De Dirac vergelijking

We maakten hier gebruik van het ε-symbool dat gedefinieerd is door ε 0123 = 1 en het
verandert van teken bij elke oneven permutatie van de indices, terwijl het het teken
behoudt bij elke even permutatie van de indices. In het bijzonder volgt hieruit dat het
ε-symbool nul is indien twee of meerdere indices gelijk aan elkaar zijn. Het is niet moeilijk
om uit de definitie van de γ 5 matrix en vgl. (B.1) af te leiden dat
(γ 5 ) † = γ 5 , (γ 5 ) 2 = 1, {γ 5 , γ µ } = 0, ∀µ ∈ {0, · · · , 3}. (B.3)
Hieruit krijgen we nu bv. dat het spoor van een oneven aantal γ-matrices nul is:
tr(γ µ 1
γ µ2 · · · γ µ 2n+1
) = tr((γ 5 ) 2 γ µ 1
γ µ2 · · · γ µ 2n+1
)
= tr(γ 5 γ µ 1
γ µ2 · · · γ µ 2n+1
γ 5 )
= (−1) 2n+1 tr(γ 5 γ 5 γ µ 1
γ µ2 · · · γ µ 2n+1
)
= −tr(γ µ 1
γ µ2 · · · γ µ 2n+1
), (B.4)
waar we in de tweede stap van de cycliciteit van het spoor gebruik maakten om vervolgens
2n + 1 malen het feit dat γ 5 anticommuteert met γ µ te gebruiken.
Oefening: Toon aan m.b.v. (B.1), (B.2) en (B.3) dat
1. tr(γ µ γ ν ) = 4η µν .
2. tr(γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = 4(η µν η ρσ − η µρ η νσ + η µσ η νρ ).
3. tr(γ 5 ) = tr(γ 5 γ µ ) = tr(γ 5 γ µ γ ν ) = tr(γ 5 γ µ γ ν γ ρ ) = 0.
4. tr(γ 5 γ µ γ ν γ ρ γ σ ) = −4iε µνρσ .
Oefening: Toon aan, gebruik makend van de definiërende eigenschappen van de γ-matrices,
dat
1. γ µ γ µ = 4.
2. γ µ γ ν γ µ = −2γ ν .
3. γ µ γ ρ γ σ γ µ = 4η ρσ .
4. γ µ γ ρ γ σ γ τ γ µ = −2γ τ γ σ γ ρ .
13