Razões, Proporções e Números Irracionais Adriana Kurylo ... - Ufrgs.br

Universidade Federal do Rio Grande do Sul<br />
Instituto de Matemática<br />
Departamento de Matemática Pura e Aplicada<br />
Curso de Especialização Matemática, Mídias<br />
Digitais e Didática : Tripé para a formação do<br />
Professor de Matemática<br />
Razões, Proporções e Números<br />
Irracionais<br />
Adriana Kurylo<br />
Orientadora: Professora Drª. Vera<br />
Clotilde Vanzetto Garcia

Introdução<br />
Este trabalho foi realizado com a 7ª série do Ensino<br />
Fundamental. Por duas razões: pela importância que o tema<br />
Proporcionalidade representa no dia a dia na escola e fora dela<br />
e para suprir a ausência de relação entre razões e proporções e<br />
números Irracionais, buscando contribuir para a melhoria do<br />
ensino dos Irracionais na escola.

Razões Proporções e números<br />
Desenvolvido<br />
Irracionais<br />
7ª série do ensino fundamental<br />
30 alunos<br />
Escola Estadual de Ensino Fundamental Profª Aurora Peixoto<br />
de Azevedo.<br />
08 de junho a 06 de agosto de 2010

Organização do trabalho<br />
Capítulo I -Introdução<br />
Capítulo II -Razões e Proporções<br />
2.1. Análise do saber em jogo<br />
2.2. Análise do ensino atual<br />
2.3. Análise das dificuldades de aprendizagem<br />
Capítulo III -Números Irracionais<br />
3.1. Análise do saber em jogo

3.2. Análise do ensino usual<br />
3.3. Análise das dificuldades de aprendizagem<br />
Capítulo IV - O Plano de ensino<br />
4.1. Hipóteses<br />
4.2. Plano de ensino<br />
4.3. Estratégias para coleta de dados<br />
Capítulo V - A Prática<br />
5.1. Descrição da prática<br />
5.2. Análise das hipóteses<br />
Capítulo VI – Reflexões finais<br />
6.1. Reflexões sobre a engenharia<br />
6.2. Considerações finais<br />
Capítulo VII - Atividades

Razões e Proporções<br />
Razões e proporções são conceitos diretamente relacionados a<br />
grandeza. Grandeza é uma relação numérica estabelecida com<br />
um objeto. É tudo que se pode contar, medir, pesar ou<br />
enumerar<br />
Definições mais comuns<br />
Razão é a relação entre duas grandezas, obtida pela divisão<br />
de seus valores numéricos. Razão é uma forma de se realizar<br />
comparação de duas grandezas.

Proporção é a igualdade entre razões<br />
Mas estas definições são muito simples, quando pensamos na<br />
importância destes conceitos.<br />
A proporcionalidade é uma idéia unificadora que representa papel-chave<br />
numa ampla variedade de tópicos da Matemática e em outras disciplinas<br />
curriculares.<br />
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais PCN (Brasil,1998) o<br />
desenvolvimento do raciocínio que envolva a proporcionalidade é objetivo<br />
das 6ª e 7ª séries. A metodologia indicada é a exploração de situações de<br />
aprendizagem que levem o aluno a identificar grandezas, estabelecer relação<br />
entre elas e construir variadas estratégias de solução, incluindo entre elas a<br />
regra de três (tipo de equação que consiste em igualar razões com três<br />
números conhecidos e uma incógnita, que é o número desconhecido)

O desenvolvimento do pensamento proporcional pode se<br />
dar em diferentes contextos, em especial no geométrico:<br />
podem-se estabelecer relações de congruência e de semelhança<br />
entre figuras planas, trabalhar com as diferentes transformações<br />
de uma figura no plano (translações, reflexões em retas,<br />
rotações) obtendo figuras congruentes e com ampliações e<br />
reduções, obtendo figuras semelhantes.<br />
Os PCN também sugerem que o aluno aprenda a expressar<br />
generalizações algebricamente. Em particular que traduza<br />
situações-problema e informações contidas em gráficos e<br />
tabelas em linguagem algébrica e vice-versa. Generalizando<br />
regularidades e identificando o significado das letras. E enfatiza<br />
que é preciso permitir que os alunos construam procedimentos<br />
não-convencionais para resolver esses problemas antes de<br />
compreender e utilizar os procedimentos convencionais como a<br />
regra de três.

