De Dirac vergelijking

3. de energie en de heliciteits projectie operatoren onderling commuteren.
We diagonaliseren nu beide stellen oplossingen door in (4.1)
P + (⃗p)u r (⃗p) = δ 1r u r (⃗p),
P + (⃗p)v r (⃗p) = δ 2r v r (⃗p),
P − (⃗p)u r (⃗p) = δ 2r u r (⃗p), P − (⃗p)v r (⃗p) = δ 1r v r (⃗p), (4.9)
te stellen. We krijgen dus dat u 1 (⃗p) een electron beschrijft met spin parallel aan de
bewegingsrichting, positieve heliciteit dus, en u 2 (⃗p) beschrijft een electron met spin antiparallel
aan de bewegingsrichting, negatieve heliciteit dus. We hebben dan dat v 1 (⃗p) een
negatieve energie electron beschrijft met moment −⃗p en spin parallel aan het moment,
dus positieve heliciteit. Anders gezegd: een positron met positieve energie , moment ⃗p en
positieve heliciteit.
Rest ons nu nog de relatie tussen ⃗σ en spin uit te leggen.
beweging die geassocieerd zijn met de Lorentz invariantie zijn:
De constantes van de
M µν = i¯h(x µ ∂ ν − x ν ∂ µ ) + ¯h 2 σ µν, (4.10)
waarvan men kan verifiëren dat die met de Hamiltoniaan vgl. (2.4) commuteren en die
aan
[M µν , M ρσ ] = i¯h(η νρ M µσ + η νσ M ρµ − η µρ M νσ − η µσ M ρν ). (4.11)
Het angulair moment is dan
⃗L = (M 23 , M 31 , M 12 ), (4.12)
en is expliciet
⃗L = −i¯h⃗r × ∇ + ¯h ⃗σ. (4.13)
2
We herkennen dus een orbitaal stuk, −i¯h⃗r × ∇ en een intrinsiek of spin gedeelte (¯h/2)⃗σ.
Oefening: We introduceren de chiraliteits projectie operatoren P R en P L :
P R = 1 2 (1 + γ5 ), P L = 1 2 (1 − γ5 ). (4.14)
1. Toon aan dat P L en P R projectie operatoren zijn.
8