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RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO DIRETO AO PONTO 

PROFESSOR: GUILHERME NEVES 

Aula 20 – Parte 1 

ANÁLISE DE VARIÂNCIA ....................................................................................................................................... 2 

Hipóteses do modelo ...................................................................................................................................................... 6 

Somas de quadrados ...................................................................................................................................................... 7 

Graus de liberdade ......................................................................................................................................................... 8 

Distribuição de qui-quadrado e soma de quadrados ................................................................................................... 14 

Quadrados médios ....................................................................................................................................................... 17 

Distribuição F ............................................................................................................................................................... 17 

ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO ...................................................................................................................... 26 

Somas de quadrados .................................................................................................................................................... 26 

Quadrados médios e estatística F ................................................................................................................................ 29 

Coeficiente de determinação ....................................................................................................................................... 31 

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ANÁLISE DE VARIÂNCIA 

1. Introdução 

A análise de variância serve para testarmos a hipótese de que as médias de 

diferentes populações são todas iguais entre si. 

Para termos uma primeira ideia do raciocínio empregado nesta ferramenta, 

vamos trabalhar com um exemplo simplificado. 

Estamos estudando óleos de motor para um determinado modelo de carro. No 

mercado há disponíveis 4 marcas diferentes de óleos. O intuito é verificar se as 

4 marcas de óleo permitem que os carros rodem, em média, a mesma 

quilometragem, antes de ser necessária a próxima troca de óleo. 

Obtivemos amostras para cada uma das quatro marcas. Os resultados dos 

estudos estão na tabela abaixo (valores em mil quilômetros): 

observações marca A marca B marca C marca D 

1ª 4,9 5,3 4,7 4,4 

2ª 4,7 5,2 4,2 5,0 

3ª 5,3 4,9 4,3 5,1 

4ª 4,7 4,9 4,9 4,8 

5ª 4,8 4,6 4,8 4,7 

Média 4,88 4,98 4,58 4,8 

A média geral, de todas as 20 observações acima, independente de marca, é 

igual a 4,81. 

X 

4, 

81 

Queremos saber se, para as quatro marcas, a média de quilometragem é a 

mesma. As hipóteses que vamos testar são: 

: H 

0 

1 

HA: pelo menos uma das médias é diferente das demais 

Observem que, de acordo com as amostras acima, as médias não são 

exatamente iguais. A questão é: as diferenças entre as médias são devidas 

apenas a fatores aleatórios? Ou as diferenças são significativas, de modo que é 

possível apontar que há pelo menos uma marca diferente das demais? 

São estas perguntas que a análise de variância tenta responder. 

Bom, como queremos só ter uma primeira idia, fizemos uma simplificação: 

todas as amostras têm tamanho 5 (num caso geral, cada amostra pode ter 

tamanho diferente das demais). 

Uma outra suposição é necessária. Vamos supor que todas as populações de 

2 

onde foram extraídas as amostras apresentam a mesma variância . Por fim, 

vamos supor que todas as populações apresentam distribuição normal. 

Vamos calcular a variância dentro de cada grupo. 

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2 

3 

4



Cada observação do quadro acima pode ser representada por: 


X ij 

onde i indica varia de 1 até 4 (indicando as marcas A, B, C, D) e j varia de 1 

até 5 (indicando as observações feitas dentro de cada marca). 

A variância dentro de uma dada marca é dada por: 

s 

2 

i 

 

5 

 

j1 

X X 

ij 

5 1 

Como exemplo, vamos detalhar o cálculo da variância dentro da marca C (ou 

seja, para o caso de i 3) 

: 

5 

 

 

X X 

3 j 

3 

2 

2 

s 3 

j 1 

5 1 

2 

2 

2 

2 

2 

( 4, 

7 4, 

58) 

( 4, 

2 4, 

58) 

( 4, 

3 4, 

58) 

( 4, 

9 4, 

58) 

( 4, 

8 4, 

58) 

 

= 

4 

0,097 

Fazendo cálculos semelhantes para as demais marcas, temos: 

Marca A B C D 

Variância 0,062 0,077 0,097 0,075 

Caso todas as marcas apresentem a mesma média, então temos: 

- todas elas têm distribuição normal 

- todas elas têm mesma variância 

- todas elas têm mesma média 

2 

 

Isto equivale a dizer que todas elas apresentam distribuição idêntica. É como 

se todas as observações tivessem sido extraídas de uma única população, 

2 

normal, de média e variância . 

Deste modo, temos, na verdade, 4 amostras da mesma população. São 4 

amostras de tamanho 5. Vimos na aula de estimadores que a variância da 

amostra (com n 1 

no denominador) é um estimador não-viciado da variância 

da população. Portanto, se tivermos várias amostras, a média de todas as 

variâncias amostrais deve ser bem próxima da variância da população. 

Assim, uma primeira estimativa da variância da população seria: 

Continuando. 

s 

2 

1 

s 

2 

2 

s 

4 

2 

3 

s 

2 

4 

 

i 

2 

0, 

062 0, 

077 0, 

097 0, 

075 

0,078 

4



Ainda supondo que todas as marcas apresentam a mesma média, podemos 

achar outra estimativa para a variância da população. Como já estudamos na 

aula de estimadores, a média amostral tem variância dada por: 

2 

2 

= X n 

Ou seja, as médias amostrais apresentam dispersão bem pequena, quando 

comparada com a dispersão da população. Se pegarmos a dispersão da 

população e dividirmos por n, aí obtemos a dispersão das médias amostrais. As 

médias amostrais estão bem concentradas. 


2 

 

n = X 

2 

 

Se multiplicarmos a variância das médias amostrais por n, aí obtemos uma 

estimativa para a variância populacional. 

Assim, podemos usar os diversos valores da média amostral para estimar a 

variância de X . Feito isso, multiplicamos por “n”, e obtemos outra estimativa 

da variância populacional. 

A média das médias amostrais é: 

Temos: 

X1 

X 2 X 3 X 4 4, 

88 4, 

98 4, 

58 4, 

8 

X 

 

4,81 

4 

4 

2 

2 

2 

2 

2 ( 4, 

88 4, 

81) 

( 4, 

98 4, 

81) 

( 4, 

58 4, 

81) 

( 4, 

8 4, 

81) 

s 

0,029 

X 

4 1 

Esta é a chamada variância entre as marcas. 

Como o tamanho das amostras é 5 ( n 5), 

a nova estimativa da variância da 

população é: 

5 0, 

029 0, 

144 

Obtidas estas duas estimativas da variância da população, nós dividimos uma 

pela outra. 

0, 

144 

Razão entre as estimativas: 1, 

85 

0, 

078 

E este número acima é que vai nos permitir decidir se as médias são todas 

iguais entre si ou não. 

Caso as médias sejam, efetivamente, todas iguais entre si, a razão entre as 

duas estimativas deveria ser bem próxima de 1. As duas estimativas deveriam 

coincidir (ou serem muito próximas uma da outra). 

Caso as estimativas não coincidam (e a razão entre elas seja bem diferente de 

1), isto é um sinal de que as médias das marcas de óleo são diferentes entre si 

(ou seja, há pelo menos uma marca diferente das demais). 

Por quê?



Se todas as marcas tiverem a mesma média, suas funções densidade de 

probabilidade se sobreporão (estão todas representadas pela curva em preto 

no gráfico abaixo). 

No fundo, todas as amostras podem ser consideradas como extraídas da 

mesma população. 

2 

2 

2 

2 

s1 s2 

s3 

s4 

Com isso, o cálculo 

(decorrente das variâncias dentro das 

4 

marcas) realmente vai gerar uma boa estimativa da variância da população. 