Ensino usual<br />
Os autores Andrini e Vasconcellos(2002) no livro Novo<br />
Praticando Matemática(6ª série); Bourdeaux e outros(1999) no<br />
livro Matemática na Vida & na Escola(volume 2); e Bonjorno<br />
e Ayrton(2006) no livro Matemática Fazendo a Diferença (6ª<br />
série) apresentam proporcionalidade através de problemas que<br />
os alunos vão desenvolvendo e depois conceituam através deles<br />
razão e proporção. Após apresentam nova coleção de<br />
problemas e vão conceituando grandezas diretamente e<br />
inversamente proporcionais. Trazem vários exemplos e<br />
aplicações, como escalas, relações entre lado, perímetro e área<br />
de quadrado; propõe construção de tabelas.

Giovani e outros(2002) no livro A Conquista da Matemática<br />
Teoria e Aplicação (6ª série) apresenta um texto com vários usos<br />
para comparação de dois números por meio de uma divisão; a<br />
seguir representa uma situação e conceitua razão denominando<br />
seus termos e como as razões podem ser lidas. Expõe exemplos<br />
e dá exercícios de aplicação dos exemplos. Apresenta razões<br />
inversas seguindo o mesmo modelo: explicação, conceituação,<br />
exemplos e exercícios. Segue mesmo caminho para proporções,<br />
propriedade fundamental das proporções, outras propriedades,<br />
grandezas proporcionais e regra de três (simples e composta).<br />
Analisando estes livros percebe-se que, nos vários<br />
exemplos, as razões são apresentadas sempre como números<br />
racionais e mostram como resultado uma fração, racional<br />
Para o aluno fica a impressão que o mundo das razões e<br />
proporções é um subitem do ensino de frações e dos números<br />
racionais. No entanto sabemos que π (PI) representa a razão entre<br />
o comprimento e o diâmetro da circunferência.

Números Irracionais<br />
Um número irracional é um número que representa a medida de um<br />
segmento incomensurável com a unidade. Um número irracional não pode<br />
ser representado por uma razão m com m e n inteiros e n ≠ 0.<br />
n<br />
Pitágoras conseguiu demonstrar que, para qualquer triângulo<br />
retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos<br />
dois catetos. A partir deste resultado surgiu um número que corresponde à<br />
razão entre as medidas da hipotenusa e do cateto, de um triângulo retângulo<br />
isósceles: √2. Este número corresponde a medida da diagonal do quadrado<br />
de lado um. Buscando a razão entre o lado e a diagonal deste quadrado<br />
verificou-se que não são comensuráveis.

Outro número irracional, importante na história grega, é o<br />
número de ouro Ф, o número da beleza e da harmonia, também<br />
representado por radicais.<br />
Φ = 1+√5<br />
2<br />
( a razão entre dois segmentos, que resulta de uma forma especial de dividir um<br />
segmento em duas partes -divisão em média e extrema razão- é um número<br />
irracional o número de ouro)<br />
O número π, que corresponde á medida do comprimento<br />
da circunferência de diâmetro unitário, é irracional, mas não<br />
pode ser representado por radical.

Ensino usual<br />
NAKAMURA(2008) apresenta uma dissertação sobre as<br />
dificuldades ao longo da história para o desenvolvimento do<br />
conteúdo matemático Números Irracionais e quais abordagens<br />
presentes nos livros didáticos. O autor conclui que, no ensino<br />
usual, os números irracionais são tratados de forma linear, por<br />
meio de acumulação de conjuntos numéricos: primeiro<br />
Naturais, depois Inteiros, depois Racionais e depois<br />
Irracionais. Que o autor denomina de abordagem axiomática<br />
euclidiana.<br />
Sugere que se deve acompanhar a evolução dos números<br />
através da história que propicia uma abordagem mais rica . A<br />
história da matemática mostra que os conceitos matemáticos<br />
foram construídos como respostas a perguntas provenientes de<br />
diferentes contextos

