De Dirac vergelijking

More documents

Recommendations

Info

tot de meest algemene vorm voor H (waar we veronderstelden dat H niet afhankelijk is van tijdsafgeleiden): H ψ(⃗x, t) = −i¯hc 3∑ j=1 j ∂ψ(⃗x, t) α + mc 2 βψ(⃗x, t). (2.4) ∂x j Indien α i en β gewone constantes zouden zijn, dan zou vgl. (2.3) niet eens invariant zijn onder rotaties. Dus gaan we een stap verder en beschouwen we de golffunctie ψ(⃗x, t) als een N × 1 matrix en α i en β als N × N constante, dimensieloze, hermitische matrices. We wensen nu dat deze vergelijking consistent is met Einsteins energie-momentum relatie E 2 = ⃗p 2 c 2 + m 2 c 4 die in operator gedaante −¯h 2 ∂ 2 ψ(⃗x, t) ∂t 2 = −c 2¯h 2 ∆ψ(⃗x, t) + m 2 c 4 ψ(⃗x, t), (2.5) wordt. Werken we dit uit m. b. v. vgl. (2.3) en (2.4) dan volgt dat α i en β aan de volgende eisen moeten voldoen: ∀i, j ∈ {1, 2, 3}. Oefening: Toon dit aan. {α i , α j } ≡ α i α j + α j α i = 2δ ij 1, {α i , β} ≡ α i β + βα i = 0, β 2 = 1, (2.6) Uit deze vergelijkingen volgt dat zowel α i als β spoorloos zijn. B.v.: tr α i = trβ 2 α i = trβα i β = −trβ 2 α i = −trα i . (2.7) We gebruikten in de eerste stap de laatste van de vergelijkingen (2.6), in de tweede gebruikten we de cycliciteit van het spoor, vervolgens de tweede van de vergelijkingen (2.6) en uiteindelijk nog eens de laatste vergelijking in (2.6). Analoog kan zo ook aangetoond worden dat β spoorloos is. Uit β 2 = α i 2 = 1, volgt dat de eigenwaarden van zowel α i als β gelijk aan ±1 zijn. even-dimensionaal zijn. Gezien deze matrices ook spoorloos zijn, moeten ze dus Nu rijst de vraag welke de minimale waarde van N is opdat aan al deze voorwaarden voldaan kan zijn. Nemen we even N = 2. Een volledige basis voor de 2 × 2 hermitische matrices is bv. gegeven door de Pauli σ-matrices, ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ σ 1 = ⎝ 0 1 ⎠ , σ 2 = ⎝ 0 −i ⎠ , σ 3 = ⎝ 1 0 ⎠ , (2.8) 1 0 i 0 0 −1 2
en de 2 × 2 eenheidsmatrix. De α i matrices zouden nog eventueel kunnen gerepresenteerd worden door de Pauli matrices, maar er is geen plaats voor de β matrix. Nemen we dan N = 4. Hier vindt men wel oplossingen. Een voorbeeld is: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ α i = ⎝ 0 σi ⎠ , β = ⎝ 1 0 ⎠ . (2.9) σ i 0 0 −1 Vanaf nu nemen we N = 4. Beschouwen we de Dirac vergelijking, vgl. (2.3,2.4) in de statische limiet: i¯h ∂ψ ∂t = mc2 βψ, (2.10) dan vinden we, m.b.v. de representatie vgl. (2.9), dat er vier oplossingen zijn: en ψ 1 = e ⎛ mc2 −i ¯h t ⎜ ψ 3 = e i mc2 ¯h ⎞ 1 0 , ψ 2 = e ⎜ ⎝ 0 ⎟ ⎠ 0 ⎛ t ⎜ ⎝ 0 0 1 0 ⎞ , ψ 4 = e i mc2 ¯h ⎟ ⎠ ⎛ mc2 −i ¯h t ⎜ ⎞ 0 1 , (2.11) ⎜ ⎝ 0 ⎟ ⎠ 0 ⎛ t ⎜ ⎝ 0 0 0 1 ⎞ . (2.12) ⎟ ⎠ De eerste twee zijn herkenbaar als positieve energie oplossingen, terwijl de laatste twee negatieve energie hebben. Later zullen we zien dat de twee positieve energie oplossingen de twee componenten van een spin 1/2 fermion (bv. een elektron) beschrijven, terwijl de twee negatieve energie oplossingen het corresponderend anti-deeltje (b.v. een positron) beschrijven. Er rest ons nu twee belangrijke dingen te verifiëren: 1. We moeten bewijzen dat de Dirac vergelijking covariant transformeert onder Lorentz transformaties. 2. We moeten aantonen dat de Dirac vergelijking zich in de niet-relativistische limiet herleidt tot iets dat we reeds kennen uit de quantummechanica. In het volgend hoofdstukje zullen we punt 1 nader bekijken. 3
Page 1: De Dirac vergelijking Alexander Sev
Page 5 and 6: voldoet. Voor een infinitesimale tr
Page 7 and 8: Het eerste stel oplossingen beschri
Page 9 and 10: 2. Toon aan dat γ 5 u r (⃗p) =
Page 11 and 12: Lorentz transformaties waarvoor det
Page 13 and 14: We maakten hier gebruik van het ε-

De Dirac vergelijking

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?