A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 2. GRUPOS COMPLEMENTADOS 25
fator principal do grupo complementado G, e seja p α sua ordem. Se α > 1, podemos
escolher um subgrupo H de G tal que Gi > H > Gi+1. Sejam K um complemento de
H em G,
e
L1 = Gi ∩ K (2.4)
L2 = Gi+1L1. (2.5)
L1 = 1, pois caso contrário Gi = G ∩ Gi = (HK) ∩ Gi = H(K ∩ Gi) = H, o que não
pode ocorrer, já que, H < Gi. Logo L1 = 1. Afirmamos agora que Gi+1 < L2. De
fato, se Gi+1 = L2 então L1 ≤ Gi+1 < H, mas H ∩ K = 1, assim L1 = 1, o que
mostramos que não acontece. Portanto, Gi+1 < L2. Agora vamos mostrar também que
L2 < Gi. Para isso, suponhamos, por absurdo, que L2 = Gi, então por (2.5) temos
que Gi = Gi+1L1. Seja h ∈ H tal que h ∈ Gi+1. Como H < Gi vemos que h pode ser
escrito do seguinte modo: h = ab, onde a ∈ Gi+1 e b ∈ L1. Isto implica que b = a −1 h,
mas Gi+1 < H obtendo desta maneira que a −1 h ∈ H e a −1 h = b ∈ K. Disto resulta que
b = 1 e h = a, o que é um absurdo pois tomamos h ∈ H com h ∈ Gi+1. Logo L2 < Gi.
Assim Gi > L2 > Gi+1. Agora L1 ✁ K, pois Gi ✁ G e, portanto, L2 ✁ K. Mas L2 ✁ Gi,
já que L2 ≥ Gi+1 ≥ (Gi) ′ . Portanto L2 ✁ GiK ⊇ HK = G, isto é, L2 ✁ G, o que é um
absurdo, pois nenhum subgrupo normal de G pode ser encontrado estritamente entre Gi
e Gi+1. Logo α = 1 e, consequentemente, Gi
Gi+1
é cíclico. ✷
O resultado a seguir nos fornece uma característica dos grupos que satisfazem as
propriedades (i) e (ii).
Proposição 2.15. Um grupo finito G com as propriedades (i) e (ii) é isomorfo a um
subgrupo do produto direto de um certo número de grupos de ordem livre de quadrado.
Demonstração: Suponhamos que G = {x1, x2, . . . , xt}. Para cada elemento x de G\{1},
seja Gx
um subgrupo
normal de G de maior ordem que não contenha x. Tome χ =
G
| x ∈ G\{1} e considere a função
Gx
ψ : G → G
Gx1
× · · · × G
Gxt
g ↦→ (gGx1, . . . , gGxt).