Na década de 70 os livros didáticos apresentam o<br />
conceito através de demonstração matemática clássica. A<br />
partir da década de 80 a abordagem apresenta equações<br />
polinomiais e é denominada abordagem dedekindiana, pelo<br />
autor. Nas coleções mais recentes, verificou que, nas<br />
atividades, os autores estão construindo conexões entre os<br />
temas, evitando a idéia de conhecimento pronto. O tema<br />
números irracionais é retomado várias vezes buscando<br />
acompanhar a evolução do aluno. Porém enquanto os números<br />
naturais, inteiros e racionais são amplamente tratados os<br />
irracionais são tratados superficialmente.

O livro de Bonjorno e Ayrton(2006) Matemática Fazendo<br />
a Diferença apresenta um histórico da necessidade de ampliar<br />
os conjuntos numéricos, relembra representação decimal e<br />
percentual dos números racionais e no capítulo com título<br />
números Reais demonstra com figuras o Teorema de<br />
Pitágoras chega ao número √2, faz diversas aproximações dele<br />
propõe diversos exercícios de cálculo usando a calculadora e<br />
fazendo aproximações. Demonstra a atividade de medir o<br />
comprimento da circunferência e diâmetro para apresentar o<br />
número π e propõe problemas para o aluno resolver.

Andrini e Vasconcellos(2002) no livro Praticando<br />
Matemática , 7ª série inicia o capítulo de números irracionais<br />
explicando as características de alguns números que são<br />
decimais infinitos e não periódicos, demonstra que √2 não é<br />
raiz exata e o apresenta como número irracional. Propõem<br />
exercícios utilizando a calculadora para o cálculo de raízes<br />
propõe o cálculo da razão do comprimento da circunferência<br />
pelo seu diâmetro e apresenta o número π. Propõe alguns<br />
problemas e passa a trabalhar o conjunto dos Reais, definindoo<br />
como a união de todos os racionais e irracionais.

O livro de Bordeaux e outros (1999), Matemática na vida<br />
& na escola (volume 3), inicia números irracionais (unidade 9)<br />
com o triângulo retângulo: relação de Pitágoras. À medida que<br />
vai desenvolvendo, convida o aluno a preencher lacunas, para<br />
chegar ao Teorema de Pitágoras. Através de exercício do<br />
cálculo da diagonal do quadrado chega ao número √2 e o<br />
apresenta como irracional. Propõe exercícios de identificação<br />
de números irracionais e apresenta a localização na reta<br />
numérica dos números Irracionais, utilizando régua, esquadro e<br />
compasso. Propõe exercícios para chegar ao número π e propõe<br />
exercícios usando π=c/d, teorema de Pitágoras e cálculo de<br />
diagonais, porém está completamente desconectado dos<br />
números racionais (unidade 5) e sequer fala em números Reais

Dante(2007) em seu livro Tudo é Matemática , 8ª<br />
série, no capítulo 5,apresenta o título<br />
Proporcionalidade e Geometria, faz uma revisão do<br />
conceito de proporcionalidade visto na 6ª<br />
série,apresenta uma série de exercícios e a razão entre<br />
segmentos com exercícios que vão conduzindo o<br />
aluno. Relembra o número π, que indica a<br />
proporcionalidade das circunferências, e apresenta a<br />
Divina Proporção : o Número de Ouro. Faz um breve<br />
histórico e calcula o número de ouro.

