La Sezione Aurea

Siccome in un triangolo isoscele i due angoli adiacenti alla base hanno la stessa ampiezza, gli angoli
alla base dei due triangoli laterali sono uguali a metà di (180°-108°), cioè a 36°. Pertanto otteniamo
per gli angoli del triangolo centrale i valori di 36°, 72° e 72°. Bisecando uno dei due angoli di 72°,
come mostrato in figura 4b, otteniamo un triangolo più piccolo con gli stessi angoli di 36°, 72° e
72°. Il triangolo appena costruito CDB è perciò simile al triangolo di partenza ADB e si avrà
quindi:
AD:DB=DB:BC.
Sempre per il fatto che i triangoli sono isosceli, abbiamo: DB=DC=AC.
Dalle uguaglianze precedenti, ricaviamo:
AC:BC=AB:AC,
il che significa, per la definizione di sezione aurea, che il punto C divide il segmento AB secondo il
rapporto aureo.
Poiché AD=AB e DB=AC, abbiamo anche che AD/DB= φ.
In altre parole in un pentagono regolare il rapporto tra la diagonale e il lato è un rapporto aureo.
Questo dimostra che la capacità di costruire una linea divisa secondo il rapporto aureo costituisce
nello stesso tempo un semplice sistema per la costruzione di un pentagono regolare. Il triangolo
centrale della figura 4a è noto come triangolo aureo, mentre i due triangoli laterali, con un rapporto
del lato con la base pari a 1/φ, sono talvolta chiamati gnomoni aurei. In figura si può inoltre notare
una singolare proprietà del triangolo aureo e degli gnomoni aurei: entrambi possono essere
scomposti in triangoli più piccoli, che sono a loro volta triangoli aurei e gnomoni aurei.
Dalla definizione di triangolo aureo è facile
desumere che il lato di un decagono regolare è la
sezione aurea del raggio della circonferenza
circoscritta (figura 5). Infatti possiamo dividere il
decagono in 10 triangoli isosceli che hanno per lato
il raggio della circonferenza e per base ciascuno dei
lati del poligono. Questi triangoli hanno l’angolo al
vertice ampio 360°/10=36° e quindi ciascuno dei
due angoli alla base di misura 72°. I triangoli
costruiti sono perciò triangoli aurei.
Rettangoli aurei
Fig. 5
Un’altra particolare figura geometrica è il cosiddetto
rettangolo aureo, che ha avuto grande influenza sull’arte. Si
chiama rettangolo aureo il rettangolo avente un lato che è
sezione aurea dell’altro (figura 6).
Fig. 6
7