La Sezione Aurea

Ciò è facilmente deducibile partendo dalla proporzione di definizione
da cui si ricava
Si otterrà così l’equazione
a = ϕx
a
x
x
=
a − x
= ϕ
ϕx
x 1
→ = → ϕ =
x ϕx
− x ϕ −1
ϕ
2
−ϕ −1
= 0
la cui soluzione positiva è il valore di φ.
Da questa equazione sono immediate le considerazioni
2
1
ϕ = ϕ + 1 e = ϕ −1
ϕ
che giustificano la proprietà dei valori φ, φ 2 e φ -1 di avere la medesima parte decimale.
Ma ancora più curiosi sono altri due metodi per calcolare il valore di φ.
Si consideri la seguente espressione consistente in radici quadrate nidificate che si succedono
indefinitamente
Calcoliamo il valore x tale per cui si abbia
x =
1 + 1+
1+
1+
1+
...
1 + 1+
1+
1+
1+
...
Si elevino al quadrato entrambi i membri dell’equazione, di modo da avere
x
2
= 1+
1+
1+
1+
1+
...
Si noti però che il secondo addendo del membro di destra è uguale a x, perché essendo infinita la
serie di operazioni “aumento di 1 ed estrazione della radice quadrata”, il fatto di averne tolta una è
indifferente. Perciò
2
x =1+
Ma questa non è altro che l’equazione del rapporto aureo, e il valore di x corrisponderà a quello di
φ.
x
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