O estudo da dissertação de Nakamura mostra que a tendência, hoje,<br />
para o ensino dos irracionais é a abordagem histórica, conhecendo as<br />
resistências e dificuldades encontradas pelo homem, quando foi construído e<br />
sistematizado este conhecimento, o professor tem condições de compreender<br />
as dificuldades apresentadas pelos alunos, podendo buscar uma abordagem<br />
mais adequada.<br />
Analisando os livros didáticos e pela minha experiência verifica-se<br />
que os números Irracionais geralmente são apresentados como elementos de<br />
um conjunto que não é racional, portanto não podem ser expressos na forma<br />
fracionária. Inicia-se o estudo na 7ª série do ensino fundamental e se<br />
aprofunda na 8ª série, quando se estudam as operações com radicais.<br />
Normalmente o conjunto é apresentado através do cálculo de π e da √2 como<br />
se não existissem outros números. O efeito é que, para alunos e professores,<br />
parece haver muito mais frações do que números irracionais, o que não é<br />
verdade. Para exemplificar todas as raízes inexatas de números racionais<br />
positivos são números irracionais, tais como √3,√0,3; √0,03 etc. e π não pode<br />
ser representado como um radical e todas as operação possíveis sobre ele<br />
resultam em números irracionais tais como π 2 , √π e inúmeros outros<br />
números decimais com infinitas casas decimais. Dá para imaginar a imensa<br />
quantidade de números irracionais.

Análise das dificuldades de aprendizagem<br />
Após conversa com colegas e refletindo sobre minha<br />
própria experiência no ensino dos conteúdos de razão e<br />
proporção e números irracionais e após aplicar um teste sobre<br />
proporções e números irracionais. Concluí que sobre razões e<br />
proporções o aluno apresenta resistência á representação<br />
fracionária de um número(utiliza mais a representação<br />
decimal) mostra dificuldade em resolução de problemas, tem<br />
dificuldade em identificar grandezas envolvidas nos<br />
problemas e de perceber se são direta ou inversamente<br />
proporcionais; não consegue transpor para o papel o<br />
raciocínio oral. Em relação aos irracionais apresenta<br />
dificuldade em compreender números com representação<br />
decimal infinita, não consegue fazer aproximações e<br />
estimativas, não sabe localizar na reta numérica, não<br />
diferencia número racional de número irracional e não vê o<br />
conjunto dos números irracionais como um conjunto infinito.

Hipóteses<br />
As ações iniciam com um vídeo educativo, suponho que o<br />
vídeo e as atividades despertem a curiosidade em relação ao<br />
Número de Ouro e a Proporção áurea.<br />
Suponho que o aluno faça anotações em relação a matemática<br />
que aparece no filme e que as discussões entre os membros dos<br />
grupos despertem o interesse de verificar se a razão áurea<br />
ocorre nas medidas do corpo.<br />
Espero que não haja dificuldade no manuseio da trena para<br />
verificação das medidas e que apareça a razão áurea em pelo<br />
menos um dos grupos.<br />
Suponho que, as atividades de medida e o filme, despertem o<br />
interesse de verificar se existe proporção áurea nos objetos do<br />
cotidiano.<br />
Creio que os alunos encontrarão dificuldades em fazer<br />
aproximações do número de ouro e pretendo elaborar uma<br />
intervenção prévia para mediar à situação.

Hipóteses<br />
Provavelmente em algum grupo surgirá a observação que a<br />
razão de suas medidas é a mesma da razão da medida de outro<br />
colega(S) embora as medidas sejam diferentes, o que<br />
corresponde a meus objetivos para construir o conceito de<br />
razão.<br />
Com o trabalho em grupo os alunos terão maior facilidade em<br />
criar hipóteses para solução de problemas<br />
Suponho que os participantes da sequência de atividades<br />
identifiquem o número de ouro como um número irracional.<br />
Espero que os alunos concluam que a razão entre diferentes<br />
números também podem ser números irracionais<br />
Pressuponho que os alunos concluam que quando a razão entre<br />
medidas é a mesma, estas medidas são proporcionais.

Plano de ensino<br />
Objetivos<br />
Introduzir discussão<br />
sobro o número de<br />
Ouro e<br />
proporcionalidade.<br />
Obter um valor<br />
racional aproximado do<br />
número de Ouro.<br />
Desenvolver noções de<br />
razão, como relação<br />
entre medidas.<br />
Ações e atividades<br />
-Assistir ao vídeo;<br />
-Discutir anotações<br />
dos alunos em<br />
grande grupo.<br />
-Os alunos deverão<br />
anotar as medidas do<br />
corpo, observadas<br />
com o uso da trena,<br />
em uma tabela.<br />
-Cálculo com auxílio<br />
da calculadora das<br />
razões<br />
predeterminadas.<br />
Recursos<br />
-Vídeo Arte,<br />
Matemática, Número<br />
de ouro.<br />
-Anotações dos<br />
alunos<br />
-Trena<br />
-Tabelas (atividade 1)<br />
-Máquina de calcular<br />
-Máquina de calcular<br />
-Atividade 2(folha)