Já a segunda estimativa, ela é derivada da variância entre as marcas. Como 

as médias amostrais são pouco dispersas (ver curva verde do gráfico acima), 

2 

2 

s é pequeno. Multiplicando n s , obteremos uma boa estimativa para a 

X 

X 

variância da população. As duas estimativas serão bem próximas. A razão 

entre elas será quase igual a 1. 

Agora vamos pensar em outro caso. 

Se todas as marcas tiverem a mesma variância, mas tiverem médias 

diferentes, elas poderiam ser representadas pelo gráfico abaixo: 




s1 s2 

s3 

s4 

Como todas elas apresentam a mesma variância, o cálculo 

4 

(decorrente das variâncias dentro das marcas) realmente vai gerar uma boa 

estimativa da variância da população. 

Já a segunda estimativa, baseada na variância entre as médias amostrais, ela 

será problemática. As médias amostrais estarão mais dispersas do que 

estariam caso as médias populacionais fossem todas iguais entre si. Isto fará 

com que a segunda estimativa, derivada da variância entre as marcas, resulte 

num estimador maior que aquele decorrente da variância dentro das marcas. 

Com isso, a razão entre as duas estimativas será bem maior que 1. 

Agora vamos começar a estudar a análise de variância com os nomes que 

geralmente aparecem nas questões. Veremos que a “razão entre as 

estimativas” vai corresponder, na verdade, a uma razão entre os chamados 

quadrados médios. 

Hipóteses do modelo 

Vamos trabalhar com um modelo mais simples (embora a análise de variância 

possa ser aplicada para modelos mais complexos). 

Temos k populações em estudo (no exemplo dado na seção anterior, k 4 , 

pois eram 4 marcas diferentes). De cada população, são extraídas amostras de 

tamanho n i (no exemplo anterior, n1 n2 

n3 

n4 

n5 

5 - todas as amostras 

tinham tamanho 5). 

O número total de extrações feitas (incluindo todos os grupos em estudo) é N . 

No nosso exemplo, N 20 (5 extrações para cada uma das 4 marcas de óleo). 

Uma dada observação X ij pode ser representada assim: 


2 

2 

2 

2



X u 

ij 

Cada observação é igual à média da população de onde ela foi extraída, mais 

um erro aleatório ( u ij ). As hipóteses são: 

∙ os erros são variáveis aleatórias com média zero; 

∙ os erros são independentes entre si; 

∙ os erros têm variância constante, ou seja, 

qualquer j. 

∙ os erros têm distribuição normal 


i 

ij 

2 

V ( uij 

) , para qualquer i e 

Na verdade, vocês não precisam se preocupar em decorar as hipóteses acima. 

Elas sempre estarão implícitas na questão. O motivo pelo qual eu as mencionei 

é o seguinte. Pode acontecer de a questão indicar expressamente tais 

hipóteses. Aí o aluno poderia se assustar, pensando que a questão está 

pedindo alguma coisa que ele não estudou. Então, se a questão trouxer as 

hipóteses acima, não precisa entrar em pânico, achando que é uma coisa de 

outro mundo. É só fazer a análise de variância normalmente, como veremos 

nos tópicos a seguir. 

Somas de quadrados 

Como vimos no exemplo inicial (com as 4 marcas de óleo), o teste se baseia 

em cálculo da variância (entre e dentro). E a variância é resultado de uma 

soma de quadrados de desvios. Então, por hora, vamos focar nestas somas de 

quadrados de desvios. 

Há três somas importantes: a soma de quadrados total; a soma de quadrados 

dentro dos grupos (ou ainda: soma de quadrados dos resíduos); a soma de 

quadrados entre grupos (ou ainda: soma de quadrados de tratamentos). 

Seja ni o número de termos do iésimo grupo. No exemplo das marcas de óleo, 

para cada grupo nós tínhamos 5 observações. Ou seja: 

n 

1 

n n n 

2 

A soma dos quadrados dos resíduos (ou ainda, dentro dos grupos) é definida 

por: 

s SQ Re 

k 

3 

ni 

 

i1 

j1 

X ( 

4 

ij 

5 

X ) 

Ou seja, tomamos todas as observações e subtraímos da média do respectivo 

grupo. Elevamos ao quadrado. Depois somamos tudo. 

Para o exemplo das marcas de óleo, ficaríamos com: 

i 

2



2 

2 

2 

2 

2 

SQRe 

s ( 4, 

9 4, 

88) 

( 4, 

7 4, 

88) 

( 5, 

3 4, 

88) 

( 4, 

7 4, 

88) 

( 4, 

8 4, 

88) 

... 

 

 

2 

2 

2 

2 

( 4, 

4 

4, 

8) 

( 5 

4, 

8) 

( 5, 

1 

4, 

8) 

( 4, 

8 

4, 

8) 

( 4, 

7 

SQ Re s 1, 

244 

A soma dos quadrados de tratamentos (ou ainda, entre os grupos) é dada 

por: 


ni 

2 

SQTrat ( X X ) n 

 

i1 

Lembrando que X i é a média de cada uma das 5 amostras (para 1 i , por 

i 

i 

4, 

8) 

exemplo, temos X 4, 

88 , que é a média para a amostra da marca A). 

1 

E X é a média de todos os valores, é a média geral de todas as observações, 

independente de marca. No exemplo das marcas de óleo, X 4, 

81. 

O cálculo da soma de quadrados de tratamentos é dado por: 

2 

2 

2 

2 

SQTrat ( 4, 

88 4, 

81) 

5 

( 4, 

98 4, 

81) 

5 

( 4, 

58 4, 

81) 

5 

( 4, 

8 4, 

81) 

5 

A soma de quadrados total é dada por: 

SQTotal 

SQTrat 0, 

434 

k 

ni 

 

i1 

j1 

X ( 

ij 

X ) 

Tomamos cada observação e subtraímos da média geral. Elevamos ao 

quadrado e somamos tudo. Para o exemplo que temos trabalhado, ficamos 

com: 

2 

2 

2 

2 

SQTotal ( 4, 

9 4, 

81) 

( 4, 

7 4, 

81) 

... 

( 4, 

8 4, 

81) 

( 4, 

7 4, 

81) 

= 1,678 

Observem que: 

Isto sempre acontece. 

Graus de liberdade 

SQTotal SQRe 

s SQTrat 

Vamos interromper um pouco a matéria que estamos estudando (análise de 

variância). Vamos falar um pouco sobre graus de liberdade. Utilizamos esta 

expressão em aulas anteriores, sem falar exatamente do que se trata. 

Bem, o grau de liberdade nada mais é que um parâmetro que entra no cálculo 

da função gama. É uma função importante. A partir dela é que são construídas 

as funções densidade de probabilidade para diversas distribuições de 

probabilidade importantes (como T, qui-quadrado, F). 

2 

2



Só que indicar para vocês qual é a função gama e, dentro dela, qual é o 

parâmetro que corresponde ao número de graus de liberdade, não vai ajudar 

em nada a entender melhor o que é esse grau de liberdade. 

Creio eu, deve haver alguma explicação “geométrica” para o número de graus 

de liberdade. Para quem já estudou cálculo, estou pensando em alguma coisa 

análoga à explicação de derivada e integral por meio de inclinações de reta e 

áreas abaixo da curva. Explicações utilizando geometria são mais fáceis para 

assimilarmos. 

Em todas as vezes que vimos os graus de liberdade, havia uma soma de 

quadrados de desvios. A quantidade de graus de liberdade será igual à 

quantidade de termos independentes que estamos somando. 

A primeira vez que vimos o grau de liberdade foi com a distribuição T. Vimos 

 

que X tem média e desvio padrão . 

n 

Quando desconhecemos o desvio-padrão da população, substituímos por s 

(desvio padrão da amostra). 

