La Sezione Aurea

e
danno
ovvero
AG=HC=HJ
AH=AB
AH=AG+GH
AB=HJ+GH
l1= l2+d2
l1-d2=l2
Poiché in base alle ipotesi, la misura comune di l1 e d1 è anche comune a d2, l’ultima uguaglianza
dimostra che è anche comune a l2. Abbiamo quindi provato che l’unità di misura comune a l1 e a d1
è anche comune a l2 e d2. Questo ragionamento può essere ripetuto indefinitamente, per pentagoni
sempre più piccoli. Di conseguenza, la stessa unità di misura che il lato e la diagonale del
pentagono più grande hanno in comune, l’avrebbero in comune il lato e la diagonale di tutti gli altri
pentagoni, per quanto piccoli. Poiché ciò è impossibile sebbene la deduzione sia impeccabile,
dobbiamo concludere che l’ipotesi di partenza – che il lato e la diagonale del pentagono abbiano
un’unità di misura comune – è falsa; ovvero è dimostrata, per assurdo, l’incommensurabilità tra l1 e
d1.
Il valore di φ
Per calcolare il valore della sezione aurea (che come si è appena dimostrato è un numero
irrazionale) si consideri la definizione geometrica di tale concetto. Sia a la misura di un segmento:
la misura x della sua sezione aurea si può ricavare dalla proporzione
Da cui
x
2
= a(
a − x)
→ x
a : x = x : ( a − x)
2
+ ax − a
2
− a ± a
= 0 → x =
2
Esclusa la soluzione negativa, si ha che la parte aurea di un segmento di misura a è
5 −1
a
2
Quindi il rapporto aureo (il rapporto tra un segmento e la sua sezione aurea) vale
ϕ =
a
=
5 −1
a
2
2
=
5 −1
5
5 + 1
= 1,
6180339887...
2
È facile constatare che φ è irrazionale essendo semplicemente la metà della somma di 1 e della
radice quadrata di 5 (un numero irrazionale).
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