De Dirac vergelijking

2. Toon aan dat
γ 5 u r (⃗p) = ⃗σ ⃗p u r (⃗p) + O(mc/|⃗p|),
γ 5 v r (⃗p) = ⃗σ ⃗p v r (⃗p) + O(mc/|⃗p|). (4.15)
Dus de begrippen heliciteit en chiraliteit vallen samen voor massaloze fermionen.
We moeten tenslotte nog u r (⃗p) en v r (⃗p) normaliseren. We kiezen:
Oefening: Toon aan dat (4.16) impliceert dat
u † r(⃗p)u r (⃗p) = v † r(⃗p)v r (⃗p) = E ⃗p
mc 2 . (4.16)
u † r(⃗p)u s (⃗p) = v † r(⃗p)v s (⃗p) = E ⃗p
mc 2 δ rs,
u † r(⃗p)v s (−⃗p) = 0,
ū r (⃗p)u s (⃗p) = −¯v r (⃗p)v s (⃗p) = δ rs ,
ū r (⃗p)v s (⃗p) = ¯v r (⃗p)u s (⃗p) = 0,
2∑
(u r (⃗p)ū r (⃗p) − v r (⃗p)¯v r (⃗p)) = 1. (4.17)
r=1
A
Conventies
Een 4-vector wordt als ¯v genoteerd. Een 3-vector schrijven we als ⃗v. De componenten
van een contravariante 4-vector ¯v worden als v µ , µ ∈ {0, · · · , 3} genoteerd. Een 3-vector
⃗v, heeft componenten v i , i ∈ {1, 2, 3}. We kunnen dus schrijven ¯v ≡ (v 0 , ⃗v). Voorbeelden
van 4-vectoren zijn de plaatsvector ¯x ≡ (ct, ⃗x) en de momentum 4-vector ¯p ≡ (E/c, ⃗p).
De componenten van een covariante 4-vector worden als v µ , µ ∈ {0, · · · , 3} geschreven.
Een voorbeeld van een covariante 4-vector is ∂ µ :
∂ µ ≡ ∂
∂x .
(A.1)
µ
De metriek η µν is nul indien µ ≠ ν en anders η 11 = η 22 = η 33 = −η 00 = −1. De metriek
η µν interpoleert tussen contravariante en covariante vectoren 1
v µ = η µν v ν , v µ = η µν v ν , (A.2)
1 We gebruiken de Einstein sommatie conventie: er wordt gesommeerd over herhaalde Griekse indices.
B.v. v µ w µ staat voor ∑ 3
µ=0 v µw µ .
9