Para cálculo de s 2 , fazemos assim: 

s 

2 

 

n 

 

i1 

X X 

n 1 

No denominador temos um número, uma constante, algo que não varia. No 

numerador, temos uma soma de n quadrados de desvios, que podem variar de 

uma amostra para outra. É este fator que é aleatório. Vamos nos concentrar 

nele. 

Numerador: 


i 

2 

2 

2 

2 

( X1 X ) ( X 2 X ) ( X 3 X ) ... 

( X n1 

X ) X n X 

Qual a referência para o cálculo dos desvios? É a média aritmética. 

Pois bem, vamos supor que a gente conhece justamente a média aritmética. 

Conhecemos a média aritmética da amostra, mas não conhecemos os valores 

observados. Ou ainda: a média da amostra é dada. 

Quanto aos valores de cada uma das observações, este nós não conhecemos. 

Fixada a média da amostra, vamos considerar que a gente é livre para 

estabelecer quaisquer valores para as observações e, com isso, calcular o valor 

do desvio ao quadrado, que entra na fórmula do numerador. 

Assim, nós somos livres para escolher o valor de X1 (e, com isso, determinar o 

2 

valor de ( X1 X ) ). Nós também somos livres para escolher o valor de X2. E 

assim por diante. 

Neste processo, nós seríamos livres para escolher os valores de n 1 

observações. Nós seríamos livres para escolher os valores de X 1, 

X 2 , ..., X n1 

. 

2 

) 

2



Já o valor de Xn, este nós não temos liberdade para escolher. Escolhidas todas 

as demais observações ( X 1, 

X 2 , ..., X n1 

), só existe um único valor de Xn que 

faz com que a média da amostra seja igual ao valor fixado para X . 

Ou seja, nossa liberdade se restringiu a n 1 

desvios ao quadrado. O último 

desvio ao quadrado não pode ser livremente escolhido. Portanto, são n 1 

graus de liberdade. 

A segunda vez que vimos os graus de liberdade foi com a distribuição de quiquadrado. 

Ela é dada por: 

2 ( n 1) 

s 

2 

 

No denominador, temos a variância da população. Ela é um número, uma 

constante, algo fixo, que não varia. 

No numerador, temos duas parcelas. A primeira é ( n 1) 

, que também é um 

número fixo (é o tamanho da amostra menos 1). 

O outro fator, ele sim varia. Trata-se da variância amostral. É a variância de 

uma determinada amostra. Se pensarmos em todas as amostras possíveis, em 

2 

2 

( n 1) 

s 

cada uma delas s assume um valor diferente. É este fator que torna 2 

 

uma variável aleatória, que faz esta expressão variar. Vamos portanto, nos 

concentrar neste termo. 

Novamente, temos a variância amostral (s 2 ), que advém da soma de n desvios 

ao quadrado. 

Fixada uma determinada média amostral, poderemos escolher livremente o 

valor de n 1 

desvios. O último desvio, este não pode ser livremente escolhido. 

Só há um valor possível para ele, de tal modo que a média das observações 

seja igual a uma dada média amostral. Temos, novamente, n 1 

graus de 

liberdade. 

A terceira vez que estudamos graus de liberdade foi no teste de qui-quadrado 

para várias proporções. 

2 

( Oi 

Ei 

) 

A estatística teste era dada pela soma de todos os valores de 

. Agora 

Ei 

os desvios são calculados em relação às freqüências esperadas. 

Pergunta: qual a referência para cálculo dos desvios? 

A referência são as frequências esperadas. Pois então vamos supor que as 

frequências esperadas são dadas e que nós somos livres para escolher as 

frequências observadas (determinando, assim, o valor do desvio). Quantas 

frequências observadas nós podemos escolher livremente? 


2



Vejamos um exemplo: 

No curso A, havia 100 candidatos inscritos em um concurso. No curso B 

também havia 100 candidatos inscritos neste concurso. Foram aprovados 140 

candidatos destes 200 alunos. Os 60 restantes foram reprovados. Calcule a 

estatística teste para testar a hipótese de que a proporção de aprovados nos 

dois cursos é a mesma. 

Este problema não tem resposta. Isto porque não foram fornecidas as 

freqüências observadas dentro de cada curso. Mas não tem problema. Nosso 

interesse aqui não será achar exatamente o valor da estatística teste; sim 

determinar o número de graus de liberdade. 

Agora nós só conhecemos os totais da amostra. 

Do total de alunos (incluindo tanto o curso A quanto B), 140 foram aprovados 

e 60 foram reprovados. Sabemos ainda que há 100 alunos em cada curso. 

Sabendo apenas os totais (ou seja, o total de aprovados, o total de 

reprovados, e o total de alunos em cada curso), podemos determinar as 

freqüências esperadas, caso a hipótese nula seja verdadeira: 

curso A curso B 

Freqüênci 

a 

esperada 

Freqüência 

esperada 

Total 

Aprovados 70 70 140 

Reprovados 30 30 60 

Total 100 100 200 

Os números em vermelho indicam os totais. São esses números que a gente 

conhece. 

Se a hipótese nula for verdadeira, esperamos que a proporção de aprovados e 

reprovados, em cada curso, seja igual à proporção geral, tomando os dois 

cursos em conjunto. 

Ou seja, conhecer os valores totais é o mesmo que conhecer as frequências 

esperadas. E vice-versa. 

Agora vamos para as freqüências observadas. 





Freqüência 

observada 

Freqüência 

observada 

Total 

Aprovados ? ? 140 

Reprovados ? ? 60 


As freqüências observadas não foram informadas. Vamos considerar que 

somos livres para preenchê-las. Ou seja, no fundo estamos considerando que 

2 

( Oi 

Ei 

) 

somos livres para determinar os valores de cada . 

E 

Vamos preencher a primeira célula com o número 80. Por quê? Porque somos 

livres para escolher qualquer número, então vamos escolher o número 80. 


Freqüência 

observada 

Freqüência 

observada 


i 

Total 

Aprovados 80 ? 140 



E esta foi a única célula que poderíamos preencher livremente. As demais não 

podem mais ser preenchidas livremente. 

Para que o total de alunos aprovados seja de 140, a segunda célula deve ser 

igual a 60. 


Freqüência 

observada 

Freqüência 

observada 

Total 



Total 100 100 200



Para que o total de alunos do curso A seja igual a 100, a terceira célula deve 

ser preenchida com 20. 


Freqüência 

observada 

Freqüência 

observada 

Total 


Reprovados 20 ? 60 


Para que o total do curso B seja igual a 100 e o total de reprovados seja 60, a 

quarta célula deve ser igual a 40. 


Freqüência 

observada 

Freqüência 

observada 

Total 


Reprovados 20 40 60 


Nós só fomos livres para preencher 1 célula. Por isso, temos 1 grau de 

liberdade. 

Assim, quando formos calcular a soma dos valores 

( O E ) 


i 

E 

i 

i 

2 

, nós podemos 

escolher livremente 1 deles. Os demais, estes não serão livremente escolhidos. 

Generalizando, para um caso qualquer com várias proporções, o número de 

graus de liberdade será sempre igual a ( L 1) ( 

C 1) 

. 

Nos problemas em que o número de linhas ou de colunas for igual a 1, aí a 

gente não faz a subtração por 1. 

Resumindo tudo: o que fica da “história” é que os graus de liberdade têm 

relação com a quantidade de termos que podemos escolher livremente.



Distribuição de qui-quadrado e soma de quadrados 

Seja X uma variável aleatória, com média e variância 

2 

. Seja 

2 

s o 

estimador da variância populacional, baseado em uma amostra aleatória de 

2 

( n 1) 

s 

tamanho n. Vimos que 2 

 


tem distribuição de qui-quadrado com n 1 

Vamos analisar com calma esta expressão. 

