
n−m
Automatic Control Principle
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其 中 :
§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
K =
K
o
⋅
n
1
∏
i=
1
m
1
∏
k = 1
T
i
τ
⋅
k
n
⋅
2
∏
j=
1
m
2
∏
l=
1
频 率 特 性 的 高 频 段 幅 频 特 性 为 :
高 频 段 衰 减 率 为 :
L( ω)
ω
= 20lg K − ( n − m)20lg ω
↑↑
T
τ
2
j
2
l
v h
= −(
n − m)
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Automatic Control Principle
36

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
高 频 段 衰 减 率 ν h 反 映 了 L(ω) 对 信 号 频 谱 中 的 高 频 分 量 的
衰 减 程 度 , 反 映 出 系 统 克 服 高 频 干 扰 的 能 力 , 因 此 v h 不
应 太 小 。 对 于 高 阶 系 统 , 高 频 段 衰 减 率 一 般 取 :
ν h
= −2 ~ −5
从 时 域 的 角 度 来 看 , 高 频 段 衰 减 率 将 直 接 影 响 系 统 的
快 速 性 , 也 就 是 影 响 时 间 响 应 曲 线 上 升 的 陡 度 。
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Automatic Control Principle
37

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
例 5.6-3 已 知 系 统 的 开 环 对 数 幅 频 特 性 如 图 所 示 , 试 对
该 系 统 进 行 性 能 分 析
解 :1 稳 态 分 析
26dB
0dB
初 始 段 斜 率 ν = 0,0 型 系 统 。
阶 跃 响 应 有 稳 态 误 差 , 大 小 为 :
0
-1 ω c =20
ω
2 10
-2
γ c =32.3°
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e
ss
A
= 1+ K
A 是 阶 跃 信 号 的 幅 值 ,K o 是 开 环 增 益 。
o
K o
26
= lg −1
=
20
20
Automatic Control Principle
38

§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
2 动 态 性 能 分 析 0
由 对 数 幅 频 特 性 图 可 知 :
ω c
= 20
对 应 有 相 位 角 :
相 位 裕 度 为 :
ϕ( 20) = −147.7
26dB
0dB
-1
2 10
γ c =32.3°
ω c =20
-2
ω
γ c
= ϕ
180 + (20) =
32.3
γ c > 0°, 系 统 稳 定 , 但 阶 跃 响 应 有 一 定 的 振 荡 。
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Automatic Control Principle
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§5.6 开 环 频 率 特 性 分 析
作 业
On Page 200. 5-11,5-12,5-15
实 验
老 师 : 陈 梅 莲
地 点 : 综 合 楼 910
电 话 :67392406
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