De Dirac vergelijking

More documents

Recommendations

Info

1. Een scalair f(¯x) transformeert onder een Lorentz transformatie als: f(¯x) → f ′ (¯x ′ ) = f(¯x). (A.17) 2. Een pseudo-scalair g(¯x) transformeert onder een Lorentz transformatie als: g(¯x) → g ′ (¯x ′ ) = det Λ g(¯x). (A.18) 3. Een vector v µ (¯x) transformeert onder een Lorentz transformatie als: v µ (¯x) → v ′µ (¯x ′ ) = Λ µ ν v ν (¯x). (A.19) 4. Een pseudo- of axiale vector a µ (¯x) transformeert onder een Lorentz transformatie als: a µ (¯x) → a ′µ (¯x ′ ) = det Λ Λ µ ν a ν (¯x). (A.20) 5. Een spinor ψ(¯x) transformeert onder een Lorentz transformatie als: ψ(¯x) → ψ ′ (¯x ′ ) → S(Λ)ψ(¯x), (A.21) met S(Λ) in vgl. (3.6) gedefinieerd. 6. <strong>De</strong> toegevoegde spinor ¯ψ(¯x) ≡ ψ † (¯x)γ 0 transformeert onder een Lorentz transformatie als: ¯ψ(¯x) → ¯ψ ′ (¯x ′ ) = ¯ψ(¯x)S(Λ) −1 . (A.22) B Gammatrica Uitgaande van de definiërende eigenschappen van de γ-matrices: {γ µ , γ ν } = 2η µν (γ µ ) † = γ 0 γ µ γ 0 , (B.1) kan men heel wat nuttige eigenschappen afleiden. We voeren naast deze matrices ook nog γ 5 ≡ γ 5 in: γ 5 ≡ iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 = − i 4! ε µνρσγ µ γ ν γ ρ γ σ . (B.2) 12
We maakten hier gebruik van het ε-symbool dat gedefinieerd is door ε 0123 = 1 en het verandert van teken bij elke oneven permutatie van de indices, terwijl het het teken behoudt bij elke even permutatie van de indices. In het bijzonder volgt hieruit dat het ε-symbool nul is indien twee of meerdere indices gelijk aan elkaar zijn. Het is niet moeilijk om uit de definitie van de γ 5 matrix en vgl. (B.1) af te leiden dat (γ 5 ) † = γ 5 , (γ 5 ) 2 = 1, {γ 5 , γ µ } = 0, ∀µ ∈ {0, · · · , 3}. (B.3) Hieruit krijgen we nu bv. dat het spoor van een oneven aantal γ-matrices nul is: tr(γ µ 1 γ µ2 · · · γ µ 2n+1 ) = tr((γ 5 ) 2 γ µ 1 γ µ2 · · · γ µ 2n+1 ) = tr(γ 5 γ µ 1 γ µ2 · · · γ µ 2n+1 γ 5 ) = (−1) 2n+1 tr(γ 5 γ 5 γ µ 1 γ µ2 · · · γ µ 2n+1 ) = −tr(γ µ 1 γ µ2 · · · γ µ 2n+1 ), (B.4) waar we in de tweede stap van de cycliciteit van het spoor gebruik maakten om vervolgens 2n + 1 malen het feit dat γ 5 anticommuteert met γ µ te gebruiken. Oefening: Toon aan m.b.v. (B.1), (B.2) en (B.3) dat 1. tr(γ µ γ ν ) = 4η µν . 2. tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(η µν η ρσ − η µρ η νσ + η µσ η νρ ). 3. tr(γ 5 ) = tr(γ 5 γ µ ) = tr(γ 5 γ µ γ ν ) = tr(γ 5 γ µ γ ν γ ρ ) = 0. 4. tr(γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = −4iε µνρσ . Oefening: Toon aan, gebruik makend van de definiërende eigenschappen van de γ-matrices, dat 1. γ µ γ µ = 4. 2. γ µ γ ν γ µ = −2γ ν . 3. γ µ γ ρ γ σ γ µ = 4η ρσ . 4. γ µ γ ρ γ σ γ τ γ µ = −2γ τ γ σ γ ρ . 13
Page 1 and 2: De Dirac vergelijking Alexander Sev
Page 3 and 4: en de 2 × 2 eenheidsmatrix. De α
Page 5 and 6: voldoet. Voor een infinitesimale tr
Page 7 and 8: Het eerste stel oplossingen beschri
Page 9 and 10: 2. Toon aan dat γ 5 u r (⃗p) =
Page 11: Lorentz transformaties waarvoor det

De Dirac vergelijking

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?