2 ( n 1) 

s 

2 

 

E como é que se calcula uma variância amostral? Bom, o primeiro passo é 

calcular a soma dos quadrados dos desvios em relação à média da amostra. 

Fica assim: 


2 

X X 

2 

s 

i 

 

1 

n 1 

Voltemos à variável de qui-quadrado em estudo. Ela é dada por: 

Substituindo o valor de s 2 : 

2 

 

n 

 

 

2 ( n 1) 

s 

2 

 

 

n 

 

i1 

i 

2 

2 

X X 

No numerador temos uma soma de quadrados dos desvios. 

Então é isso que eu queria chamar a atenção, para facilitar a memorização. 

Somas de quadrados de desvios podem ser usadas para gerar distribuições de 

qui-quadrado. Basta dividir a soma de quadrado dos desvios pela variância da 

população. 

Finalmente, voltemos para a matéria de hoje (análise de variância). Se a 

hipótese nula for verdadeira (ou seja, se todas as marcas de óleo tiverem a 

mesma média), então todas as somas de quadrados de desvios que estudamos 

nesta aula podem ser usadas para gerar distribuições de qui-quadrado. Assim: 

SQ Re s 

 

∙ 2 

i 

2 

 

tem distribuição de qui-quadrado. 

SQTrat 

∙ tem distribuição de qui-quadrado. 

2 

 

2



SQTotal 

∙ tem distribuição de qui-quadrado. 

2 

 

Cada uma destas distribuições tem um certo grau de liberdade. Os graus de 

liberdade são: 

SQ Re s 

 

∙ 2 

∙ 2 

 

∙ 2 

 

: N k 

SQTrat 

: k 1 

SQTotal 

: N 1 

Observem que: 

( N k) 

( k 1) 

N 1 

Ou seja, se somarmos os graus de liberdade para os resíduos e para os 

tratamentos, chegamos ao grau de liberdade total. 

Vamos tentar memorizar os graus de liberdade. Para tanto, vamos lembrar da 

“história” que contamos lá na fl. 8. 

No cálculo da soma de quadrados total, pegamos cada observação e 

subtraímos da média geral. Depois elevamos ao quadrado. Como são N 

observações, são N desvios ao quadrado. 

Vamos considerar que X é dado. 

Podemos escolher livremente N 1 

desvios. O último, este não pode ser 

livremente escolhido. Só há um valor possível para ele, de tal modo que a 

média geral da amostra seja igual ao valor fixado para X 

No cálculo da soma de quadrados de tratamentos, pegamos a média de cada 

grupo (no nosso exemplo, seria a média de cada uma das 4 marcas de óleo) e 

subtraímos da média geral. Novamente, vamos supor que X é dado. 

São k desvios ao quadrado (neste exemplo, k 4 ). Veja: 

2 

2 

2 

2 

SQTrat ( 4, 

88 4, 

81) 

5 

( 4, 

98 4, 

81) 

5 

( 4, 

58 4, 

81) 

5 

( 4, 

8 4, 

81) 

5 

Em símbolos: 

SQTrat 

 

2 

2 

2 

2 

( X1 

X ) n1 

( X 2 X ) n2 

( X 3 X ) n3 

( X 4 X ) n4 

Se não conhecêssemos as médias de cada grupo (só soubéssemos a média 

geral das 4 marcas), poderíamos escolher livremente 3 desvios. O último, este 

não poderia ser escolhido. Para ele só haveria um valor possível, de tal forma 

que a média das 4 marcas seja igual à média geral fixada. Temos, portanto, 

k 1 





Por fim, no cálculo da soma de quadrados dos resíduos, tomamos cada 

observação e subtraímos da média do respectivo grupo. São N desvios ao 

quadrado. 

Se soubéssemos apenas as médias de cada grupo (ou seja, as médias de cada 

marca), e não conhecêssemos o valor de cada observação, poderíamos 

escolher livremente diversos desvios. 

Para a marca A, teríamos: 

2 

2 

2 

2 

( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) ( X X ) 

11 

1 

12 

1 

13 

Se não conhecemos as observações, apenas a média da marca A, poderíamos 

escolher livremente 4 desvios. O quinto não pode escolher livremente. Só há 

um valor possível para ele, de tal modo que a média da marca A seja igual ao 

valor estabelecido. 

O mesmo ocorre para todas as demais marcas. Em cada uma delas, 1 dos 

desvios não pode ser livremente escolhido. 

Assim, o número de graus de liberdade é igual a N k . São N desvios ao todo. 

Para cada grupo, 1 desvio não pode ser livremente escolhido. Como temos k 

grupos, temos k desvios que não podem ser livremente escolhidos. 

Todo esse blá blá blá que temos visto desde a fl. 8 (a historinha dos graus de 

liberdade e das somas de quadrado sendo relacionadas com distribuições de 

qui-quadrado), tudo isso era para facilitar na memorização do resumo abaixo. 

Se você não gostou de toda essa conversa, pelo menos decore o quadro a 

seguir: 

Caso a hipótese nula seja verdadeira (ou seja, todos os grupos 

apresentem a mesma média), então: 

SQ Re s 

tem distribuição de qui-quadrado com N k graus de liberdade 

2 

 

SQTrat 

tem distribuição de qui-quadrado com k 1 

graus de liberdade 

2 

 

SQTotal 

tem distribuição de qui-quadrado com N 1 


2 

 


1 

14 

1 

15 

1 

2



Quadrados médios 

Quando dividimos uma soma de quadrados pelo respectivo número de graus 

de liberdade, obtemos os chamados “quadrados médios”. 

O quadrado médio dos resíduos fica: 

SQ Re s 

QM Re s 

N k 

Analogamente, os quadrados médios de tratamento e total ficam: 

Distribuição F 

Seja 

2 

1 

SQTrat 

QMTrat 

k 1 

SQTotal 

QMTotal 

N 1 

uma variável aleatória com distribuição de qui-quadrado com g1 graus 

2 

de liberdade. Seja 2 uma variável aleatória com distribuição de qui-quadrado 

com g2 graus de liberdade. 

Vamos criar a seguinte variável: 


2 

1 

2 

2 

/ g1 

W 

/ g 

No numerador temos uma variável de qui-quadrado dividida pelo seu número 

de graus de liberdade. 

No denominador, temos uma variável de qui-quadrado dividida pelo seu 

número de graus de liberdade. 

Essa divisão gera uma terceira variável, com distribuição F (ou ainda: F de 

Snedecor). Esta variável W possui g1 graus de liberdade associados ao seu 

numerador e g2 graus de liberdade associados ao seu denominador. 

Portanto, a razão: 

2 

QMTrat 

F 

QM Re s 

Tem distribuição F de Snedecor, com k 1 

graus de liberdade no numerador e 

N k graus de liberdade no denominador. Esta razão é utilizada para testar a 

hipótese nula, de que todas as populações têm a mesma média (no nosso 

exemplo, de que todas as marcas de óleo permitem a mesma quilometragem 

média). 

Caso a hipótese nula seja verdadeira, os dois quadrados médios serão 

próximos, e a razão será próxima de 1. 

Caso a hipótese nula seja falsa, os dois quadrados médios serão bem 

diferentes entre si, e a razão acima será bem maior que 1.



Então o teste é apenas isso. Basta calcular os valores de QMTrat e QM Re s , 

específicos para o experimento feito, o que vai gerar a estatística teste ( 

F _ teste , ou seja, o valor de F para o experimento feito). 

Depois consultamos a tabela da distribuição F (obtendo F _ crítico ). Depois, 

basta comparar a estatística teste com o valor crítico. Se a estatística teste for 

maior que o valor crítico, rejeitamos a hipótese nula. Se for menor, aceitamos 

a hipótese nula. 

