Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 9
n, m ∈ N. Se n é par, tomamos N = m e M = n
n2
, de modo que
2 4
tomamos N = n e M = m
para produzir o mesmo resultado.
2
Portanto,
ΛΩ1 = ΛΩ2
+ m2
4
= N 2
4 + M 2 ; se m é par,
embora Ω1 e Ω2 não sejam congruentes. Observe que, como requer o resultado obtido por Weil
(discutido na seção anterior), Ω1 e Ω2 possuem a mesma área igual a 2, o mesmo perímetro igual a
8 + 2 √ 2 e obviamente o mesmo número de componentes conexas.
Exemplo 5. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no paralelepípedo P = [0, a]×[0, b]×
[0, c] ⊂ R 3
− (uxx + uyy + uzz) = λu em P,
u = 0 sobre ∂P,
são
As autofunções correspondentes são
λnmk = π 2
2 n
a
b
c 2
m2 k2
+ + 2 2
unmk (x, y) = sen nπx
a
, n, m, k ∈ N.
sen mπy
b
sen kπz
c .
Exemplo 6. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet no disco D = x ∈ R 2 : x R
são
⎧
⎨
⎩
− urr + 1
r ur + + 1
uθθ = λu
r2 se 0 < r < 1 e 0 < θ < 2π,
u = 0 se r = R e 0 < θ < 2π,
λnm =
αn,m
2
, n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .
R
onde αn,m é o m-ésimo zero positivo da função de Bessel do primeiro tipo Jn
As autofunções correspondentes são
Jn(r) =
u0m (r, θ) = J0 (λ0mr) ,
∞
k=0
(−1) k
k!(k + n)!
r
2k+n .
2
u 1 nm (r, θ) = cos nθJn (λnmr) e u 2 nm (r, θ) = sen nθJn (λnmr) .
Note que para m = 1, 2, . . . temos duas autofunções distintas para um dado autovalor, isto é, tais
autovalores têm multiplicidade pelo menos igual a 2.
Exemplo 7. Os autovalores do laplaciano para o problema de Dirichlet na bola B = x ∈ R3 : x R
⎧
⎨
⎩
são
− urr + 2
r ur + 1
r2
uθθ + cot θ uθ + csc2
θuφφ
= λu se 0 < r < 1, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π
u = 0 se r = R, 0 < θ < 2π e 0 < φ < π
λnm =
αn+ 1
2 ,m
2 , n = 0, 1, 2, . . . , m = 1, 2, . . .
R