Autovalores do Laplaciano - Departamento de Matemática - UFMG

Rodney Josué Biezuner 29
Prova: Denotando
Lj W 1,2
0 (Ω) = L ⊂ W 1,2
0 (Ω) : L é um subespaço vetorial de dimensão j ,
1,2 1,2
W (Ω) = L ⊂ W (Ω) : L é um subespaço vetorial de dimensão j ,
Lj
como W 1,2
0 (Ω) ⊂ W 1,2 (Ω), segue que
Em particular, o mínimo sobre Lj
que
⎛
λ N j−1 = min
L∈Lj(W 1,2 (Ω))
⎝ max
u∈L
u=1
Lj
W 1,2
1,2
0 (Ω) ⊂ Lj W (Ω) .
W 1,2
1,2
0 (Ω) não pode ser maior que o mínimo sobre Lj W (Ω) . Segue
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
⎞
⎠ min
L∈Lj(W 1,2
0 (Ω))
⎛
⎝ max
u∈L
u=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
⎞
⎠ = λ D j .
O que acontece com os autovalores do laplaciano de um domínio Ω quando este aumenta? Se nos
restringirmos a simples aumentos de escala, a resposta é simples. Denote Ωa = {ax : x ∈ Ω}. Se u satisfaz
−∆u = λu em Ω,
então v (x) = u
x
satisfaz
a
u = 0 sobre ∂Ω,
−∆v = λ
v em Ωa,
a2 v = 0 sobre ∂Ωa.
Em particular, se a > 1 (dilatação), então os autovalores do laplaciano em Ωa são menores que os autovalores
do laplaciano em Ω. No caso geral, ainda é verdade que os autovalores decrescem quando o domínio aumenta,
e no caso dos autovalores de Dirichlet isto é novamente uma conseqüência simples da caracterização minimax:
1.18 Corolário. Sejam Ω1 ⊂ Ω2 ⊂ R n abertos limitados. Sejam λj (Ω1) e λj (Ω2) os autovalores de
Dirichlet do laplaciano em Ω1 e Ω2, respectivamente. Então
para todo j.
λj (Ω2) λj (Ω1)
Prova: Podemos considerar W 1,2
0 (Ω1) ⊂ W 1,2
0 (Ω2), porque qualquer função u ∈ W 1,2
0 (Ω1) pode ser estendida
a uma função u ∈ W 1,2
0 (Ω2) definindo-se
u (x) se x ∈ Ω1,
u (x) =
0 se x ∈ Ω2\Ω1.
Em particular, usando a notação do corolário anterior, temos que
Lj W 1,2
0 (Ω1) ⊂ Lj W 1,2
0 (Ω2) .
e o mínimo sobre Lj
λj (Ω2) = min
L∈Lj(W 1,2
0 (Ω2))
W 1,2
1,2
0 (Ω1) não pode ser maior que o mínimo sobre Lj W (Ω2) . Logo
⎛
⎞
⎛
⎞
⎝ max
u∈L
u=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
⎠ min
L∈Lj(W 1,2
0 (Ω1))
⎝ max
u∈L
u=1
〈∇u, ∇u〉 L 2 (Ω)
⎠ = λj (Ω1) .