A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 5
1.2 Grupos Solúveis e Nilpotentes
Nesta seção definiremos os subgrupos característicos, grupos solúveis e nilpotentes e dare-
mos alguns resultados básicos que serão utilizados ao longo de nosso trabalho.
Recordando que Aut(G) é o grupo dos automorfismos de G, podemos agora definir o
subgrupo característico.
Definição 1.6. Seja G um grupo. Um subgrupo H de G é característico em G quando
(H)α = H, para todo α ∈ Aut(G).
Denotaremos por H char G, quando H for um subgrupo característico de G. Daremos
algumas propriedades a seguir.
Proposição 1.7. ([9]) Se G é um grupo e H e K subgrupos de G, então:
(i) Se (H)α ⊆ H, para todo α ∈ Aut(G), então H char G;
(ii) Se H char G, então H ✁ G;
(iii) Se H char K e K char G, então H char G;
(iv) Se H char K e K ✁ G, então H ✁ G;
(v) Z(G) char G.
Para obtermos a definição de grupos solúveis e nilpotentes, precisaremos antes da
definição de séries.
Definição 1.8. Uma série subnormal de um grupo G é uma sequência de subgrupos
G = G0 ≥ G1 ≥ · · · ≥ Gn = 1 onde Gi+1 ✁ Gi para todo i. Os grupos fatores desta série
são os grupos Gi
Gi+1
para i = 1, . . . , n − 1.
Definição 1.9. Uma série de composição é uma série subnormal G = G0 ≥ G1 ≥ ... ≥
Gn = 1 na qual, para todo i, ou Gi+1 é um subgrupo normal maximal de Gi ou Gi+1 = Gi.
Os grupos fatores desta série são chamados fatores de composição.