Objetivos<br />
Comparar razões e<br />
investigar o<br />
significado das<br />
razões.<br />
Desenvolver<br />
noções de<br />
proporcionalidade.<br />
Desenvolver<br />
noções de<br />
proporcionalidade<br />
Ações e atividades<br />
-Comparação das medidas<br />
das razões no grupo e entre<br />
os grupos.<br />
-Desenho da planta baixa<br />
da sala mantendo<br />
proporção entre<br />
comprimento e largura.<br />
-Anotação da medida de<br />
distensão da mola em relação<br />
ao número de bolinhas nela<br />
suspensas.<br />
Recursos<br />
-Tabela com<br />
as medidas<br />
dos grupos.<br />
-Régua,<br />
trena,<br />
calculadora.<br />
Tabela, régua,<br />
calculadora,<br />
bolas de gude,<br />
suporte com<br />
mola.

Objetivos<br />
Verificar<br />
proporcionalidade ao<br />
ampliar e reduzir<br />
figuras.<br />
Desenvolver noções<br />
de Números<br />
Irracionais<br />
Reconhecer o número<br />
de Ouro como um<br />
irracional assim como<br />
o π.<br />
Ações e atividades<br />
-Trabalho com o recurso de<br />
homotetia para aumentar e<br />
diminuir figuras elaboradas por<br />
ele.<br />
-Aula expositiva sobre números<br />
Irracionais, discussão com grande<br />
grupo.<br />
-Toda razão é um nº. racional?<br />
Estudar as razões entre diagonal e<br />
lado do quadrado e entre circulo e<br />
diâmetro da circunferência.<br />
-Usar calculadora para convencer<br />
os alunos da ausência de período<br />
na expansão decimal de PI e do n<br />
º de ouro<br />
Recursos<br />
-<br />
Computadores;<br />
-Geogebra.<br />
-Quadro e giz;<br />
-Calculadora.

A Prática<br />
1ª aula : vídeo “Arte, Matemática, Número de Ouro”;<br />
Após assistir o filme foram discutidas as anotações dos<br />
alunos;<br />
Em grupos os alunos anotam as medidas do corpo<br />
observadas com o uso da trena.

2ª aula: revisão da aula<br />
anterior, cálculo das razões<br />
das medidas; introdução a<br />
noção de número decimal<br />
com infinitas casas depois<br />
da vírgula.<br />
3ª aula:construção de<br />
tabela no quadro com<br />
todas as razões das<br />
medidas de todos os<br />
grupos. Foi observado que<br />
duas alunas com biotipos<br />
bem diferentes<br />
apresentavam a mesma<br />
razão nas medidas da<br />
altura total e a altura até o<br />
umbigo.

4ª aula: Revisão oral das descobertas das últimas aulas, resumo no quadro<br />
de giz sobre o que sabíamos de nº. Irracional, que não podem ser<br />
representados na forma fracionária e são decimais infinitos e não periódicos<br />
e também podem aparecer na forma de radicais. Recordamos que o nº. π é<br />
obtido da razão do comprimento da circunferência pela medida da diagonal.<br />
Foi chamada atenção que a calculadora nos mostra a representação racional<br />
aproximada dos números irracionais, pois tem uma restrição física que é o<br />
número de algarismos que podem aparecer em seu visor.<br />
5ª aula: Discussão das conclusões da atividade 3 e trabalho em grupo na<br />
atividade 4.<br />
6ª aula: Revisão oral sobre proporção e continuação dos exercícios da<br />
atividade.<br />
7ª aula:Os mesmos exercícios aplicados na 8ª série para averiguar o que se<br />
lembravam de razão proporão e números irracionais foi aplicado aos alunos<br />
que responderam individualmente(anexo 1).

