A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 3. P -NILPOTÊNCIA 33
Definição 3.5. Uma formação F é dita saturada, se G ∈ F sempre que G
φ(G)
∈ F .
Exemplo 3.6. A classe dos grupos supersolúveis finitos é uma formação saturada. De
fato, se G
M
é supersolúvel, então pelo Teorema 1.31, todo subgrupo maximal
φ(G) φ(G) de
G
possui índice primo. Pela definição do subgrupo de Frattini, φ(G) está contido em
φ(G)
todo subgrupo maximal de G, portanto, se L é um subgrupo
maximal
de G teremos que
L
G
G L
é um subgrupo maximal de . Agora [G : L] = : que é primo para
φ(G) φ(G) φ(G) φ(G)
todo subgrupo maximal L de G. Assim da Proposição 1.34, segue que G é supersolúvel.
A classe dos grupos solúveis finitos e a classe dos grupos nilpotentes finitos são outros
exemplos de formações saturadas.
Exemplo 3.7. O grupo diedral de ordem 8, D4, é um 2-grupo, portanto, pela Proposição
1.37, temos que D4
φ(D4) é abeliano elementar, logo é abeliano, mas D4 não é abeliano.
Com isso a classe dos grupos abelianos finitos é um exemplo de uma classe que não é
uma formação saturada.
3.3 O Homomorfismo Transfer
Nesta seção estudaremos o homomorfismo transfer, com o intuito de conseguir alguns
resultados sobre a p-nilpotência de um grupo.
Seja G um grupo e seja H um subgrupo com índice finito n em G. Escolhemos uma
transversal à direita {t1, t2, . . . , tn} para H em G. Temos que se multiplicarmos à direita
uma classe lateral por um elemento de G, teremos uma classe lateral à direita, assim,
Htig = Ht(i)g para algum (i)g ∈ {1, . . . , n}.
É claro que a aplicação i ↦→ (i)g é uma
permutação do conjunto {1, 2, . . . , n}. Como Htig = Ht(i)g temos que tigt −1
(i)g
∈ H.
Suponhamos que θ : H → A seja um homomorfismo de H em algum grupo abeliano A.
Então o transfer de θ é a aplicação θ ∗ : G → A definida por
para todo x ∈ G.
(x)θ ∗ =
n
i=1
(tixt −1
(i)x )θ,