mecânica das estruturas i relações constitutivas ... - FEC - Unicamp

Como alternativa, pode-se utilizar os coeficientes com os índices
S e C ,para os quais Lekhnitskii apresenta os termos escritos por qij ,
reduzidos ( ij ij )
para se efetuar a transformação do tensor constitutivo.
Assim, a lei de transformação torna-se:
S ′ = q
ij
im
q
in
S
mn
onde os termos q ij estão apresentados na tabela 01, sendo que o primeiro
subscrito indica a linha e, o segundo a coluna na tabela.
Tabela 01 - Relação dos termos q ij e os cossenos diretores l ij para
transformação de coordenadas com subscrito reduzido
Fonte: Lekhnitskii
1 2 3 4 5 6
1
2
l11 2
l12
2
l13 l11l12 2
2
l21 2
l22
2
l23 l22l21 3
2
l31 2
l32
2
l33 l32l31 l12l13 l l
23 22
l l
33 32
l31l11 4 2l21l 11 2l12l 22 2l13l 23 l11l22 + l12l21 l13l22 + l12l23 l l + l l
5 2l31l 21 2l32l 22 2l33l 23 l31l22 + l32l21 l33l22 + l32l23 l l + l l
6 2l31l 11 2l32l 12 2l33l 13 l l + l l l33l12 + l32l13 l l + l l
31 12 32 11
l l
23 21
l l
33 31
13 21 11 23
33 21 31 23
33 11 31 13
Com o exposto é possível apresentar os novos termos do tensor
constitutivo Sij, ′ após transformação de coordenadas.
Observa-se que as parcelas que contribuem para cada termo de Sij ′ estão
relacionadas às funções trigonométricas do ângulo de rotação θ :
S ′
11
S
′
12
= S
+ 2
=
11
cos
θ +
( 2S
+ S )
sen
θ cos
2
2
( S cos θ + S sen θ ) senθ
cosθ
16
4
12
26
( S + S − 2S
− S )
+
11
66
sen
2
θ cos
2
θ + S
θ + S
2
2
( S − S )( cos θ − sen θ ) senθ
cosθ
16
22
26
12
66
2
2
12
22
+
sen
4
θ +
15