A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 7
Seja G um grupo. Definimos indutivamente
G (0) = G, G (i+1) = [G (i) , G (i) ].
A cadeia de subgrupos G = G (0) ≥ G (1) ≥ G (2) ... é chamada série derivada de G.
O próximo resultado utiliza a série derivada para garantir a solubilidade de um grupo.
Proposição 1.15. ([9], pág. 105) Um grupo G é solúvel se, e somente se, G (i) = 1 para
algum i ∈ N.
Os dois próximos resultados nos fornecem uma classe de grupos solúveis.
Proposição 1.16. ([9], pág. 103) Todo p-grupo finito é solúvel.
Teorema 1.17. (Burnside)([5], pág. 301) Se G é um grupo finito e |G| = p a q b , com p
e q primos e a, b ∈ N, então G é solúvel.
Se p é um primo, um grupo G é um p-grupo abeliano elementar se, a ordem de G é
uma potência de p e para qualquer elemento g de G, g p = 1 ou, equivalentemente, G é
isomorfo a Zp × Zp × · · · × Zp.
Lembramos que um subgrupo normal minimal de um grupo G é um subgrupo normal
H de G tal que H = 1 e não existe subgrupo normal K de G com 1 < K < H . O
próximo resultado nos fornece uma caracterização para tais subgrupos de grupos solúveis.
Teorema 1.18. ([9], pág. 105) Se G é um grupo solúvel finito, então todo subgrupo
normal minimal de G é abeliano elementar.
Daremos a seguir uma característica do fator de composição de um grupo solúvel.
Proposição 1.19. ([7], pág. 143) Se G é um grupo solúvel finito, então todo fator de
composição de G tem ordem prima.
O próximo resultado nos fornece uma condição suficiente sobre os subgrupos de Sylow
de um grupo para que o mesmo seja solúvel.
Teorema 1.20. ( Holder)([5], pág. 157) Se todo subgrupo de Sylow de um grupo finito G
é cíclico, então G é solúvel.