QMTrat 

QM Re s 

o que vai gerar a estatística teste ( F _ teste ). 

Se F _teste F _ critico , rejeitamos a hipótese nula. 

Se F _teste F _ critico , aceitamos a hipótese nula. 

1. MP RO 2005 [CESGRANRIO] 

QMTrat e QM Re s , 

Se X1, X2, ... Xn, Y1, Y2, ... Yn são variáveis aleatórias independentes e com 

2 2 

2 

X 1 X 2 ... X n 

distribuição normal reduzida, então a variável aleatória W 2 2 

2 

Y Y ... Y 

tem distribuição: 

(A) normal. 

(B) qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. 

(C) t de Student com n graus de liberdade. 

(D) F com (n -1, n -1) graus de liberdade. 

(E) F com (n, n) graus de liberdade. 

Resolução. 

Podemos reescrever a variável W deste modo: 

W 

 

2 2 

2 

X 1 X 2 ... X n / 

2 2 

2 

Y Y ... Y / n 

1 


2 

No numerador temos uma distribuição de qui-quadrado com n graus de 

liberdade, dividida por n. Idem para o denominador. 

Logo, W tem distribuição F com (n, n) graus de liberdade. 

Gabarito: E 

n 

n 

1 

2 

n



2. TCE RO 2007 [CESGRANRIO] 

Se X1, X2, ..., Xn, Y1, Y2, ..., Yn são variáveis aleatórias independentes e com 

2 2 

2 

X 1 X 2 ... X n 

distribuição normal reduzida, então a variável aleatória W 2 2 

2 

Y Y ... Y 

tem distribuição: 

(A) normal. 

(B) qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade. 

(C) t de Student com n graus de liberdade. 

(D) F com (n - 1, n - 1) graus de liberdade. 

(E) F com (n, n) graus de liberdade. 

Resolução. 

Questão idêntica à anterior. 

Gabarito: E 

Exemplo 1. Para o exemplo das quatro marcas de óleo, trabalhadas 

durante a aula, teste a hipótese de que as médias são iguais, contra a 

hipótese alternativa de que há pelo menos uma média diferente das 

demais. Utilize um nível de significância de 10%. 

Resolução. 

Podemos juntar todos os cálculos já realizados durante a aula em uma tabela, 

assim: 

Fonte da 

variação 

Tratamentos 

(entre) 

Resíduos 

(dentro) 

Graus de 

liberdade 

Soma de 

quadrados 

Quadrado 

médio 


1 

2 

F _ teste 

3 0,434 0,145 1,858974 

16 1,244 0,078 

Total 19 1,678 

Os quadrados médios foram obtidos pela divisão entre a soma de quadrados e 

o número de graus de liberdade. 

n

Ou seja: 



0, 

434 

QMTrat 0, 

145 

3 

Em vez de utilizar a expressão “tratamento”, o exercício pode se referir à 

variação entre tratamentos. Ou seja, o símbolo seria QM _ entre 

QMTrat QM _ entre 0, 

145 

Para o quadrado médio de resídulos (dentro), a conta é análoga: 

1, 

244 

QM Re s QM _ dentro 

16 

0, 

078 

Estes dois quadrados médios são utilizados para fazer o teste F. 

QMTrat QM _ entre 0, 

145 

F _ teste 

1,8589 

QM Re s QM _ dentro 0, 

078 

A razão entre os quadrados foi de 1,8589. Foi diferente de 1. 

Caso a razão seja bem próxima de 1, aceitamos a hipótese nula. Caso a razão 

seja bem afastada de 1, rejeitamos a hipótese nula. 

E agora? 

O número 1,8589 é próximo ou afastado de 1? 

Bem, o que vai nos responder isso é a tabela da distribuição F. Abaixo segue 

um trechinho da Tabela F para nível de confiança de 10%. 

Fornece valores críticos (F0), tal que ( 0) 10% 

F F P 

Número de GL do numerador 

Número GL 

denominador 

2 3 4 5 

15 2,695172932 2,489787735 2,361433116 2,273022447 

16 2,668171457 2,461810755 2,332744869 2,243757603 

17 2,644638468 2,437433917 2,307747133 2,218252647 

18 2,623946985 2,416005381 2,285771772 2,195827465 

19 2,605612364 2,397021508 2,266302568 2,175956494 

20 2,589254118 2,380087057 2,248934402 2,158227217 

A estatística teste (1,8589) é menor que o valor crítico (2,46). Aceitamos a 

hipótese nula. 

Para melhor visualização, segue desenho da função densidade de 

probabilidade, para (3, 16) graus de liberdade. 

Prof. Guilherme Neves www.pontodosconcursos.com.br 20



De acordo com a tabela para a distribuição F, temos que a área amarela da 

figura abaixo é de 10%. 

Que é a região crítica. A estatística teste não caiu na região crítica. Portanto, 

aceitamos a hipótese nula. 

3. PETROBRAS 2008/2 [CESGRANRIO] 

Dividem-se aleatoriamente 12 lotes de terra em três grupos. 

O primeiro é mantido como grupo de controle (C), enquanto os outros dois 

recebem os fertilizantes A e B. A tabela abaixo apresenta a ANOVA parcial do 

experimento. 




Então, as constantes a, b e c são, respectiva e aproximadamente, iguais a 

(A) 1, 11 e 4,5 

(B) 1, 11 e 9 

(C) 2, 11 e 9 

(D) 2, 12 e 2 

(E) 3, 12 e 3 

Resolução. 

O exercício forneceu direto a tabela da análise de variância, já com todas as 

contas prontas. 

SQ indica “soma de quadrados”. GL indica “graus de liberdade”. EQM indica 

“erro quadrático médio” (que é sinônimo de quadrado médio). 

Queremos testar se os três tipos de produção (com fertilizantes A e B, mais o 

grupo de controle, C) apresentam os mesmos resultados. O exercício não 

indicou exatamente o que se está comparando. Poderia, por exemplo, ser a 

quantidade de toneladas produzidas por determinada área plantada. 

Ao todo, são 12 observações (uma para cada lote de terra). Portanto: 

N 12 N 1 

11 

A soma de quadrados total tem N 1 

graus de liberdade. Logo, a constante b 

da tabela é igual a 11. 

b 11 

O número de graus de liberdade associado à soma de quadrados total é igual à 

soma dos demais graus de liberdade. 

a 9 b 

a 9 11 

a 2 

Com isso, já dá para marcar letra C. 

Por fim, a estatística teste fica: 

156 

F _ teste c 9,02 

17, 

3 


Gabarito: C 



Considere a descrição abaixo para responder as próximas questões. 

Um estudo pretende comparar as medidas de pressão sanguínea sistólica de 

três grupos: não fumantes, ex-fumantes e fumantes. Uma amostra é 

selecionada de cada grupo, sendo os dados relevantes apresentados abaixo. 

Supõe-se que as variâncias populacionais sejam iguais, e que a pressão 

sanguínea sistólica seja normalmente distribuída. As médias e os desvios 

padrões estão expressos em mmHg. 

4. FUNASA 2009 [CESGRANRIO] 

As estimativas da variância dentro dos grupos e entre os grupos, são, 

respectivamente, 

Resolução 

Temos um total de 100 observações ( N 100 

), referentes a três grupos 

pesquisados ( k 3) 

A média geral dos três grupos é dada por: 

115 

60 114 

30 11810 

X 

115 

100 

A soma de quadrados entre os grupos é dada por: 

SQ _ entre 60 

( 115 115) 

2 

30 

( 114 115) 

10 

( 118 115) 

Esta soma de quadrados possui k 1 


k 

1 

31 

2 

120 


2 

2



Logo, o quadrado médio fica: 

120 

QM _ entre 

2 

Vamos agora calcular a soma de quadrados dentro dos grupos. Para tanto, 

precisamos, em cada grupo, calcular a soma dos quadrados dos desvios em 

relação à média do grupo. 

