A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 3. P -NILPOTÊNCIA 41
ordem. Escrevamos K = NP3(H). Como K ≤ NG(H) e P1 é um p-subgrupo de Sylow
de NG(H), existe um elemento x em NG(H) tal que K ≤ P x 1 . É claro que H ✁ P1, o
que implica que H ✁ P x 1 , o que nos fornece que podemos substituir, se necessário, P1 por
P x 1 . Assim podemos supor K ≤ P1, logo K ≤ P1 ∩ P3 ≤ K, já que H ✁ P1, deste modo,
K = P1 ∩ P3. Agora, como P1 = P3, temos que K < P1 e K < P3. Aplicando a Condição
do Normalizador (Proposição 1.27), obtemos que
K < NP1(K) ≤ P1 e K < NP3(K) ≤ P3.
Desta forma K ✁L = 〈 NP1(K), NP3(K) 〉. Notemos que L não pode normalizar H, porque
se ele assim fizesse, NP3(K) estaria contido em NP3(H) = K. Vamos mostrar que existe um
p-subgrupo de Sylow de L que normaliza H. Uma vez que NP1(K) é um p-subgrupo de L,
ele está contido em um p-subgrupo de Sylow de L, que está contido em um p-subgrupo de
Sylow de G, digamos P4. Observemos que NP1(K) ≤ NP4(H), pois se y ∈ NP1(K) ≤ P4,
temos que y ∈ P1 ∩ P4 e, como H ✁ P1, então H y = H, portanto, y ∈ NP4(H). Afirmamos
que P4 normaliza H pois, caso contrário como H ≤ K < NP1(K) ≤ P4 teríamos que
|NP4(H)| > |K| o que contraria a escolha de K. Segue disto que existe um p-subgrupo
de Sylow T de L o qual normaliza H. Assim, como L não normaliza H, existe um primo
q = p e um q-subgrupo de Sylow Q de L tal que Q não normaliza H. Sejam g ∈ Q\NG(H)
e M = H 〈 g 〉 = 〈 {hgl, h ∈ H, l ∈ Z} 〉. Temos que M é um p-grupo, pois se x ∈ M, x é
da forma x = h gl 1
1 h gl 2
2 . . . h gln
n , onde hi ∈ H. Como H ✁ K ✁ L e Q ≤ L temos que cada
h gl i
i
∈ K, que é um p-grupo, portanto, ordem de x é uma potência de p e, assim, M é um
p-grupo. Obviamente g ∈ NG(M), mas g ∈ CG(M), já que g ∈ CG(H). ✷
O próximo resultado nos fornece um critério para a p-nilpotência de um grupo G.
Teorema 3.17. (Frobenius): Um grupo finito G é p-nilpotente se, e somente se, todo
p-subgrupo é centralizado pelos p ′ -elementos de seu normalizador.
Demonstração: Suponhamos que G é p-nilpotente e que P é um p-subgrupo de G.
Então todos os p ′ -elementos pertencem a Op ′(G), e é fácil ver que
[Op ′(G) ∩ NG(P ), P ] ≤ P ∩ Op ′(G) = 1.
Logo todo p ′ -elemento do normalizador de P em G centraliza P. Reciprocamente supon-
hamos que a condição seja satisfeita em G e seja P um p-subgrupo de Sylow de G. Iremos