De Dirac vergelijking

Het eerste stel oplossingen beschrijft een deeltje met positieve energie cp 0 en lineair moment
⃗p, het tweede stel oplossingen schijnt een deeltje met negatieve energie −cp 0 en
lineair moment −⃗p te beschrijven. Terwijl we de eerste stel oplossingen als een electron
met energie cp 0 en lineair moment ⃗p zullen interpreteren, interpreteren we de tweede stel
oplossingen als het afwezig zijn van een electron met energie cp 0 en lineair moment ⃗p,
oftewel een positron met energie cp 0 en lineair moment ⃗p.
We voeren nu de energie projectie operatoren, Π ± (⃗p), in:
Π ± (⃗p) ≡
±p/ + mc
. (4.4)
2mc
Oefening: Toon aan dat Π ± (⃗p) projectieoperatoren zijn.
We krijgen onmiddellijk dat
Π + (⃗p)u r (⃗p) = u r (⃗p),
Π − (⃗p)v r (⃗p) = v r (⃗p),
Π − (⃗p)u r (⃗p) = Π + (⃗p)v r (⃗p) = 0. (4.5)
Om nu de oplossingen verder te karakteriseren, m.a.w. een fysische betekenis aan de
subindex r in u r (⃗p) en v r (⃗p), hebben we een tweede stel projectie operatoren nodig die
commuteren met het de energieprojectoren, zodat we beiden simultaan kunnen diagonaliseren.
Wij zullen voor dit tweede stel altijd gebruik maken van de heliciteits projectoren
P ± (⃗p):
P ± (⃗p) = 1 2 (1 ± ⃗σ ⃗p), (4.6)
met
en
⃗σ ⃗p =
⃗σ · ⃗p
|⃗p| , (4.7)
⃗σ ≡ (σ 23 , σ 31 , σ 12 ). (4.8)
Oefening: Toon aan dat
1. σ i = −γ 0 γ 5 γ i .
2. P ± (⃗p) projectie operatoren zijn.
7