La Sezione Aurea

Si consideri ora un tipo di entità matematiche note come frazioni continue, in particolare la frazione
continua
Si indichi con x il valore assunto da tale frazione:
1
1+
1
1+
1
1+
1
1+
1+
...
1
x = 1+
1
1+
1
1+
1
1+
1+
...
Si nota che il valore del denominatore della frazione membro di destra è uguale a x stesso. Come
nel caso precedente, togliere il primo termine di una sequenza illimitata di termini uguali, dà origine
a una sequenza indistinguibile da quella primitiva. Quindi si avrà:
x
= 1+
Ancora una volta ci si è ricondotti all’equazione che esprime il valore del rapporto aureo; ciò ci
permette di concludere che il valore di questa funzione continua corrisponderà a φ.
Questa frazione non contiene numeri all’infuori di 1 e converge perciò molto lentamente a φ. In un
certo senso il rapporto aureo “resiste” alla propria espressione sotto forma di frazione più di
qualunque altro numero irrazionale, e perciò viene anche detto “il più irrazionale” degli irrazionali.
Fibonacci e la sezione aurea
1
x
La storia della sezione aurea è strettamente legata al nome di un
grande matematico italiano del Duecento, Leonardo da Pisa più
conosciuto come Leonardo Fibonacci. Egli fu l’autore
dell’importante trattato di matematica Liber abaci, che permise
la diffusione in tutta Europa delle cifre indo-arabe. Questo
metodo di notazione era superiore agli altri in quanto era basato
sul principio di valore dipendente dalla posizione delle cifre nel
numero (al contrario, ad esempio, della notazione romana). Il
Liber abaci diede notorietà al suo autore tanto che Federico II lo
volle alla sua corte. La straordinaria padronanza della teoria dei
numeri dimostrata da Fibonacci gli permise di risolvere alcuni
tra i più complessi problemi matematici dell’epoca. Il più
famoso è sicuramente quello tratto dal dodicesimo capitolo del
Liber abaci:
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