Para os não-fumantes, sabemos que a variância é igual a 14 2 . E como foi 

calculada esta variância? Ela foi calculada somando os quadrados dos desvios e 

dividindo por 59. Logo, a soma dos quadrados dos desvios, para o grupo dos 

não-fumantes, é igual a 14 59 

2 . 

Como o mesmo raciocínio, podemos achar as somas dos quadrados dos 

desvios para os demais grupos. Com isso, temos: 

SQ _ dentro 14 

2 

59 

10 

29 12 

Esta soma de quadrados tem N k graus de liberdade. 

Logo: 

Gabarito: E 

N k 100 

3 97 

15760 

QM _ dentro 

97 

9 

15760 

5. FUNASA 2009 [CESGRANRIO] 

Utilizando um nível de significância de 5%, a Estatística F, as pressões 

sanguíneas médias nos três grupos e o valor crítico são, respectivamente, 

Resolução. 


2 

2



Estatística teste: 

QM _ entre 120 / 2 60 

97 

F _ teste 

0,37 

QM _ dentro 15760 / 97 15760 

Consultando a tabela colocada ao final do arquivo (para um nível de 

significância de 5%), temos um pequeno problema. Há uma coluna para 2 

graus de liberdade no numerador. Mas não há uma linha para 97 graus de 

liberdade no denominador. 

O valor mais próximo é 120 graus de liberdade. Logo, o valor crítico deve estar 

próximo de 3,07. A própria questão faz esta aproximação, pois traz, em todas 

as alternativas, o valor 3,07. 

Assim, concluímos que a região crítica corresponde ao intervalo de 3,07 até 

infinito. 

A estatística teste cai na região de aceitação. Aceitamos a hipótese de que as 

médias nos três grupos são iguais entre si. 

Gabarito: A 




ANÁLISE DE VARIÂNCIA DA REGRESSÃO 

Um teste de hipóteses muito comum é aquele que testa a hipótese nula de que 

o coeficiente da reta de regressão é nulo. Caso a hipótese nula seja 

verdadeira, temos que a reta de regressão é horizontal. 

Relembrando o significado da reta de regressão. Para cada valor de X nós 

temos uma sub-população de valores de Y, com média dada pela reta de 

2 

regressão e variância . 

Se a reta é horizontal, então todas as sub-populações terão a mesma média. 

Nós vimos uma ferramenta para testar se a média de diferentes populações 

são iguais entre si. Esta ferramenta era a análise de variância. 

Como testar a hipótese de ser igual a zero equivale a testar a hipótese de as 

varais populações têm a mesma média, então podemos usar a análise de 

variância para isso. Vamos ver como fica. 

Somas de quadrados 

Quando utilizamos a regressão linear, obtemos i Yˆ , que é uma estimativa para 

Y . A diferença entre estas duas grandezas é o desvio. 

Rearranjando os termos: 

Subtraindo Y dos dois lados: 

Elevando ao quadrado: 

e 

i 

i 

Y Yˆ 

Y e Yˆ 


i 

i 

Y 

e Yˆ 

Y 

Yi i i 

2 

2 

Y 

e Yˆ 

Y 

Yi i i 

2 2 

2 

Y 

e Yˆ Y 

2 

e Yˆ Y 

 

Yi i i 

i i 

Somando as parcelas acima para todos os valores de i: 

 

2 

2 

2 

Y e Yˆ Y 

2 

e Yˆ Y 

 

 

 

i 

i 

 

Yi i 

i 

i i



 

É possível demonstrar que [ Y Y 

] 0 

Portanto: 

 

ˆ 

ei i 

2 

2 

Y 

e Yˆ Y 

 

 


. 

 

Yi i 

i 

E o que é que temos aí em cima? Temos somas de quadrados. 

Cada uma destas parcelas recebe um nome especial: 

 

2 

Y 

 

Y i 

2 

i 

 

soma de quadrados total (S.Q.Total) 

e soma de quadrados dos resíduos (S.Q.Resíduos) 

2 

ˆ Y 

 

Yi soma de quadrados do modelo de regressão (S.Q.Regressão) – 

corresponde à Soma de quadrado de tratamentos. 

Portanto: 

É possível demonstrar que: 

SQTotal SQRe 

gressao SQRe 

siduos 

SQ Re gressao 

 

X X Y 

b 

Y 

Onde b é a estimativa do coeficiente angular da reta de regressão. 

Resumo das somas de quadrados 

SQ Re 

gressao 

 

SQTotal SQRe 

gressao SQRe 

siduos 

X X Y 

b 

Y 

2



Vamos calcular cada um destes valores para aqueles 4 alunos que fizeram as 

provas de física e matemática. 

Aluno Nota de 

matemática X 

Nota de 

física Y 

1 2 6 

2 6 7 

3 8 7 

4 10 8 

Média 6,5 7 

Já fizemos o modelo de regressão linear para, a partir das notas de 

matemática, estimar as notas de física. O resultado foi: 

Aluno Nota de 

matemática X 

Nota de 

física Y 

Nota de física 

estimada Y ˆ 

1 2 6 5,97 

2 6 7 6,89 

3 8 7 7,34 

4 10 8 7,80 

A partir dos valores acima, podemos montar o quadro abaixo: 




Nota de 

física Y 

Nota de física 

estimada Y ˆ 

2 

2 

Y ˆ Y 

2 

e Yˆ 

Y 2 

Y Y 

6 5,97 0,0009 1,0609 1 

7 6,89 0,0121 0,0121 0 

7 7,34 0,1156 0,1156 0 

8 7,80 0,04 0,64 1 

Da última linha da tabela, temos: 

Note que: 

Ou ainda: 

TOTAL 0,1686 1,8286 2 

 

SQTotal 2 

SQRe 

gressao 1, 

8286 

SQRe 

siduos 

0, 

1686 

2 

2 

Y 

e Yˆ Y 

 

 


 

Yi i 

i 

SQTotal SQRe 

gressao SQRe 

siduos 

Na verdade, substituindo os valores, obtemos: 

2 1, 

9972 

A diferença se deve aos arredondamentos (os valores apresentados para as 

notas de física estimada estão arredondados). 

Quadrados médios e estatística F 

A análise de variância, aplicada à reta de regressão, serve para testar a 

hipótese de que é igual a zero. 

Vimos que, para cada valor de X, nós temos uma população de valores de Y 

que gira em torno da reta de regressão. Caso a reta seja horizontal, todas as 

2



populações de valores de Y girarão em torno do mesmo valor. Todas elas terão 

a mesma média. 

Logo, as somas de quadrados de desvios, acima definidas, podem ser usadas 

para testar a hipótese de que o coeficiente é igual a zero. 

A hipótese nula ( 0 ) nada mais é que supor que a reta de regressão é 

horizontal. Ou seja, é a hipótese de que todas as sub-populações de Y provém, 

na verdade, de uma única população (ou seja, apresentam mesma média e 

mesma variância). E vimos que a análise de variância pode ser utilizada 

justamente para isso. Basta calcular a estatística F, com base nos quadrados 

médios. 

No caso da regressão linear, temos: 

 

2 

Y 

 

Y i 

2 

i 

 

SQTotal n 1 


e SQRe siduos n 2 graus de liberdade 

2 

ˆ Y 

 

E os quadrados médios ficam assim. 

