De Dirac vergelijking

3 Relativistische eigenschappen
We herschrijven eerst de Dirac vergelijking een beetje. We noemen
γ 0 ≡ β, γ i ≡ βα i , (3.1)
en vatten dit samen met de notatie γ µ met µ ∈ {0, · · · , 3}. We definiëren γ µ door γ µ ≡
η µν γ ν . We hebben dus dat vgl. (2.4) zich vertolkt als:
{γ µ , γ ν } = 2η µν ,
(γ µ ) † = γ 0 γ µ γ 0 , (3.2)
dus γ 0 is hermitisch terwijl γ i , i ∈ {1, 2, 3}, anti-hermitisch zijn. Met deze gammamatrices
kunnen we Dirac vergelijking nog herschrijven als:
i¯hγ µ ∂ µ ψ(¯x) − mcψ(¯x) = 0, (3.3)
of ook nog
i¯h∂/ψ(¯x) − mcψ(¯x) = 0, (3.4)
waar we de notatie A/ invoerden: A/ = γ µ A µ . Hoewel vgl. (3.4) er nu wel covariant uitziet
moeten we dit wel nog aantonen. We stellen dat ψ(¯x) onder een Lorentztransformatie,
vgl. (A.6), lineair transformeert:
ψ(¯x) → ψ ′ (¯x ′ ) = S(Λ)ψ(¯x), (3.5)
met S(Λ) een 4 × 4 matrix. Gebruik makend van vgl. (A.6) en (3.5), vinden we dat de
Dirac vergelijking (3.4) covariant transformeert indien
γ µ Λ ν µ S(Λ) = S(Λ)γ ν , (3.6)
geldt.
Oefening: Toon dit aan.
Deze vergelijking moet nu nog opgelost worden. Hiertoe bekijken we een infinitesimale
Lorentz transformatie:
Λ µ ν = δ µ ν + ε µ ν. (3.7)
Uit vgl. (A.10) volgt dat ε µ ν aan
ε µν = −ε νµ , (3.8)
4