mecânica das estruturas i relações constitutivas ... - FEC - Unicamp
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Então, em lugar dos 36 (trinta e seis) elementos existem apenas 21<br />
(vinte e um) elementos diferentes no tensor C ijkl , e também no tensor S ijkl .<br />
Na forma matricial, tem-se:<br />
⎧σ<br />
⎪<br />
σ<br />
⎪<br />
⎪σ<br />
⎨<br />
⎪σ<br />
⎪σ<br />
⎪<br />
⎩σ<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎫ ⎡C<br />
⎪ ⎢<br />
C<br />
⎪ ⎢<br />
⎪ ⎢C<br />
⎬ = ⎢<br />
⎪ ⎢<br />
C<br />
⎪ ⎢C<br />
⎪ ⎢<br />
⎭ ⎣C<br />
1111<br />
2211<br />
3311<br />
1211<br />
2311<br />
3111<br />
De modo análogo:<br />
⎧ ε<br />
⎪<br />
ε<br />
⎪<br />
⎪ ε<br />
⎨<br />
⎪2ε<br />
⎪2ε<br />
⎪<br />
⎩2ε<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎫ ⎡ S<br />
⎪ ⎢<br />
S<br />
⎪ ⎢<br />
⎪ ⎢ S<br />
⎬ = ⎢<br />
⎪ ⎢<br />
2S<br />
⎪ ⎢2S<br />
⎪ ⎢<br />
⎭ ⎣2S<br />
1111<br />
2211<br />
3311<br />
1211<br />
2311<br />
3111<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1122<br />
2222<br />
3322<br />
1222<br />
2322<br />
3122<br />
S<br />
S<br />
S<br />
2S<br />
2S<br />
2S<br />
1122<br />
2222<br />
3322<br />
1222<br />
2322<br />
3122<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1133<br />
2233<br />
3333<br />
1233<br />
2333<br />
3133<br />
S<br />
S<br />
S<br />
2S<br />
2S<br />
2S<br />
1133<br />
2233<br />
3333<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1233<br />
2333<br />
3133<br />
1112<br />
2212<br />
3312<br />
1212<br />
2312<br />
3112<br />
2S<br />
2S<br />
2S<br />
4S<br />
4S<br />
4S<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1112<br />
2212<br />
3312<br />
1212<br />
2312<br />
3112<br />
1123<br />
2223<br />
3323<br />
1223<br />
2323<br />
3123<br />
2S<br />
2S<br />
2S<br />
4S<br />
4S<br />
4S<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
C<br />
1123<br />
2223<br />
3323<br />
1223<br />
2323<br />
3123<br />
1131<br />
2231<br />
3331<br />
1231<br />
2331<br />
3131<br />
⎤⎧<br />
ε11<br />
⎫<br />
⎥⎪<br />
ε<br />
⎪<br />
⎥⎪<br />
22 ⎪<br />
⎥⎪<br />
ε 33 ⎪<br />
⎥⎨<br />
⎬<br />
⎥⎪2ε<br />
12 ⎪<br />
⎥⎪2ε<br />
⎪<br />
23<br />
⎥⎪<br />
⎪<br />
⎦⎩2ε<br />
31 ⎭<br />
2S<br />
2S<br />
2S<br />
4S<br />
4S<br />
4S<br />
1131<br />
2231<br />
3331<br />
1231<br />
2331<br />
3131<br />
⎤⎧σ<br />
⎥⎪<br />
σ<br />
⎥⎪<br />
⎥⎪σ<br />
⎥⎨<br />
⎥⎪σ<br />
⎥⎪σ<br />
⎥⎪<br />
⎦⎩σ<br />
Com o objetivo de simplificar as operações com os elementos dos<br />
tensores aqui mencionados, pode-se utilizar uma notação indicial reduzida,<br />
apresentada por Lekhnitskii, onde a simetria dos tensores ε , σ e C permite<br />
ij kl ijkl<br />
a redução dos seus índices, os quais podem ser contraídos da seguinte maneira:<br />
σij = σm<br />
→ para quaisquer índices<br />
ε = ε → se = 1,2,3<br />
ij m m<br />
2ε = ε → se = 4,5,6<br />
C<br />
ij m m<br />
= C → para quaisquer índices<br />
ijkl mn<br />
11<br />
22<br />
33<br />
12<br />
23<br />
31<br />
⎫<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎬<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎪<br />
⎭<br />
11
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