Quadrado médio total: 

Quadrado médio dos desvios: 

Yi SQRe gressao 1 grau de liberdade 

SQTotal 

QMTotal 

n 1 

Quadrado médio do modelo de regressão: 

SQ Re siduos 

QM Re siduos 

n 2 

SQ Re gressao 

QM Re gressão 

1 

Para o caso dos alunos que fizeram as provas de física e matemática, temos: 

2 

QMTotal 

4 1 


2 

3 

0, 

1686 

QM Re siduos 0,0843 

4 2 

1, 

8286 

QM 

Re gressao 1, 

8286 

1



E a estatística F fica: 

Coeficiente de determinação 

QM Re gressao 1, 

8286 

F _ teste 

21,71 

QM Re siduos 0, 

0842 

As somas de quadrados servem para definir uma grandeza conhecida como 

coeficiente de determinação da regressão linear. 

Ele é dado por: 

r 

2 

SQ Re gressao 

SQTotal 

Esta grandeza, no caso do modelo Yi X 

i i , é igual ao quadrado do 

coeficiente de correlação linear. 

2 

Se a soma dos quadrados dos resíduos for pequena, de tal forma que r se 

aproxime de 1, isto significa que as diferenças entre os valores observados ( Y i ) 

e a média (Y ) são quase totalmente explicados pela reta de regressão. 

2 

Se a soma dos quadrados dos resíduos for grande, de tal forma que r se 

aproxime de zero, isto significa que a reta de regressão pouco explica sobre as 

diferenças entre os valores observados e a média. Ou seja, é perca de tempo 

ficar calculando reta de regressão se ela é um estimador ruim. 

Como o coeficiente de correlação (r) assume valores entre -1 e 1, então o 

coeficiente de determinação (r 2 ) assume valores entre 0 e 1. 

6. BACEN 2006 [FCC] 

Uma empresa, com finalidade de determinar a relação entre gastos anuais com 

propaganda (X), em R$ 1.000,00 e o lucro bruto anual (Y), em R$ 1.000,00, 

optou por utilizar o modelo linear simples Yi X 

i i , em que Yi é o valor 

do lucro bruto auferido no ano i e i o erro aleatório com as respectivas 

hipóteses consideradas para a regressão linear simples ( e são parâmetros 

desconhecidos). Considerou, para o estudo, as seguintes informações 

referentes às observações nos últimos 10 anos da empresa: 

10 

 

i1 

Y 100 ; X 60; 

650 Y X ; X 400 ; Y 1080 

i 

10 

 

i1 

i 

i i 

10 

 

i1 


i 

2 

10 

 

i1 

i 

2



Montando o quadro de análise de variância, tem-se que: 

a) a variação explicada, fonte de variação devido à regressão, apresenta um 

valor igual a 80; 

b) dividindo a variação residual pela variação total, obtemos o correspondente 

coeficiente de determinação; 

c) o valor da estatística F necessária para o teste da existência de regressão é 

igual ao coeficiente da divisão da variação explicada pela variação residual 

d) a variação residual apresenta um valor igual a 17,5 

e) a variação total apresenta um valor igual a 62,5. 

[Observação: considere que você já sabe que os coeficientes a e b são dados 

por: a 2, 

5; 

b 1, 

25 , conforme cálculos do Erro! Fonte de referência não 

encontrada.] 

Resolução. 

Em vez de utilizar o termo “soma de quadrados”, a questão está utilizando 

“variação”. Assim, fazendo a correspondência dos termos da questão com 

aqueles que nós vimos: 

- Soma de quadrados total: variação total 

- Soma de quadrados dos resíduos: variação residual 

- Soma de quadrados da regressão: variação explicada (ou seja, é a parte da 

variação total que é explicada pelo modelo de regressão). 

A variação total fica: 

2 

SQTotal Y i Y 

 

Utilizando a transformação que vimos: 

Y 

Y 

 

Portanto a letra E está errada. 

2 

2 

SQTotal i Yi 

SQTotal 1. 

080 1010 

nY 

A variação explicada (=variação do modelo = Soma de Quadrados da 

Regressão) fica: 

SQ Re gressao 

Utilizando as transformações vistas: 


 

2 

80 

X X Y 

b 

Y 

2



XY nX 

Y 

XY nX 

 

S Re gressao b 

 

S Re gressao 

b 

Y 

650 10 

610 

1, 

25 

50 62, 

5 

SQRe 

gressao 1, 

25 

 

Deste modo, a letra A está errada. 

A variância residual (=Soma de Quadrados de Resíduos) é igual a: 

E a letra D está correta. 

Vamos checar a alternativa B. 

Vimos que: 

A letra B pretende dizer que 

SQRe 

siduos SQTotal SQRe 

gressão 80 62, 

5 17, 

5 

r 

2 

SQ Re gressao 

SQTotal 

2 SQ Re siduos 

r , o que está errado. 

SQTotal 

Por fim, vejamos a letra C. A estatística F é dada por: 

QM Re gressao SQ Re gressao / 1 

F _ teste 

 

QM Re siduos SQ Re siduos /( n 2) 

A alternativa C está errada, pois afirma que a estatística F é dada por 

SQ Re gressao 

, ignorando as divisões pelos graus de liberdade. 

SQ Re siduos 

Gabarito: D. 

7. SEAD/PM SANTOS 2005 [FCC] 

Para resolver à questão seguinte, considere que foi realizado um estudo em 

um país com a finalidade de se determinar a relação entre a Renda Disponível 

(Y), em milhões de dólares, e o consumo (C), também em milhões de dólares. 

Sabe-se que foi utilizado o modelo linear simples Ci a bYi 

ei 

, em que Ci é o 

consumo no ano i, Yi é a renda disponível no ano ‘i’ e ei o erro aleatório com as 

respectivas hipóteses consideradas para a regressão linear simples. 

Este estudo apresentou as seguintes informações colhidas através da 

observação nos últimos 10 anos: 

10 

 

i1 

10 

 

i1 

10 

 

i1 

Ci 800 Yi 1. 

000 YiCi 83. 

600 Yi 105. 

000 Ci 

67. 

240 


10 

 

i1 

2 

10 

 

i1 

2



O coeficiente de correlação r de Pearson entre as variáveis Y e C é obtido pela 

fórmula: 

cov( C, 

Y) 

r em que: 

DP( 

Y) 

DP( 

C) 

Cov(C,Y) é a covariância entre C e Y; 

DP(Y) é o desvio padrão de Y 

DP(C) é o desvio padrão de C. 

Tem-se que o valor do correspondente de determinação 2 

r é igual a: 

a) 60% 

b) 72% 

c) 76% 

d) 80% 

e) 90% 

Resolução: 

Nós temos representado os parâmetros do modelo por e . E 

representamos suas estimativas por a e b . 

Pois bem, neste exercício os parâmetros estão sendo chamados de a e b . 

Vamos chamar suas estimativas de â e b ˆ . 

Portanto: 

n 

 

i1 

C C 

 

SQTotal i 

2 

i 

n 

 

i1 

2 2 

= 

nC 

 


C 

2 

i 

2 

SQTotal C nC 

67. 

240 10 

80 3. 

240 

YC 

n 

Y 

 

SQ Re gressao bˆ 

 

C 

83. 600 10100 

80 

SQ Re gressao bˆ 

 

 

Lá no Erro! Fonte de referência não encontrada. nós vimos que bˆ 

0, 

72 

Logo: 

Por fim, chegamos a: 

2 

83. 600 10100 

80 

2. 

592 

SQRe 

gressao 0, 

72

Gabarito: D 



8. TCE RO 2005 [CESGRANRIO] 

r 

2 

r 

2 

SQ Re gressao 

SQTotal 

2. 

592 

 

3. 

