A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 2. GRUPOS COMPLEMENTADOS 23
2.2 Grupos Complementados
Nesta seção definiremos grupos complementados, apresentaremos algumas de suas pro-
priedades e uma caracterização para os grupos complementados.
Definição 2.12. Um grupo finito G é complementado se, para todo subgrupo H de G
existe ao menos um complemento de H em G.
Daremos agora algumas propriedades de grupos complementados.
Proposição 2.13. (i) Subgrupos de grupos complementados são complementados.
(ii) Grupos quociente de grupos complementados são complementados.
(iii) Produto direto de grupos complementados são complementados.
Demonstração: (i) Suponhamos que G seja um grupo complementado e H um subgrupo
de G. Sejam K um subgrupo de H e L um complemento de K em G. Afirmamos
que H ∩ L é um complemento de K em H. De fato, K ∩ (H ∩ L) = K ∩ L = 1 e
H = (G ∩ H) = ((KL) ∩ H) = K(H ∩ L), pela Lei Modular ( Proposição 1.3). Portanto,
H é complementado.
(ii) Sejam G um grupo complementado e N ✁ G, considere H
N
H
é um complemento de
N
complemento de H em G, afirmamos que KN
N
G
≤ . Se K é um
N
G
em . Com
N
efeito, seja u um elemento de H KN
∩ , então existem h ∈ H e k ∈ K tais que u = hN
N N
e u = kN. Logo temos que k−1h ∈ N; mas N ⊆ H. Assim temos que k ∈ H e,
então, u = 1N = N. Disto resulta que H KN
∩ = {1N}. Agora para concluirmos
N N
temos que mostrar que G
H KN
= . Seja gN ∈
N N N
G
, como G = HK obtemos que
N
gN = hkN = hNkN com h ∈ H e k ∈ K. Logo KN
N
H G
é um complemento de em
N N .
(iii) Seja H um subgrupo de G1×G2 e sejam K1 = {x ∈ G1 | (x, y) ∈ H, para algum y ∈
G2} e K2 = {y ∈ G2 | (1, y) ∈ H}. Temos que K1 é um subgrupo de G1, pois 1 ∈ K1 já
que (1, 1) ∈ H, e se x1, x2 ∈ K1, então existem y1, y2 ∈ G2 tais que (x1, y1), (x2, y2) ∈ H.
Como H é subgrupo, (x1, y1)(x −1
2 , y −1
2 ) ∈ H, o que implica que (x1x −1
2 , y1y −1
2 ) ∈ H, logo
x1x −1
2 ∈ K1, como queríamos. Também K2 é um subgrupo de G2. De fato, 1 ∈ K2 e se
y1, y2 ∈ K2, então (1, y1)(1, y2) ∈ H, assim (1, y1)(1, y −1
2 ) = (1, y1y −1
2 ) ∈ H e, consequente-
mente, y1y −1
2 ∈ K2. Como G1 e G2 são grupos complementados existem L1 complemento