8ª aula: Retorno das férias de julho, breve revisão das atividades anteriores<br />
com anotações no quadro negro sobre o que são razões proporcionais.<br />
Explicação que escala é a graduação pela qual se mede a variação de uma<br />
grandeza em comparação com um padrão e o que é uma planta baixa,então<br />
foi lançado o desafio de representarem em planta baixa a sala de aula,<br />
mantendo as medidas proporcionais.<br />
Foi necessário explicar que para verificar se o desenho está proporcional a<br />
realidade as medidas reais tem que aparecer no desenho.

9ª aula :A turma foi dividida em 5<br />
grupos e cada grupo recebeu um<br />
suporte de madeira, uma mola,<br />
bolas de gude. Os alunos deviam<br />
montar o aparelho e medir vazio,<br />
após deviam acrescentar bolas de<br />
gude, uma a uma, e medir<br />
novamente<br />
Foi discutido em grande grupo as<br />
anotações do experimento e nos<br />
questionamos se a distensão da<br />
mola em relação ao nº. de bolas de<br />
gude é proporcional.<br />
Os alunos construíram através das<br />
suas tabelas um gráfico<br />
representando a distensão da mola<br />
em relação as bolas de gude

10ª aula:Retomamos a experiência da<br />
mola e comparamos os gráficos<br />
construídos nos grupos. Os alunos<br />
concluíram que embora os gráficos se<br />
comportassem de maneira análoga,<br />
“pareciam” uma reta o que<br />
aparentemente levava a crer que o<br />
crescimento da distensão da mola é<br />
proporcional ao número de bolas de<br />
gude, para termos certeza deveríamos<br />
comparar a razão, fazendo a diferença<br />
da medida final menos a inicial e<br />
dividindo pelo número de bolas.<br />
Para finalizar a aula anotamos no<br />
quadro de giz as descobertas desde<br />
que assistimos ao vídeo:

1. Na natureza,nas artes, no nosso corpo existe uma proporção reincidente que é<br />
dada pelo número de ouro;<br />
2. O número de ouro, Ф, e o número PI, π, são números que pertencem ao<br />
conjunto dos números irracionais e que representam proporções;<br />
3. Proporcionalidade é muito utilizado no nosso cotidiano em ampliações e<br />
reduções, em fotografias e filmagens e na representação em mapas, plantas e<br />
projetos arquitetônicos, de máquinas e etc.;<br />
4. Quando se faz um desenho como uma planta baixa, é necessário explicitar a<br />
escala usada ou colocar as medidas no desenho, do contrário não é possível<br />
verificar se o desenho é ou não proporcional ao real;<br />
5. Existem muitas frações que, quando calculada a razão em uma calculadora, não<br />
mostram o período, pois este não é visível, pois o período tem mais casas<br />
decimais que o visor da calculadora, levando a concluir erradamente que se<br />
trata de um número irracional como por exemplo a fração 23/17 =<br />
1,352941176(dígitos visíveis na calculadora), mas sabemos que este número é<br />
racional pois originalmente estava na forma de fração.<br />
Os números Ф, π,√2,√7, são números irracionais, pois não podem ser escritos<br />
na forma de fração, são números decimais infinitos e não periódicos.

Análise da hipóteses<br />
Hipóteses confirmadas :<br />
O vídeo cumpriu seu papel de sensibilização, mantendo os alunos<br />
envolvidos e atentos e dando origem a discussão sobre o tema;<br />
Os alunos fizeram anotações durante o filme sobre a matemática que<br />
aparece.<br />
Após o filme os alunos sentiram-se desafiados em verificar se há realmente<br />
a razão áurea nas medidas dos seus corpos;<br />
De fato depois de analisarem e copiarem a tabela com as razões das<br />
medidas corporais de todos os grupos, vários alunos constataram que havia<br />
razões semelhantes embora as medidas fossem diferentes;<br />
O trabalho em grupo facilitou a participação e questionamento dos alunos,<br />
alguns que normalmente não se manifesta, ousaram perguntar e<br />
argumentar.<br />
Os alunos identificaram o número de ouro como um número irracional<br />
Os alunos concluíram que a razão entre diferentes números também pode<br />
ser irracional;<br />
Ficou claro para os alunos que quando a razão entre as medidas é a mesma<br />
estas medidas são proporcionais

