A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 1. PRELIMINARES 11
Proposição 1.33. ([10], pág. 158) Seja G um grupo e seja H um subgrupo de G. Se G
H
é supersolúvel e H é cíclico, então G é supersolúvel.
Uma condição sobre os subgrupos maximais de um grupo finito para termos a super-
solubilidade será dada a seguir.
Proposição 1.34. ([10], pág. 158) Seja G um grupo finito. Se todo subgrupo maximal
de G possui índice primo, então G é supersolúvel.
1.4 Subgrupos de Frattini
Nesta seção daremos a definição de subgrupo de Frattini de um grupo G e alguns resul-
tados que utilizaremos mais adiante.
Definição 1.35. Seja G um grupo. O subgrupo de Frattini de G é a interseção de todos
os subgrupos maximais de G se G possuir subgrupos maximais, caso contrário, o subgrupo
de Frattini de G é igual a G.
Denotaremos o subgrupo de Frattini de G por φ(G). Um elemento x ∈ G é chamado
de não gerador se ele pode ser retirado de qualquer conjunto de geradores de G, isto é,
se Y é um subconjunto de G e se G = 〈 x, Y 〉, então G = 〈 Y 〉. Um conjunto de não
geradores é um conjunto onde todos os seus elementos são não geradores.
É fácil ver que φ(G) é um subgrupo característico de G, portanto, é um subgrupo
normal de G.
O subgrupo de Frattini tem a seguinte característica.
Proposição 1.36. ([9], pág. 123) Seja G um grupo finito. Então o subgrupo de Frattini
φ(G) é igual ao conjunto dos não geradores de G.
Veremos a seguir, que em um p-grupo finito P, o grupo quociente P
é abeliano
φ(P )
elementar.
Teorema 1.37. ([8], pág. 271) Se P é um p-grupo finito, então P
é abeliano elemen-
φ(P )
tar. Além disso, φ(P ) = 1 se, e somente se, P é abeliano elementar.