mecânica das estruturas i relações constitutivas ... - FEC - Unicamp

Com os índices i, j, k, l,
variando de 1 a 3, pode-se discretizar um dos
termos. Por exemplo σ13: σ
13
= C
+ C
1311
1322
ε
ε
11
22
+ C
+ C
1312
1323
ε
ε
12
23
+ C
+ C
1313
1331
ε
ε
13
31
+ C
+ C
1321
ε
1332
ε
21
32
+
+ C
Como os tensores C ijkl e S ijkl são tensores de 4ª ordem, é de se prever
que sejam constituídos de 81 (oitenta e um) elementos (coeficientes elásticos).
Mas este número de elementos pode ser reduzido pela seguinte análise:
Derivando a equação :
σ =
ij Cijklε kl
tem-se:
∂σ 2
ij ∂ 0
∂ε
kl
U
= = C
∂ε ∂ε
kl
ij
ijkl
e alterando a ordem de derivação:
2
∂ U ∂ U 0
=
∂ε ∂ε ∂ε ∂ε
ij
kl
2
kl
Pode-se concluir, portanto,que:
C = C
ijkl
klij
ij
demonstrando-se, assim, a existência da simetria nos pares de índices ( i, j)( k, l)
do tensor Cijkl .Semelhante análise pode ser feita para os termos Sijkl :
S = S
ijkl
klij
• Em primeiro lugar,a simetria de tensores de deformação ε ij , ou
1333
ε
33
9