A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 2. GRUPOS COMPLEMENTADOS 15
hipóteses de indução, temos que AH
H
e BH
H
são conjugados, isto é,
xH AH
H
= BH
, para
H
algum xH ∈ G
H . Portanto, x−1 Ax e B são subgrupos de BH de ordem a. Novamente,
por indução, temos que eles são conjugados e isto completa o primeiro caso.
Se existe algum subgrupo próprio normal de G cuja ordem não é divisível por b, então
estaremos no primeiro caso. Podemos, portanto, assumir que b é um divisor de |H| para
todo subgrupo normal não trivial H de G. Se H é um subgrupo normal minimal, como G
é solúvel, temos pelo Teorema 1.18 que H é um p-grupo abeliano elementar para algum
primo p. Assim podemos assumir que b = p m . Deste modo, H é um p-subgrupo de Sylow
de G e a normalidade de H nos diz que H é único. Desta forma, o problema se reduz ao
seguinte caso.
2 o caso: |G| = ap m onde p ∤ a, G tem um p-subgrupo de Sylow normal abeliano H e
H é o único subgrupo normal minimal de G.
Existência: O grupo G
K
é solúvel de ordem a. Se é um subgrupo normal minimal
H H
de G
, então
K
H H
= qn para algum primo q = p e, assim, |K| = pmqn . Se Q é um q-
subgrupo de Sylow de K, então K = HQ. Sejam N ∗ = NG(Q) e N = N ∗ ∩ K = NK(Q).
Vamos mostrar que N ∗ possui ordem a. De fato, pelo Argumento de Frattini, temos que
G = KN ∗ e, então G
∗ KN
=
K K ∼ ∗ N
=
N ∗ ∗ N
=
∩ K N . Assim |N ∗ | = |G||N|
. Como K = HQ
|K|
e Q ≤ N ≤ K tiramos K = HQ ≤ HN. Mas HN ≤ K, logo |K| = |HN| = |H||N|
|H ∩ N| e
|N ∗ | = |G||N|
|K|
= |G||N||H ∩ N|
|H||N|
=
|G|
|H ∩ N| = a|H ∩ N|.
|H|
Para mostrarmos que |N ∗ | = a provaremos que |H ∩N| = 1, e isto será feito mostrando
que H ∩ N ≤ Z(K) e que Z(K) = 1. Seja x ∈ H ∩ N. Se k ∈ K, como K = HQ, segue
que k = hs para algum h ∈ H e s ∈ Q. Sendo H abeliano, x comuta com h. Desta forma,
é suficiente mostrarmos que x comuta com s. Mas (xsx −1 )s −1 ∈ Q, pois x normaliza Q
e x(sx −1 s −1 ) ∈ H já que H é normal em G. Portanto xsx −1 s −1 ∈ Q ∩ H = 1, isto é,
x ∈ Z(K), concluímos então que H ∩ N ≤ Z(K). Vamos agora mostrar que Z(K) = 1.
Como Z(K) char K e K ✁ G temos pela Proposição 1.7 (iv) que Z(K) ✁ G. Desta forma,
se Z(K) = 1, então contém um subgrupo normal minimal de G. Assim H ≤ Z(K),
por H ser o único subgrupo normal minimal de G. Mas, como K = HQ e Q é o único
q-subgrupo de Sylow de HQ, segue que Q char K. Deste modo obtemos Q ✁ G e, assim,