A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

Capítulo 2
Grupos complementados
Neste capítulo, estudaremos os subgrupos de Hall e apresentaremos a demonstração
do Teorema de P.Hall que fornece uma caracterização para os grupos solúveis finitos.
Também daremos a caracterização de P. Hall para os grupos complementados e estudare-
mos as torres de Sylow do tipo supersolúvel.
2.1 Subgrupos de Hall
Dados um grupo finito G e p um divisor primo da ordem de G, sabemos que um
p-subgrupo de Sylow de G é um subgrupo de G cuja ordem é a maior potência de p que
divide a ordem de G.
Nesta seção faremos uma generalização desta definição. Tais subgrupos são os sub-
grupos de Hall.
Definição 2.1. Se π é um conjunto não vazio de números primos, então um π-número é
um inteiro n tal que todos seus fatores primos pertencem a π.
O complemento de π no conjunto de números primos é denotado por π ′ e, assim, um
π ′ -número é um inteiro m tal que nenhum de seus fatores primos pertence a π.
Definição 2.2. Seja π um conjunto de primos. Um grupo G é um π-grupo se a ordem
de cada um de seus elementos é um π-número.
Definição 2.3. Se G é um grupo finito, então um π-subgrupo H de G tal que [G : H] é
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