A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

Capítulo 3
p-nilpotência
Neste capítulo, daremos uma breve introdução sobre p-nilpotência e formações, estudare-
mos o homomorfismo transfer com o intuito de obtermos a demonstração do Teorema de
Frobenius, que fornece uma condição necessária e suficiente para a p-nilpotência de um
grupo finito.
3.1 p-nilpotência
Daremos uma definição que será muito utilizada a partir daqui.
Definição 3.1. Seja G um grupo finito e seja p um divisor primo de |G|. Dizemos que
G é p-nilpotente se G possui um p ′ -subgrupo de Hall normal.
Se G é um grupo finito p-nilpotente e P é um p-subgrupo de Sylow de G, então
G = P Op ′(G). De fato, como G é p-nilpotente, G possui um p′ -subgrupo de Hall normal
de G, o qual deve ser Op ′(G) já que Op ′(G) é o único p′ -subgrupo normal maximal de
G. Desta forma, obtemos que P Op ′(G) ≤ G e como |P Op ′(G)| = |G|, concluímos que
P Op ′(G) = G.
É fácil ver que todo grupo nilpotente é p-nilpotente. Também temos que se G é
p-nilpotente para todo p divisor primo da ordem de G, então G é nilpotente.
Observação 3.2.
É fácil ver que se G possui uma torre de Sylow do tipo supersolúvel e
p é o menor divisor primo de |G|, então G é p-nilpotente.
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