A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 3. P -NILPOTÊNCIA 39
todo i e, segue da Equação (3.3) que c = [u pm i , y −1 ] x −1
∈ P . Além disso, c ∈ (P ′ ) x−1
que significa que c ∈ D, consequentemente vi ≡ (upmi x ) −1
mod D. A contribuição total
para (u)τ da classe lateral dupla P xP é, portanto,
já que
ω(x) =
r
i=1
vi ≡ (u pt
) x−1
mod D, (3.4)
r
p mi t
= p . Vamos dividir em dois casos: quando t = 0 e quando t > 0. Supon-
i=1
hamos t > 0. Como ω(x) ∈ P e u ∈ P ∩ G ′ = P ∩ ker τ temos (upt) x−1 ∈ P ∩ ker τ, pela
Equação (3.4). Pela minimalidade da ordem de u obtemos (upt) x−1
razão upt ∈ D. Desta forma,
portanto,
ω(x) ≡ (u pt
) x−1
mod D, (u pt
) x−1
≡ 1mod D e 1 ≡ u pt
mod D,
ω(x) ≡ u pt
mod D.
o
∈ D. Pela mesma
Agora se t = 0, então P xP = P x, o que é equivalente a x ∈ N. Logo P xP contribui
P ′ xux −1 = P ′ u[u, x −1 ] para (u)τ. É fácil ver que [u, x−1 ] ∈ P ∩ N ′ ≤ D. Disto segue que
[u, x −1 ] = u −1 u x−1
∈ D, o que implica, u x−1
≡ u mod D.
Isto nos diz que ω(x) ≡ uptmod D. Assim,
s
ω(xj) ≡ u l mod D, onde l =
j=1
s
j=1
p tj e p tj é o
número de classes laterais P xjy em P xP. Então l = [G : P ] é o número de classes laterais
à direita de P em G. Como u ∈ P ∩ G ′ , temos (u)τ = P ′ ≤ D, isto significa que u l ∈ D.
Agora, como p não divide l, obtemos que u ∈ D , o que é um absurdo. ✷
Antes de apresentarmos o segundo Teorema de Grün daremos uma definição que será
usada na demonstração. Se H e K são subgrupos de um grupo G, H é dito fracamente
fechado em K se K contém H mas não contém nenhum outro conjugado de H, isto é, se
H ≤ K e se tivermos H g ≤ K para algum g em G, então H = H g .
Definição 3.14. Seja G um grupo e seja P um p-subgrupo de Sylow de G. Dizemos que
G é p-normal se o centro de P é fracamente fechado em P.
É fácil ver que grupos finitos cujos p-subgrupos de Sylow são abelianos e os grupos
finitos os quais os p-subgrupos de Sylow distintos têm interseção trivial são p-normais.