Hipóteses não confirmadas:<br />
•Os Os alunos apresentaram várias vezes<br />
dificuldade em manusear a trena e se enganaram<br />
na medição confundindo polegada e centímetro;<br />
•O O filme e as atividades não despertaram<br />
curiosidade em verificar se cartões de créditos,<br />
embalagens, livros etc. levam em consideração a<br />
proporção áurea;<br />
•Após Após a explicação sobre a convenção para<br />
aproximações decimais os alunos não<br />
apresentaram dificuldades para fazer<br />
aproximações;

Considerações finais<br />
Durante este trabalho aprendi que o vídeo pode ser usado com sucesso como<br />
desencadeador, ilustração ou desafio, pois os alunos aceitam muito bem a mudança de<br />
estrutura da aula. Assim como as dissertações que estudei a minha prática tem o interesse em<br />
melhorar, buscar caminhos e soluções para a aprendizagem da Matemática.<br />
A sequência de atividades mostrou dificuldades inesperadas como a dificuldade no<br />
manuseio dos instrumentos de medida(trena e régua). A confusão entre figuras geométricas,<br />
alguns alunos não diferenciavam quadrado e retângulo, mas com as atividades os problemas<br />
foram identificados e solucionados, através da intervenção do professor e dos colegas. O<br />
tempo curto para as atividades talvez seja também um reflexo destes problemas que foram<br />
aparecendo durante as atividades.<br />
A mudança no comportamento da turma e em especial de alguns alunos que se<br />
mostraram envolvidos, interessados e alegres com as atividades, mudança que propicia o<br />
querer aprender.<br />
Em relação a experiência com a mola, não a repetiria, pois por ser um instrumento<br />
muito rudimentar não atendeu a necessidade de apresentar razões iguais, substituiria pela<br />
análise da relação entre a altura da água e o volume, completando, lentamente, uma<br />
mamadeira em formato cilíndrico e graduada.<br />
Infelizmente a aula usando o Geogebra não foi possível pois o laboratório de<br />
informática estava desativado para reformas na época das atividades.<br />
Quanto aos resultados do teste da 8ª em comparação a 7ª série, observa-se pouca<br />
diferença, que pode ser motivada pela quebra do trabalho que vinha sendo realizado em<br />
duplas ou pequenos grupos para o trabalho tradicional individual, ou ainda era necessário<br />
fazer alguns exercícios para fixar as idéias trabalhadas

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS<br />
ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Praticando Matemática<br />
Novo, 6ª e 7ª série – São Paulo: Editora do Brasil, 2002.<br />
BONJORNO, José Roberto; BONJORNO, Regina Azenha; OLIVARES,<br />
Ayrton. Matemática Fazendo a Diferença, 6ª e 7ª série – São Paulo: Editora<br />
FTD, 2006.<br />
BORDEAUX, Ana Lúcia; RUBINSYTEIN, Cléa; FRANÇA, Elizabeth;<br />
OGLIARI, Elizabeth; PORTELA, Gilda. Matemática na vida & na escola, -<br />
São Paulo: Editora do Brasil, 1999.<br />
BRASIL, Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares<br />
nacionais: Matemática / Secretaria de Educação Fundamental. . Brasília:<br />
MEC /SEF, 1998.<br />
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática, 6ª, 7ª e 8ª séries – São Paulo:<br />
Editora Ática, 2007.<br />
GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI, Benedito; GIOVANNI JR, José<br />
Rui.A Conquista da Matemática , 6ª, 7ª, 8ª séries – São Paulo: Editora FTD,<br />
2002.<br />
Acesso em 25 de abril de 2010

REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS<br />
CORBO, Olga. Seção áurea: um contexto para desenvolver a noção<br />
de incomensurabilidade de segmentos de reta. 2005. 243f. Dissertação<br />
(Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica,<br />
São Paulo, 2005. Disponível em<br />
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Acesso em 23 de abril de 2010<br />
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