240 

Avaliações de terrenos baseiam-se, geralmente, em modelos de regressão 

linear nos quais o preço de venda é uma função de algumas variáveis tais 

como o tamanho do terreno, suas condições e localização. Uma amostra de 

terrenos comercializados no último mês coletou dados sobre o preço da venda, 

em R$ 1 000,00, o tamanho do terreno, em m2, e a distância ao centro da 

cidade, em km. Primeiramente obteve-se o modelo com apenas a variável 

tamanho do terreno, X1, como explicativa do preço de venda. Os principais 

quantitativos relativos a esse modelo foram calculados como: 

Considerando o quadro acima, os valores de X, Y e Z, respectivamente, são: 

(A) 2826, 121 e 3,65E-07 

(B) 2178, 121 e 0,77 

(C) 2178, 36 e 0,77 

(D) 648, 36 e 60,5 

(E) 32,4, 18 e 34,1 


0, 

80

Resolução. 



O quadrado médio dos resíduos é igual a 36 (dado no enunciado). 

Logo: 

Com isso já podemos marcar a letra D. 

SQ Re siduos 

QM Re siduos 

36 

18 

SQRe siduos 18 36 648 

X 648 

O quadrado médio dos resíduos é 36 (dado no enunciado). Portanto, Y = 36. 

A soma de quadrados total é de 2826 (dado enunciado). Portanto, a soma de 

quadrados da regressão é: 

A estatística F fica: 

Gabarito: D 

SQRe gressao SQTotal SQRe 

siduos 

SQRe gressao 2826 648 2178 

QM Re gressao SQ Re gressao / 1 2178 

F _ teste 

 

60,5 

QM Re siduos 36 36 

9. CAPES 2008 [CESGRANRIO] 




O Coeficiente de Correlação Linear de Pearson entre os desempenhos de 

determinados alunos em duas avaliações nacionais é igual a 0,844. Nesse 

caso, conclui-se que a proporção da variabilidade nos resultados de uma das 

avaliações explicada pela relação linear entre elas é 

(A) 15,6% 

(B) 39,4% 

(C) 71,2% 

(D) 84,4% 

(E) 91,8% 

Resolução. 

O coeficiente de determinação é o quadrado do coeficiente de correlação. 

Gabarito: C 

10. PETROBRAS 2008 [CESGRANRIO] 

2 

2 

r 0, 

844 0,712 

Um modelo de regressão linear simples de Y em X, com uma variável 

explicativa e o termo constante, foi estimado com 32 observações, gerando um 

r 2 de 0,25. No teste de validade do modelo, o F-calculado ou F-observado é 

igual a 

(A) 10 

(B) 11 

(C) 12 

(D) 13 

(E) 14 

Resolução. 

r 

2 

SQ Re gressao 

SQTotal 




Lembrando que: 

Logo: 


Gabarito: A 

0, 25 

SQ Re gressao 

SQTotal 

SQRe 

gressao SQtotal 0, 

25 

SQTotal SQRe 

gressao SQRe 

siduos 

SQRe siduos 0, 

75 

SQTotal 

QM Re gressao SQ Re gressao / 1 0, 

25 

SQtotal 

F _ teste 

 

 

10 

QM Re siduos SQ Re siduos /( 32 2) 

0, 

75 

SQTotal / 30 

11. BNDES 2008/2 [CESGRANRIO – questão adaptada] 

Um experimento foi realizado com o objetivo de estimar o preço de uma ação, 

dado o seu valor patrimonial, ambos em reais. 

Uma amostra de ações negociadas recentemente forneceu dados sobre o preço 

e o valor patrimonial por ação. Aplicou-se o modelo de regressão linear simples 

Y X 

. Alguns resultados da tabela da análise da variância, obtida a 

partir dos dados dessa amostra, estão apresentados a seguir. 

Julgue os itens abaixo: 

I – O coeficiente de determinação mostra que o modelo proposto explica 

aproximadamente 63% da variabilidade total. 

II – O valor da estatística Fcalculado é 100, e a conclusão do teste é que a 

variável valor patrimonial é significativa, isto é, deve-se rejeitar a hipótese 

nula H : 0 . 

0 


Resolução. 

Primeiro item. 



O coeficiente de determinação fica: 

SQRe gressao QM Re gressao / 1 

SQRe 

gressao 

56. 

000 

2 SQ Re gressao 56. 

000 

r 

= 0,63 

SQTotal 88. 

480 

Portanto, 63% da variação é explicada pela reta de regressão. Ou seja, o 

modelo de regressão explica 63% da variabilidade total. O primeiro item está 

certo. 

Segundo item. 


SQRe siduos SQTotal SQRe 

gressao 

SQRe 

siduos 88. 

480 56. 

000 

32. 

480 

QM Re gressao SQ Re gressao / 1 56. 

000 

F _ teste 

 

100 

QM Re siduos SQ Re siduos /( 60 2) 

32. 

480 / 58 

O segundo item também está certo. 

Gabarito: Certo, certo 

Embora esta informação não tenha sido necessária para resolver a questão, 

vamos falar sobre o Fsig, que aparece na tabela. 

O valor de Fsig nada mais é que o valor descritivo do teste de hipóteses para 

0 . Ou seja, é a probabilidade de uma variável com distribuição F, com 1 

grau de liberdade no numerador e 58 no denominador, assumir valores 

maiores que 100 (que é a estatística teste). 

12. SEFAZ SP 2009 [ESAF] 




Uma amostra aleatória simples (X1, Y1), (X2, Y2), ..., (Xn, Yn) de duas variáveis 

aleatórias X e Y forneceu as seguintes quantidades: 

n 

 

i1 

n 

 

i1 

n 

 

i1 

X X 

i 

Y Y 

i 

X X 

i 

414 


2 

2 

359 

Y 

345 

Calcule o valor mais próximo do coeficiente de determinação da regressão 

linear de Y em X. 

a) 0,88 

b) 0,92 

c) 0,85 

d) 0,80 

e) 0,83 

Resolução: 

No caso do modelo usual de regressão linear, o coeficiente de determinação é 

igual ao quadrado do coeficiente de correlação. 

Aqui a questão explora outra igualdade envolvendo somatórios. 

O numerador da fórmula do coeficiente de correlação é: 

n 

 

i1 

Fazendo a multiplicação, ficamos com: 

n 

 

i1 

X X Y Y 

 

i 

X X Y X X Y 

 

i 

Separando o somatório da diferença em diferença de somatórios: 

i 

n 

n 

= X X Y 

X X Y 

 

 

i1 

i 

i 

i 

 

i1 

i 

i 

i



A média de Y é constante e pode “sair” do somatório: 

n 

n 

= X X Y 

Y X X 

 

i1 

A soma dos desvios em relação à média de X é igual a zero: 

i 


i 

 

i1 

n 

= X X Y 

Y 0 

 

i1 

i 

n 

= X X Y 

 

Logo, outra fórmula para o coeficiente de correlação seria: 

r 

n 

 

i1 

n 

 

i1 

i 

X X Y 

n 

2 

X X Y Y 

i 

i1 

i1 

E, para esta fórmula, o enunciado já deu todas as contas prontas: 

r 

Elevando o coeficiente ao quadrado: 

Fazendo a primeira divisão, temos: 

r 

r 

2 

2 

 

 

i 

345 

414 

359 

345 

414 

0, 

83 

O “0,83” está sendo multiplicado por um número menor que 1. Toda vez que 

multiplicamos um número por outro que seja menor que 1, o número original 

diminui. Logo, a resposta procurada será menor que 0,83. A única opção é a 

letra D. 

Gabarito: D 

 

 

i 

345 

359 

345 

359 

i 

i 

i 

i 

2

Aula 20 - Parte 01.pdf

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