A Influência dos Subgrupos Minimais na Estrutura de ... - PMA - UEM

CAPÍTULO 3. P -NILPOTÊNCIA 37
É fácil ver que o grupo quociente G
G ′ é o maior p-quociente abeliano de G. A notação
(p)
G ′ (p) nos faz lembrar do subgrupo derivado de G, mas levando em conta que G
G ′ é um p-
(p)
grupo abeliano, portanto, abeliano, concluímos que G ′ ⊆ G ′ (p). Nosso próximo resultado
nos fornece uma forma de encontrar G ′ (p).
Proposição 3.11. Seja τ : G −→ P
o homomorfismo transfer de um grupo finito G em
P ′
um p-subgrupo de Sylow P. Então G ′ (p) é o núcleo de τ e P ∩ G ′ é o núcleo da restrição
de τ a P.
Demonstração: Escrevamos K = ker(τ). Em primeiro lugar G ′ (p) ⊆ K, já que G
K é
um p-grupo abeliano. Agora vamos decompor o conjunto das classes laterais à direita de
P em órbitas como em (3.1), com isso temos
(x)τ = P ′
k
i=1
six li s −1
i .
Agora G = P G ′ (p), de modo que podemos escolher si em G ′ (p). Logo podemos escrever
(x)τ = P ′ x n c onde n = [G : P ] e c ∈ G ′ (p). Assim x ∈ K implica que x n ∈ P ′ G ′ (p) =
G ′ (p). Disto segue que K
G ′ (p) é um p′ -grupo, o que significa que K = G ′ (p). Finalmente
P ∩ ker(τ) = P ∩ G ′ (p) = P ∩ G ′ , já que G′ (p)
G ′ é um p ′ -grupo. ✷
Observação 3.12. É uma consequência imediata da proposição anterior que Im τ ∼ =
G
G ′ G
. Agora
(p) G ′ (p)
Logo teremos, Im τ ∼ = P
.
P ∩ G ′
G
é isomorfo ao p-subgrupo de Sylow de , isto é,
G ′
G
G ′ (p) ∼ =
P G′
G ′
∼ P
= .
P ∩ G ′
Os Teoremas de Grün que serão provados a seguir nos fornecem uma expressão para
o núcleo e para a imagem do transfer em um subgrupo de Sylow.
Teorema 3.13. (Primeiro Teorema de Grün): Seja G um grupo finito e seja P um
p-subgrupo de Sylow de G. Se N = NG(P ) e τ : G −→ P
é o transfer de G em P, então
P ′
P ∩ ker(τ) = P ∩ G ′ = 〈 P ∩ N ′ , P ∩ (P ′ ) g : g ∈ G 〉.