La Sezione Aurea

Irrazionalità di phi
Si racconta che quando il matematico greco Ippaso di Metaponto scoprì che il rapporto aureo non
appartiene né all’insieme degli interi né a quelli dei rapporti tra gli interi, tale novità fu un vero
trauma per i seguaci di Pitagora. L’idea dell’esistenza di simili numeri fu accolta con grande
angoscia, considerandola il segno di un’imperfezione cosmica da tenere il più possibile segreta.
Il fatto che la sezione aurea non si possa esprimere per mezzo di una frazione, cioè come numero
razionale, significa che è impossibile trovare due numeri interi il cui rapporto corrisponda
esattamente al rapporto delle lunghezze dei due segmenti risultanti dalla divisione del segmento di
partenza. Dal punto di vista geometrico, trovare due numeri del genere significherebbe trovare un
segmento che sia contenuto un numero intero di volte in entrambi i segmenti. Ma per quanto
cercassimo, un segmento con questa proprietà non potremmo trovarlo.
Si può dimostrare l’irrazionalità di φ dimostrando l’incommensurabilità del lato e della diagonale di
un pentagono regolare (questi segmenti sono infatti in sezione aurea).
Dimostrazione:
Vogliamo dimostrare che la diagonale e il lato del pentagono sono incommensurabili, che non
hanno cioè nessuna misura in comune. Si perviene alla dimostrazione sfruttando il fatto che è
possibile costruire una serie di pentagoni e pentagrammi inseriti gli uni dentro agli altri
proseguendo indefinitamente; inoltre si parte da un ragionamento per assurdo.
Fig. 10
Si consideri la figura 10. Chiamiamo l1 il lato del pentagono ABCDE, e d1 la sua diagonale. Tramite
le proprietà dei triangoli isosceli, è facile provare che AB=AH e HC=HJ. Chiamiamo poi l2 il lato
del piccolo pentagono FGHIJ, e d2 la sua diagonale.
Evidentemente:
Perciò
E
D
J
A
F G
AC=AH+HC=AB+HJ
d1= l1+d2 ovvero d1-l1=d2
Dire che d1 e l1 hanno una misura in comune equivale a dire che d1 e l1 sono multipli interi di quella
misura. Perciò, tale misura sarà comune anche a d1-l1 cioè a d2. In modo simile, le uguaglianze
I
H
C
B
10